【高校数学】対称式(交代式)の解き方をわかりやすく解説【基本定理はこれだけ覚えよう】

対称式・交代式の解き方がよくわからない

そもそも対称式って何?

対称式のわかりやすい解説が聞きたい!

今回はこういった疑問・要望にお答えします。

対称式(交代式)の問題は、解法が完全にパターン化されています(やり方が決まっている)。

このページを読み終えた頃には、対称式の問題が出ても楽勝で解けるようになっているはずです。

対称式(交代式)とは【基本からおさらい】

対称式

対称式とは?

対称式とは「文字を入れ替えても同じ形になる式」のことです。

もしピンと来なければ、点対称や線対称を思い出してください。

点対称は「点について入れ替えても同じ形になる」、線対称は「直線について入れ替えても同じ形になる」図形ですよね?

それと同様のイメージです。

例: $x^2 + 5xy + y^2$

$x, y$ を入れ替えても

$y^2 + 5yx + x^2$

$= x^2 + 5xy + y^2$

となり、元の形と一緒ですね。

こういった式を 対称式と言います。

交代式とは?

一方、交代式とは「文字を入れ替えると符号が交代する式」のこと。

例: $x − y$、$x^2 − y^2$

$x − y$ の文字 $x, y$ を入れ替えると

$y − x$

$= −x + y$

となり、元の形と符号が逆(交代)になっていますね。

こういった式を 交代式と言います。

対称式(交代式)の解き方・考え方

対称式(交代式)の解き方を解説していきます。

まず次のことをおさえてください。

対称式は 和($x +y$)と 積($xy$)で表すことができる

先ほどの例で言えば、

$x^2 + 5xy + y^2$

$= (x + y)^2 + 3xy$

$=$ $^2 + 3×$

のように、$($ $x +y$ $)$と $($ $xy$ $)$で表せます。

この性質を利用して、対称式の問題を解いていきます。

【例題1】x + y = 3, xy = 2 のとき、x² + y², x³ + y³ の値をそれぞれ求めよ。

この問題を解く前に、次の公式をしっかり覚えておきましょう。

  1. $x^2 + y^2 = (x + y)^2 − 2xy$
  2. $x^3 + y^3 = (x + y)^3 − 3xy(x + y)$

それぞれ証明しておきます。

① の証明

$(x + y)^2 = \color{red} {x^2} + 2xy + \color{red} {y^2}$

$∴ \color{red} {x^2} + \color{red} {y^2} = (x + y)^2 − 2xy$

② の証明

$(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

∴ $(x + y)^3 = \color{red} {x^3} + 3xy(x + y) + \color{red} {y^3}$

$∴ \color{red} {x^3} + \color{red} {y^3} = (x + y)^3 − 3xy(x + y)$

これらの 対称式の公式 を使って解いていきましょう。

【解答】を見る

【解答】

$x^2 + y^2$

$= (x + y)^2 − 2xy$

$= 3^2 − 2 \cdot 2$

$= 9 − 4$

$= 5$

 

$x^3 + y^3$

$= (x + y)^3 − 3xy(x + y)$

$= 3^3 − 3 \cdot 2 \cdot 3$

$= 27 − 18$

$= 9$

 

別解として、「対称式の公式」を使わず、$ x + y = 3$ (和)の式を「2乗、3乗する」やり方もあります。

【別解1】を見る

【別解1】

$ $ $ x + y = 3 $

の両辺を2乗して

$ $ $ ( x + y )^2 = 3^2 $

$ $ ∴ $ x^2 +2 x y + y^2 = 9 $

ここに $xy = 2$ を代入して

$ $ $ x^2 +2 \cdot 2 + y^2 = 9 $

$ $ ∴ $ x^2 + y^2 = 5 $

 

また

$ $ $ x + y = 3 $

の両辺を3乗して

$ $ $ ( x + y )^3 = 3^3 $

$ $ ∴ $ x^3 +3x^2y +3xy^2 + y^3 = 3^3 $

$ $ ∴ $ x^3 + y^3 +3x^2y +3xy^2 = 27 $

$ $ ∴ $ x^3 + y^3 + 3xy (x + y) = 27 $

ここに $ x + y =3, xy = 2 $ を代入して

$ $ $ x^3 + y^3 + 3 \cdot 2 \cdot 3 = 27 $

$ $ ∴ $ x^3 + y^3 = 9 $

 

もうひとつ別解として、$x^3 + y^3$ は 因数分解の公式 を使って解くこともできます。

$ x^3 + y^3 = (x+y) (x^2 −xy +y^2) $ 
【別解2】を見る

【別解2】

$x^3 + y^3$

$= (x + y)( \color{red} {x^2} −xy + \color{red} {y^2} )$

$= 3( \color{red} {5} − 2)$

$= 9$

このように色んな解法を使えるようになっておくと、応用が効くようになってオススメです!

【例題2】 x = √5 + √3,  y = √5 − √3 のとき、x² + y²,  x⁴+ y⁴ の値を求めよ。

対称式の問題 では、はじめに

$ $ $($ $x +y$ $)$と $($ $xy$ $)$

を求めておくのがポイントです。

 

まずは「対称式の公式」を使った解答から。

【解答】を見る

【解答】

$x + y =  2\sqrt{5}$,  $xy = 2$ ・・・①

 

$x^2 + y^2$

$= (x + y)^2 − 2xy$

$= (2\sqrt{5})^2 − 2 \cdot 2$ (①より)

$= 20 − 4$

$= 16$ ・・・②

 

$x^4+ y^4$

$= (x^2)^2 + (y^2)^2$

$= A^2 + B^2$ ($A = x^2,  B = y^2$ とおく)

$= (A + B)^2 − 2AB$

$= (x^2 + y^2)^2 − 2x^2y^2$ ($A, B$ を元に戻す)

$= (x^2 + y^2)^2 − 2(xy)^2$

$= 16^2 − 2 \cdot 2^2$ (①、②より)

$= 256 − 8$

$= 248$

 

別解として、「和を2乗する」やり方もあります。

【別解】を見る

【別解】

$ x + y =  2 \sqrt{5} $ ・・・①

$ xy = 2 $ ・・・②

 

①の両辺を2乗して

$ $ $ ( x + y )^2 =  ( 2 \sqrt{5} )^2 $

$ $ ∴ $ x^2 + 2xy + y^2 =  20 $

②を代入して

$ $ $ x^2 + 2 \cdot 2 + y^2 =  20 $

$ $ ∴ $ x^2 + y^2 =  16 $ ・・・③

 

③の両辺を2乗して

$ $ $ ( x^2 + y^2 )^2 =  16^2 $

$A = x^2,  B = y^2$ とおくと

$ $ $ ( A + B )^2 =  16^2 $

$ $ ∴ $ A^2 + 2AB + B^2 =  256 $

$A, B$ を元に戻すと

$ $ ∴ $ (x^2)^2 + 2x^2 y^2 + (y^2)^2 =  256 $

$ $ ∴ $ x^4 + 2 (x y)^2 + y^4 =  256 $

②を代入して

$ $ ∴ $ x^4 + 2 \cdot 2^2 + y^4 =  256 $

$ $ ∴ $ x^4 + y^4 =  248 $

分数を含む対称式(交代式)の解き方

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参考:対称式×三角比【応用問題】

対称式と三角比の融合問題(応用問題)は、学校のテスト・大学入試でもよく出題されます。

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こちらの記事内「Lv.3 対称式」でも、テストによく出る問題と解説を載せています。

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