対称式・交代式の解き方がよくわからない
そもそも対称式って何？
対称式のわかりやすい解説が聞きたい！
今回はこういった疑問・要望にお答えします。
対称式（交代式）の問題は、解法が完全にパターン化されています（やり方が決まっている）。
このページを読み終えた頃には、対称式の問題が出ても楽勝で解けるようになっているはずです。
対称式（交代式）とは【基本からおさらい】
対称式とは？
対称式とは「文字を入れ替えても同じ形になる式」のことです。
もしピンと来なければ、点対称や線対称を思い出してください。
点対称は「点について入れ替えても同じ形になる」、線対称は「直線について入れ替えても同じ形になる」図形ですよね？
それと同様のイメージです。
$x, y$ を入れ替えても
$y^2 + 5yx + x^2$
$= x^2 + 5xy + y^2$
となり、元の形と一緒ですね。
こういった式を 対称式と言います。
交代式とは？
一方、交代式とは「文字を入れ替えると符号が交代する式」のこと。
$x − y$ の文字 $x, y$ を入れ替えると
$y − x$
$= −x + y$
となり、元の形と符号が逆（交代）になっていますね。
こういった式を 交代式と言います。
対称式（交代式）の解き方・考え方
対称式（交代式）の解き方を解説していきます。
まず次のことをおさえてください。
先ほどの例で言えば、
$x^2 + 5xy + y^2$
$= (x + y)^2 + 3xy$
$=$ 和$^2 + 3×$積
のように、和$（$ $x +y$ $）$と 積$（$ $xy$ $）$で表せます。
この性質を利用して、対称式の問題を解いていきます。
【例題1】x + y = 3, xy = 2 のとき、x² + y², x³ + y³ の値をそれぞれ求めよ。
この問題を解く前に、次の公式をしっかり覚えておきましょう。
- $x^2 + y^2 = (x + y)^2 − 2xy$
- $x^3 + y^3 = (x + y)^3 − 3xy(x + y)$
それぞれ証明しておきます。
① の証明
$(x + y)^2 = \color{red} {x^2} + 2xy + \color{red} {y^2}$
$∴ \color{red} {x^2} + \color{red} {y^2} = (x + y)^2 − 2xy$
② の証明
$(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$
∴ $(x + y)^3 = \color{red} {x^3} + 3xy(x + y) + \color{red} {y^3}$
$∴ \color{red} {x^3} + \color{red} {y^3} = (x + y)^3 − 3xy(x + y)$
これらの 対称式の公式 を使って解いていきましょう。
- 【解答】を見る
-
【解答】
$x^2 + y^2$
$= (x + y)^2 − 2xy$
$= 3^2 − 2 \cdot 2$
$= 9 − 4$
$= 5$
$x^3 + y^3$
$= (x + y)^3 − 3xy(x + y)$
$= 3^3 − 3 \cdot 2 \cdot 3$
$= 27 − 18$
$= 9$
別解として、「対称式の公式」を使わず、$ x + y = 3$ （和）の式を「2乗、3乗する」やり方もあります。
- 【別解1】を見る
-
【別解1】
$ $ $ x + y = 3 $
の両辺を2乗して
$ $ $ ( x + y )^2 = 3^2 $
$ $ ∴ $ x^2 +2 x y + y^2 = 9 $
ここに $xy = 2$ を代入して
$ $ $ x^2 +2 \cdot 2 + y^2 = 9 $
$ $ ∴ $ x^2 + y^2 = 5 $
また
$ $ $ x + y = 3 $
の両辺を3乗して
$ $ $ ( x + y )^3 = 3^3 $
$ $ ∴ $ x^3 +3x^2y +3xy^2 + y^3 = 3^3 $
$ $ ∴ $ x^3 + y^3 +3x^2y +3xy^2 = 27 $
$ $ ∴ $ x^3 + y^3 + 3xy (x + y) = 27 $
ここに $ x + y =3, xy = 2 $ を代入して
$ $ $ x^3 + y^3 + 3 \cdot 2 \cdot 3 = 27 $
$ $ ∴ $ x^3 + y^3 = 9 $
もうひとつ別解として、$x^3 + y^3$ は 因数分解の公式 を使って解くこともできます。
- 【別解2】を見る
-
【別解2】
$x^3 + y^3$
$= (x + y)( \color{red} {x^2} −xy + \color{red} {y^2} )$
$= 3( \color{red} {5} − 2)$
$= 9$
このように色んな解法を使えるようになっておくと、応用が効くようになってオススメです！
【例題2】 x = √5 + √3, y = √5 − √3 のとき、x² + y², x⁴+ y⁴ の値を求めよ。
対称式の問題 では、はじめに
$ $ 和$（$ $x +y$ $）$と 積$（$ $xy$ $）$
を求めておくのがポイントです。
まずは「対称式の公式」を使った解答から。
- 【解答】を見る
-
【解答】
$x + y = 2\sqrt{5}$, $xy = 2$ ・・・①
$x^2 + y^2$
$= (x + y)^2 − 2xy$
$= (2\sqrt{5})^2 − 2 \cdot 2$ （①より）
$= 20 − 4$
$= 16$ ・・・②
$x^4+ y^4$
$= (x^2)^2 + (y^2)^2$
$= A^2 + B^2$ （$A = x^2, B = y^2$ とおく）
$= (A + B)^2 − 2AB$
$= (x^2 + y^2)^2 − 2x^2y^2$ （$A, B$ を元に戻す）
$= (x^2 + y^2)^2 − 2(xy)^2$
$= 16^2 − 2 \cdot 2^2$ （①、②より）
$= 256 − 8$
$= 248$
別解として、「和を2乗する」やり方もあります。
- 【別解】を見る
-
【別解】
$ x + y = 2 \sqrt{5} $ ・・・①
$ xy = 2 $ ・・・②
①の両辺を2乗して
$ $ $ ( x + y )^2 = ( 2 \sqrt{5} )^2 $
$ $ ∴ $ x^2 + 2xy + y^2 = 20 $
②を代入して
$ $ $ x^2 + 2 \cdot 2 + y^2 = 20 $
$ $ ∴ $ x^2 + y^2 = 16 $ ・・・③
③の両辺を2乗して
$ $ $ ( x^2 + y^2 )^2 = 16^2 $
$A = x^2, B = y^2$ とおくと
$ $ $ ( A + B )^2 = 16^2 $
$ $ ∴ $ A^2 + 2AB + B^2 = 256 $
$A, B$ を元に戻すと
$ $ ∴ $ (x^2)^2 + 2x^2 y^2 + (y^2)^2 = 256 $
$ $ ∴ $ x^4 + 2 (x y)^2 + y^4 = 256 $
②を代入して
$ $ ∴ $ x^4 + 2 \cdot 2^2 + y^4 = 256 $
$ $ ∴ $ x^4 + y^4 = 248 $
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