対称式・交代式の解き方がよくわからない
そもそも対称式って何？
対称式のわかりやすい解説が聞きたい！
今回はこういった疑問・要望にお答えします。
対称式（交代式）の問題は、解法が完全にパターン化されています（やり方が決まっている）。
このページを読み終えた頃には、対称式の問題が出ても楽勝で解けるようになっているはずです。
対称式（交代式）とは【基本からおさらい】
対称式（交代式） とは「文字を入れ替えても同じ形になる式」のことです。
もしピンと来なければ、点対称や線対称を思い出してください。
点対称は「点について入れ替えても同じ形になる」、線対称は「直線について入れ替えても同じ形になる」図形ですよね？
それと同様のイメージです。
x, y を入れ替えても、
y² + 5yx + x²
= x² + 5xy + y²
となり、元の形と一緒ですね。
こういった式を 対称式（交代式）と言います。
対称式（交代式）の解き方・考え方
対称式（交代式）の解き方を解説していきます。
まず次のことをおさえてください。
先ほどの例で言えば、
x² + 5xy + y²
= (x + y)² + 3xy
= 和² + 3×積
のように、和 x +y と 積 xy で表せます。
この性質を利用して、対称式の問題を解いていきます。
【例題1】x + y = 3, xy = 2 のとき、x² + y², x³ + y³ の値をそれぞれ求めよ。
この問題を解く前に、次の公式をしっかり覚えておきましょう。
① x² + y² = (x + y)² − 2xy
② x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y)
それぞれ証明しておきます。
① の証明
(x + y)² = x² + 2xy + y²
∴x² + y² = (x + y)² − 2xy
② の証明
(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
∴(x + y)³ = x³ + 3xy(x + y) + y³
∴x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y)
これらの公式を使って解いていきましょう。
【解答】
x² + y² = (x + y)² − 2xy
= 3² − 2・2
= 9 − 4
= 5
x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y)
= 3³ − 3・2・3
= 27 − 18
= 9
ちなみに、x³ + y³ は、因数分解の公式を使って次のように解くこともできます。
【別解】
x³ + y³ = (x + y)(x² −xy + y²)
= 3(5 − 2)
= 9
【例題2】 x = √5 + √3, y = √5 − √3 のとき、x² + y², x⁴+ y⁴ の値を求めよ。
対称式の問題では、はじめに 和 x + y、積 xy を求めておきましょう。
【解答】
x + y = 2√5, xy = 2 ・・・①
x² + y² = (x + y)² − 2xy
= (2√5)² − 2・2 （①より）
= 20 − 4
= 16 ・・・②
x⁴+ y⁴ = (x²)² + (y²)²
= A² + B² （A = x², B = y² とおく）
= (A + B)² − 2AB
= (x² + y²)² − 2x²y² （A, B を元に戻す）
= (x² + y²)² − 2(xy)²
= 16² − 2・2² （①、②より）
= 196 − 8
= 188