【高校数学】対称式(交代式)の解き方をわかりやすく解説【基本定理はこれだけ覚えよう】

対称式・交代式の解き方がよくわからない

そもそも対称式って何?

対称式のわかりやすい解説が聞きたい!

今回はこういった疑問・要望にお答えします。

対称式(交代式)の問題は、解法が完全にパターン化されています(やり方が決まっている)。

このページを読み終えた頃には、対称式の問題が出ても楽勝で解けるようになっているはずです。

対称式(交代式)とは【基本からおさらい】

対称式(交代式) とは「文字を入れ替えても同じ形になる式」のことです。

もしピンと来なければ、点対称や線対称を思い出してください。

点対称は「点について入れ替えても同じ形になる」、線対称は「直線について入れ替えても同じ形になる」図形ですよね?

それと同様のイメージです。

例: x² + 5xy + y²

x, y を入れ替えても、

y² + 5yx + x²

= x² + 5xy + y²

となり、元の形と一緒ですね。

こういった式を 対称式(交代式)と言います。

対称式(交代式)の解き方・考え方

対称式(交代式)の解き方を解説していきます。

まず次のことをおさえてください。

対称式は、和 x +y と 積 xy で表すことができる

先ほどの例で言えば、

x² + 5xy + y²

= (x + y)² + 3xy

= 和² + 3×積

のように、和 x +y と 積 xy で表せます。

この性質を利用して、対称式の問題を解いていきます。

【例題1】x + y = 3, xy = 2 のとき、x² + y², x³ + y³ の値をそれぞれ求めよ。

この問題を解く前に、次の公式をしっかり覚えておきましょう。

① x² + y² = (x + y)² − 2xy

② x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y)

それぞれ証明しておきます。

① の証明

(x + y)² = + 2xy +

x² + y² = (x + y)² − 2xy

② の証明

(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

∴(x + y)³ = + 3xy(x + y) +

x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y)

これらの公式を使って解いていきましょう。

【解答】

x² + y² = (x + y)² − 2xy

= 3² − 2・2

= 9 − 4

= 5

x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y)

= 3³ − 3・2・3

= 27 − 18

= 9

ちなみに、x³ + y³ は、因数分解の公式を使って次のように解くこともできます。

【別解】

x³ + y³ = (x + y)( −xy + )

= 3(5 − 2)

= 9

【例題2】 x = √5 + √3,  y = √5 − √3 のとき、x² + y²,  x⁴+ y⁴ の値を求めよ。

対称式の問題では、はじめに 和 x + y、積 xy を求めておきましょう。

【解答】

x + y =  2√5,  xy = 2 ・・・①

x² + y² = (x + y)² − 2xy

= (2√5)² − 2・2 (①より)

= 20 − 4

= 16 ・・・②

x⁴+ y⁴ = (x²)² + (y²)²

= A² + B² (A = x²,  B = y² とおく)

= (A + B)² − 2AB

= (x² + y²)² − 2x²y² (A, B を元に戻す)

= (x² + y²)² − 2(xy)²

= 16² − 2・2² (①、②より)

= 196 − 8

= 188