【高校数学】分数を含む対称式（交代式）の解き方をわかりやすく解説！

分数を含む対称式（交代式）の解き方がイマイチ分からない・・・

対称式の公式が覚えられなくて困ることが多いよ〜

わかりやすく解説してほしい！

こういったお悩みを解決します。

分数を含む対称式（交代式）の問題は、学校のテストや大学入試でもよく出るので、

必ずマスターしておかなければいけません。

今回は、分数を含む対称式（交代式）の頻出パターンの問題を網羅しました。

このページを読み終えた頃には、テストで「分数を含む対称式」の問題が出たらガッツリ得点源になっているはずです。

分数を含む対称式（交代式）の解き方・考え方

まず、対称式（交代式）の解き方のポイントをおさらいしましょう。

今回学ぶ「分数の対称式（交代式）」では

• 和は　$ \displaystyle{ x + {1 \over x} } $
• 積は　$ \displaystyle{ x \cdot  {1 \over x} = 1 } $

なので、結局のところ「和」だけで表すことになります。

例えば、

$ \displaystyle{ x^2 + {1 \over x^2} } $

$ = \displaystyle{ \left( x + {1 \over x} \right)^2 − 2 \cdot \require{cancel} \bcancel{x} \cdot  {1 \over \bcancel{x} } } $

$ = \displaystyle{ \left( x + {1 \over x} \right)^2 − 2 } $

$ = \displaystyle{ ( \color{red}{和} ) ^2 − 2 } $

のように、和 $ \left( \displaystyle{ x + {1 \over x} } \right) $ だけで表せます。

この性質を利用して、対称式（交代式）の問題を解いていきます。

分数を含む対称式（交代式）の公式

問題を解く前に、分数を含む対称式（交代式）の公式 をしっかり覚えておきましょう。

※ もし忘れてしまっても解く方法アリ

それぞれ証明しておきます。

①の証明

$ \displaystyle{ \left( x + {1 \over x} \right)^2 = x^2 − 2 \cdot \require{cancel} \bcancel{x} \cdot  {1 \over \bcancel{x} } + {1 \over x^2} } $

∴ $ \displaystyle{ \left( x + {1 \over x} \right)^2 = \color{red} {x^2}  − 2 + \color{red} {1 \over x^2} } $

∴ $ \displaystyle{ \color{red} {x^2 + {1 \over x^2} } = \left( x + {1 \over x} \right)^2 − 2 } $　[終]

②の証明

$ \displaystyle{ \left( x + {1 \over x} \right)^3 = x^3 + 3 x^\require{cancel} \bcancel{2} \cdot {1 \over \bcancel{x}} + 3 \bcancel{x} \cdot {1 \over x^\bcancel{2}} + {1 \over x^3} } $

$ $　　 　　$ \displaystyle{ = x^3 + 3 x + {3 \over x} + {1 \over x^3} } $

$ $　　 　　$ \displaystyle{ = \color{red} {x^3} + 3 \left( x + {1 \over x} \right) + \color{red} {1 \over x^3} } $

∴ $ \displaystyle{ \color{red} {x^3 + {1 \over x^3} } = \left( x + {1 \over x} \right)^3 − 3 \left( x + {1 \over x} \right) } $　[終]

【例題1】$ \displaystyle{ x + {1 \over x}  = 5 } $ のとき、次の値を求めよ。

(1) $ \displaystyle{ x^2 + {1 \over x^2} } $

対称式（交代式）の公式 を使ってみましょう。

【解答】を見る

【解答】

$ \displaystyle{ x + {1 \over x}  = 5 } $ ・・・①

$ \displaystyle{ x^2 + {1 \over x^2} = \left( x + {1 \over x} \right)^2 − 2 } $

$ $　　 　　$ = 5^2 − 2 $ （①を代入）

$ $　　 　　$ = 23 $

別解：もし公式を忘れてしまっても、とりあえず2乗すればOK！

【別解】を見る

【別解】

$ \displaystyle{ x + {1 \over x}  = 5 } $ ・・・①

① の両辺を2乗して

$ $　$ \displaystyle{ \left( x + {1 \over x} \right)^2  = 5^2 } $

$ $　∴ $ \displaystyle{ x^2 + 2 \require{cancel} \bcancel{x} \cdot  {1 \over \bcancel{x} } + {1 \over x^2} = 25 } $

$ $　∴ $ \displaystyle{ x^2 + 2 + {1 \over x^2} = 25 } $

$ $　∴ $ \displaystyle{ x^2 + {1 \over x^2} = 25 – 2 } $

$ $　　 　　　$ = 23 $

(2) $ \displaystyle{ x^3 + {1 \over x^3} } $

まずは 対称式（交代式）の公式 を使う解答から。

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【解答】

$ \displaystyle{ x^3 + {1 \over x^3} = \left( x + {1 \over x} \right)^3 − 3 \left( x + {1 \over x} \right) } $

$ $　　 　　$ = 5^3 − 3 \cdot 5 $

$ $　　 　　$ = 75 − 15 $

$ $　　 　　$ = 60 $

別解として、3乗して求めることもできます。

【別解】を見る

【別解】

① の両辺を3乗して

$ $　$ \displaystyle{ \left( x + {1 \over x} \right)^3  = 5^3 } $

$ $　∴ $ \displaystyle{ x^3 + 3 x^\require{cancel} \bcancel{2} \cdot {1 \over \bcancel{x}} + 3 \bcancel{x} \cdot {1 \over x^\bcancel{2}} + {1 \over x^3} = 75 } $

$ $　∴ $ \displaystyle{ x^3 + 3 x + {3 \over x} + {1 \over x^3}  = 75 } $

$ $　∴ $ \displaystyle{ x^3 + 3 \left( x + {1 \over x} \right) + {1 \over x^3 } = 75 } $

$ $　∴ $ \displaystyle{ x^3 + 3 \cdot 5 + {1 \over x^3 } = 75 } $ （①を代入）

$ $　∴ $ \displaystyle{ x^3 + {1 \over x^3 } = 75 − 15 } $

$ $　　　　　　$ = 60 $

(3) $ \displaystyle{ x^4 + {1 \over x^4} } $

4乗 ＝ (2乗)$^2$ と考えると指針が見えてきます。

【解答】を見る

【解答】

(1)より、$ \displaystyle{ x^2 + {1 \over x^2} = 23 } $

両辺を2乗して

$ $　$ \displaystyle{ \left( x^2 + {1 \over x^2} \right)^2 = 23^2 } $

$ $　∴ $ \displaystyle{ x^4 + 2 \require{cancel} \cancel{x^2} \cdot {1 \over \cancel{x^2} } + {1 \over x^4} = 529 } $

$ $　∴ $ \displaystyle{ x^4 + 2 + {1 \over x^4} = 529 } $

$ $　∴ $ \displaystyle{ x^4 + {1 \over x^4} = 529 − 2 } $

$ $　　　　　　$ \displaystyle{ = 527 } $

(4) $ \displaystyle{ x^5 + {1 \over x^5} } $

5乗ってどうやって作るの？ と考えると、

5乗 ＝ 2乗 × 3乗 で作れそうですね。

$ $　$ \displaystyle{ x^5 + {1 \over x^5} }$

$ $　$ \displaystyle{ = \left( x^2 + {1 \over x^2} \right) \left( x^3 + {1 \over x^3} \right) − x^\require{cancel} \cancel{3} \cdot {1 \over \cancel{x^2} } −\cancel{x^2} \cdot {1 \over x^\cancel{3} } } $

$ $　$ \displaystyle{ = \left( x^2 + {1 \over x^2} \right) \left( x^3 + {1 \over x^3} \right) − x − {1 \over x }  } $

$ $　$ \displaystyle{ = \left( x^2 + {1 \over x^2} \right) \left( x^3 + {1 \over x^3} \right) − \left( x + {1 \over x} \right) } $

これは「対称式の公式」として覚えておきましょう。

【解答】を見る

【解答】

$ \displaystyle{ x^5 + {1 \over x^5} = \left( x^2 + {1 \over x^2} \right) \left( x^3 + {1 \over x^3} \right) − \left( x + {1 \over x} \right) } $

$ $　　$ = 23 \cdot 60 − 5  $ （①、(1)、(2)より）

$ $　　$ = 23 \cdot 60 − 5  $

$ $　　$ = 1375  $

別解として、(3)で「4乗の和」が求めてあるので、5乗 ＝ 4乗 × 1乗 と考えると

$ \displaystyle{ x^5 + {1 \over x^5} = \left( x^4 + {1 \over x^4} \right) \left( x + {1 \over x} \right) − x^4 \cdot {1 \over x} −x \cdot  {1 \over x^4} } $

$ $　　　$ \displaystyle{ = \left( x^4 + {1 \over x^4} \right) \left( x + {1 \over x} \right) − \left( x^3 + {1 \over x^3} \right) } $

この考え方は、以下のように一般化されています。

この公式は、数学B「数列（漸化式）」の問題でも出てきます。詳しく知りたい人は「3項間の漸化式（ぜんかしき）」などで調べてみてください。

今度はこれを使って解いてみましょう！

【別解】を見る

【別解】

$ \displaystyle{ x^5 + {1 \over x^5} }$

$ \displaystyle{ = \left( x^4 + {1 \over x^4} \right) \left( x + {1 \over x} \right) −\require{cancel} \bcancel{x} \cdot {1 \over \bcancel{x} } \left( x^3 + {1 \over x^3} \right) }$

$ \displaystyle{ = \left( x^4 + {1 \over x^4} \right) \left( x + {1 \over x} \right) − \left( x^3 + {1 \over x^3} \right) } $

$ \displaystyle{ = 527 \cdot 5 − 60 } $ （①、(2)、(4)を代入）

$ \displaystyle{ = 2575 } $

以上、【例題1】でした！

【例題2】$ \displaystyle{ x − {1 \over x}  = 2 \sqrt{2} } $  $(x＜0)$ のとき、次の値を求めよ。

(1) $ \displaystyle{ x^2 + {1 \over x^2} } $

とりあえず「2乗する」やり方で解いてみます。

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【解答】

$ \displaystyle{ x − {1 \over x}  = 2 \sqrt{2} } $ ・・・①

① の両辺を2乗して

$ $　$ \displaystyle{ \left( x − {1 \over x} \right)^2 = \left( 2 \sqrt{2} \right)^2 } $

$ $　∴ $ \displaystyle{ x^2 − 2 \require{cancel} \bcancel{x} \cdot {1 \over \bcancel{x} } + {1 \over x^2}  = 8 } $

$ $　∴ $ \displaystyle{ x^2 − 2 + {1 \over x^2}  = 8 } $

$ $　∴ $ \displaystyle{ x^2 + {1 \over x^2}  = 8 + 2 } $

$ $　　　　　　$ \displaystyle{ = 10 } $

(2) $ \displaystyle{ x + {1 \over x} } $

いきなり $ \displaystyle{ x + {1 \over x} } $ を求めるのは難しいですが、「2乗した形」なら求められそうですね。

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【解答】

$ \displaystyle{ \left( x + {1 \over x} \right)^2 = x^2 + 2 \require{cancel} \bcancel{x} \cdot {1 \over \bcancel{x} } + {1 \over x^2} } $

$ $　　　　$ \displaystyle{ = x^2 + 2 + {1 \over x^2} } $

$ $　　　　$ \displaystyle{ = 10 + 2 } $

$ $　　　　$ = 12 $

 

ここで、$ x＜0 $ より

$ \displaystyle{ x + {1 \over x} ＜0 } $

∴ $ \displaystyle{ x + {1 \over x} = − \sqrt{12} } $

$ $　　　　$ \displaystyle{  = − 2 \sqrt{3} } $

(3) $ \displaystyle{ \left( x − {1 \over x^2} \right) \left( x^2 + {1 \over x} \right) } $

まずは展開してみましょう。

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【解答】

$ \displaystyle{ \left( x − {1 \over x^2} \right) \left( x^2 + {1 \over x} \right) } $

$ \displaystyle{ = x^3 + \require{cancel} \bcancel{x} \cdot {1 \over \bcancel{x} } − {1 \over \cancel{x^2} } \cdot \cancel{x^2} − {1 \over x^2} \cdot {1 \over x} } $

$ \displaystyle{ = x^3 + 1 − 1 − {1 \over x^3} } $

$ \displaystyle{ = x^3 − {1 \over x^3} } $

$ \displaystyle{ = \left( x − {1 \over x} \right) \left( x^2 + \require{cancel} \bcancel{x} \cdot {1 \over \bcancel{x} } + {1 \over x^2} \right) } $ ・・・（注）

$ \displaystyle{ = \left( x − {1 \over x} \right) \left( x^2 + 1 + {1 \over x^2} \right) } $

$ \displaystyle{ = 2 \sqrt{2} \left( 10 + 1 \right) } $ （①、(1)を代入）

$ \displaystyle{ = 22 \sqrt{2} } $

（注）因数分解の公式（3乗）を利用

$a^3 − b^3 = ( a − b ) \left( a^2 + ab + b^2 \right)$

$a = x$、$\displaystyle{ b = {1 \over x} } $ に置き換えると、上記のような変形になります。

以上、【例題2】でした！

【例題3】$ \displaystyle{ x^2 + {1 \over x^2}  = 6 } $  $(0＜x＜1)$ のとき、次の値を求めよ。

(1) $ \displaystyle{ x + {1 \over x} } $

さっきの【例題2】(2) と同じやり方でOK。

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【解答】

$ \displaystyle{ x^2 + {1 \over x^2}  = 6 } $  ・・・①

$ \displaystyle{ \left( { x + {1 \over x} } \right)^2 = x^2 + 2 \require{cancel} \bcancel{x} \cdot {1 \over \bcancel{x} } + {1 \over x^2}  } $

$ $　　　$ \displaystyle{ = x^2 + 2 + {1 \over x^2}  } $

$ $　　　$ \displaystyle{ = 6 + 2 } $ （①を代入）

$ $　　　$ \displaystyle{ = 8 } $

 

ここで、$0＜x＜1$ より

$ $　$\displaystyle{ {1 \over x} ＞0} $ ・・・（注）

$ $　∴ $\displaystyle{ x + {1 \over x}＞0 } $

 

よって

$ $　$ \displaystyle{ x + {1 \over x} = \sqrt{8} } $

$ $　　　　$ \displaystyle{ = 2 \sqrt{2} } $

（注）例えば、$\displaystyle{ x = {1 \over 2} } $ で考えてみて

$ $　両辺を逆数にすると $\displaystyle{ {1 \over x} = 2 } $ より

$ $　$\displaystyle{ {1 \over x} ＞0 } $ と分かります。

(2) $ x^3 $

初見だと「何だコレ？」という感じですよね。とりあえず「3乗の対称式」から考えてみましょう。

【解答】を見る

【解答】

$\displaystyle{ x^3 + {1 \over x^3} }$ の値を求めると

$\displaystyle{ x^3 + {1 \over x^3} }$

$ \displaystyle{ = \left( x + {1 \over x} \right) \left( x^2 − \require{cancel} \bcancel{x} \cdot {1 \over \bcancel{x} } + {1 \over x^2} \right) } $

$ \displaystyle{ = \left( x + {1 \over x} \right) \left( x^2 −1 + {1 \over x^2} \right) } $

$ \displaystyle{ = 2 \sqrt{2} \cdot \left( 6 − 1 \right) } $ （①、(1)を代入）

$ \displaystyle{ = 10 \sqrt{2} } $

∴ $\displaystyle{ x^3 + {1 \over x^3} = 10 \sqrt{2} }$ ・・・②

 

ここで、$x^3 = t $ とおくと

$0＜x＜1$ より　$0＜x^3＜1$

$ $　∴ $0＜t＜1$

 

① より

$ $　$\displaystyle{ t + {1 \over t} = 10 \sqrt{2} }$

両辺に $t$ をかけて

$ $　$\displaystyle{ t^2 + 1 = 10 \sqrt{2} t }$

$ $　∴ $\displaystyle{ t^2 −10 \sqrt{2} t + 1 = 0 }$

$t$ の2次方程式を解くと

$ $　$\displaystyle{ t = 5 \sqrt{2} \pm \sqrt{ \left( 5 \sqrt{2} \right)^2 − 1 } }$ ・・・（注1）

$ $　　$\displaystyle{ = 5 \sqrt{2} \pm \sqrt{49} }$

$ $　　$\displaystyle{ = 5 \sqrt{2} \pm 7 }$

 

$0＜t＜1$ より

$ $　$\displaystyle{ t = 5 \sqrt{2} − 7 }$ ・・・（注2）

$ $　∴ $\displaystyle{ x^3 = 5 \sqrt{2} − 7 }$

（注1）$\displaystyle{ t^2 −10 \sqrt{2} t + 1 = 0 }$ の解き方について

ふつうの解の公式を使ってしまうと

$ $　$ \displaystyle { t = { 10 \sqrt{2} \pm \sqrt{ \left( 10 \sqrt{2} \right)^2 −4 \cdot 1 \cdot 1 } \over 2 } }$

となって計算がすこし大変ですね。

そこで

$x$ の2次方程式  $ax^2 + bx + c = 0$

において $b$ が偶数のとき、$b = 2b’$ とすると

$ \displaystyle { x = { −b’ \pm \sqrt{ b’^2 − ac } \over a } }$

これを利用すると

$ $　$\displaystyle{ t = 5 \sqrt{2} \pm \sqrt{ \left( 5 \sqrt{2} \right)^2 − 1 } }$

と、ちょっとだけ楽ができます。

 

（注2）ここで

「$\displaystyle{ t = 5 \sqrt{2} − 7 }$ は、$0＜t＜1$ の範囲にホントに入ってるの？」

と思ったキミへ・・・

いい機会なので平方根をおさらいしておきましょう。

まずはよくあるダメな例から。

×【NG例】

$ $　$1^2 ＜ 2＜ 2^2$ より　$1 ＜\sqrt{ 2 }＜ 2$

ここから「$\displaystyle { 5 \sqrt{2} − 7 }$」の形に少しずつ近づけていくと

辺々に $5$ をかけて

$ $　$5 ＜5 \sqrt{ 2 }＜ 10$

辺々から $7$ 引いて

$ $　$\displaystyle { 5 −7 ＜5 \sqrt{ 2 } − 7＜ 10 − 7 } $

$ $　∴ $\displaystyle { −2 ＜5 \sqrt{ 2 } − 7 ＜ 3 } $

・・・？？

「あれ？ これじゃあ $0＜t＜1$ に入っているのか分からない！」と困ってしまいます。

というわけで、正しいやり方はこちら。

◎【OK例】

$ 5 \sqrt{2} = \sqrt{50} $

$7^2 ＜ 50 ＜ 8^2$ より　$7 ＜\sqrt{ 50 }＜ 8$

$ $　∴ $7 ＜5 \sqrt{ 2 }＜ 8$

ここから「$\displaystyle { 5 \sqrt{2} − 7 }$」の形に少しずつ近づけていくと

辺々から $7$ 引いて

$ $　$ 7 − 7 ＜5 \sqrt{ 2 } − 7 ＜ 8 − 7 $

$ $　∴ $ 0 ＜5 \sqrt{ 2 } − 7 ＜ 1 $

$ $　∴ $ 0 ＜t ＜ 1 $

 

となり、$ 0＜t＜1 $ を満たしていることが分かりました。

この変形のしかたは、これ以外にも 2次関数など色んな場面で必要となります。

あるいは、「$\sqrt{2} ≒ 1.41$」という近似値を覚えていれば

$t = 5 \sqrt{2} − 7 ≒ 5 ×1.41 − 7 = 7.05 − 7 = 0.05 $

と概算できます。

この辺りの 平方根（√）の復習をしたい人はこちら。

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以上です。お疲れ様でした！

【まとめ】分数を含む対称式（交代式）の公式

最後に、今回登場した 分数を含む対称式（交代式）の公式 をまとめておきます。

ふつうの対称式も合わせて学んでおきましょう。

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