【高校数学】√を含む数の「整数部分をa、小数部分をbとするとき〜」の解き方をわかりやすく解説！

√（ルート）を含む数の「整数部分をa、小数部分をbとするとき〜」の問題の解き方をわかりやすく教えてほしい！

そもそも√の数の整数部分、小数部分ってのがイマイチ分からない・・・

どうやって考えたら解けるようになるの？

こういった疑問・要望にこたえます。

このページを読めば、

のようなパターンの問題を迷うことなくスラスラ解けるようになります。

√の数の整数部分・小数部分とは？

まずは、√（ルート）の数の整数部分・小数部分 のおさらいです。

【例題1-1】$ \sqrt{7}$ の整数部分、小数部分を求めよ。

もし $ \sqrt{7} = \color{red}{2}.\color{blue}{645 ⋯ } $ という近似値を覚えていれば、

・整数部分は $ \color{red}{2}$

・小数部分は $ \sqrt{7} − \color{red}{2}$

（$ = \color{red}{2}.\color{blue}{645 ⋯ } − \color{red}{2} = 0. \color{blue}{645 ⋯ } $）

であっさり終わりです。

ですが、例えば $ \sqrt{19} $ とかになると、ほとんどの人は覚えてないですよね？

なので、次のやり方をマスターしておきましょう。

まず「$ \sqrt{7}$」を2乗した形「$7$」で考えます。

$○^2＜7＜□^2$ となるような数ではさむと

$○＜\sqrt{7}＜□$ と分かりますね。

$ \sqrt{7}$ が $2$ と $3$ の間にあることが分かりました。

これを 数直線で表す と

こんな感じなので、

$ $　$ \sqrt{7} = \color{red}{2} . \color{blue}{⋯} $

というところまでは言えますね。

整数部分は、$\sqrt{7} $ を超えない最大の整数の「$\color{red}{2}$」です。

小数部分は、$\sqrt{7} $ から 整数部分の $\color{red}{2}$ を引いたものなので「$ \color{blue}{\sqrt{7} − 2} $」です。

小数部分の求め方は、以下のように覚えておきましょう。

【例題1-2】$ \sqrt{10}$ の整数部分、小数部分を求めよ。

さっきと同じように考えてみます。

ここまで理解できたら次に進みましょう。

a√b の整数部分・小数部分の求め方

次は、a√b の整数部分・小数部分 の求め方です。

【例題2-1】$ 2 \sqrt{5}$ の整数部分、小数部分を求めよ。

これは要注意！ まずはよくあるダメな例から。

「あれ？整数部分って $4$ と $5$ のどっちだ？」となってしまい、上手くいきません。

というわけで、正しいやり方はこちら。

となり、正しく求められました。

a√b の整数部分・小数部分 の求め方をまとめると

−√a の整数部分・小数部分の求め方

次は、−√a の整数部分・小数部分 の求め方です。

【例題3-1】$ 5−\sqrt{6}$ の整数部分、小数部分を求めよ。

まずは「$ \sqrt{6} $ がどんな値か？」から考えます。

（注）不等式にマイナスの数をかけると、不等号の向きが逆になる

−√a の整数部分・小数部分 の求め方をまとめると

√を含む分数の整数部分・小数部分の求め方

次は、√（ルート）を含む分数の 整数部分・小数部分 を求めてみましょう。

【例題4-1】$ \displaystyle{ 5 + \sqrt{7} \over 2 } $ の整数部分、小数部分を求めよ。

分数が入っていて一見難しそうですが、やはり「$ \sqrt{7} $ がどんな値か？」からスタートしましょう。

ここから、少しづつ $ \displaystyle{ 5 + \sqrt{7} \over 2 } $ の形に近づけていきます。

（注）$ \displaystyle{ 7 \over 2 }$ のような分数は「帯分数に直す」のがオススメです。

わざわざ割り算をして「小数に直す」よりもラクに処理できます。

【例題4-2】$ \displaystyle{ 2 \over 3 − \sqrt{5} } $ の整数部分、小数部分を求めよ。

このままの形だと考えにくいので、分母の有理化 をします。

さっきと同じように「$ \sqrt{5} $ がどんな値か？」を考えます。

ここから $ \displaystyle{ 3 + \sqrt{5} \over 2 } $ の形に持っていきます。

ここで、√（ルート）を含む分数について整数部分・小数部分 を求める手順をまとめておきます。

この手順がイメージできるようになったら次に進みましょう！

√を含む分数の「整数部分をa、小数部分をbとするとき〜」応用問題 Lv.1

さて、いよいよ本題です。

√（ルート）を含む分数の「整数部分をa、小数部分をbとするとき〜」の 応用問題 Lv.1 です。

【問題1】$ \displaystyle{ 1 \over 2 − \sqrt{3} } $ の整数部分をa、小数部分をbとするとき、次の値を求めよ。

(1) $a, b$

ここまでの内容がちゃんと理解できているか？のチェックも兼ねて、

「整数部分a、小数部分bを求める」ところまで自力でやってみましょう！

【解答】を見る

【解答】

$ \displaystyle{ 1 \over 2 − \sqrt{3} } $

$ = \displaystyle{ { 1 \over 2 − \sqrt{3} } × { 2 + \sqrt{3} \over 2 + \sqrt{3} } } $

$ = \displaystyle{ 2 + \sqrt{3} } $

また、$1＜3＜4$ より

$ $　$ \sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4} $

$ $　∴ $ 1＜\sqrt{3}＜2 $

辺々に $2$ を足して

$ $　$ 3＜2 + \sqrt{3}＜4 $

数直線で表すと

よって

・整数部分 $a = \color{red}{3} $

・小数部分 $b = \left( 2 + \sqrt{3} \right)− 3 = \sqrt{3} − 1 $

(2) $a^2+2ab+3b^2$

(1) で求めた $a,b$ の値をそのまま代入すればOKです。

実際に手を動かして解いてみましょう。

【解答】を見る

【解答】

$a^2+2ab+3b^2$

$ = 3^2+2 \cdot 3 \cdot \left( \sqrt{3} − 1 \right) + 3 \left( \sqrt{3} − 1 \right)^2$

$ = 9 + 6 \sqrt{3} − 6 + 3 \left( 4 −2 \sqrt{3} \right) $

$ = 9 + 6 \sqrt{3} − 6 + 12 −6 \sqrt{3} $

$ = 15 $

(3) $ \displaystyle{ { 1 \over a−b−1 } −  { 1 \over a+b+1 } } $

これも $a,b$ の値を代入してみましょう。

【解答】を見る

【解答】

$\displaystyle{ { 1 \over a−b−1 } −  { 1 \over a+b+1 } } $

$= \displaystyle{ { 1 \over 3−\left( \sqrt{3} − 1 \right)−1 } −  { 1 \over 3+\left( \sqrt{3} − 1 \right)+1 } } $

$= \displaystyle{ { 1 \over 3− \sqrt{3} } −  { 1 \over 3 + \sqrt{3} } } $

$= \displaystyle{ { \require{cancel} \bcancel{3} + \sqrt{3} \over 6 } −  { \bcancel{3}− \sqrt{3} \over 6 } } $

$= \displaystyle{ { 2 \sqrt{3} \over 6 } } $

$= \displaystyle{ { \sqrt{3} \over 3 } } $

ここまで自力で解けるようになっていれば、学校の中間・期末テストならまず安心です。

自信を持ってくださいね！

√を含む分数の「整数部分をa、小数部分をbとするとき〜」応用問題 Lv.2

入試問題にチャレンジしたい！という人は、こちらもぜひやってみてください。

√（ルート）を含む分数の「整数部分をa、小数部分をbとするとき〜」の 応用問題 Lv.2 です。 [17 名城大・改]

【問題2】$\displaystyle{ \sqrt{2} \over \sqrt{2}−1 }$ の整数部分をa、小数部分をbとするとき

(1) $a, b$ の値を求めよ。

まずは 分母の有理化 をして、整数部分と小数部分を求めましょう。

【解答】を見る

【解答】

$\displaystyle{ \sqrt{2} \over \sqrt{2}−1 }$

$ = \displaystyle{ { \sqrt{2} \over \sqrt{2}−1 }×{ \sqrt{2} + 1 \over \sqrt{2} + 1 } }$

$ = \displaystyle{ { \sqrt{2} ( \sqrt{2} + 1 ) \over 2 − 1 } }$

$ = \displaystyle{ 2 + \sqrt{2} }$

また、$1＜2＜4$ より

$ $　$ \sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4} $

$ $　∴ $ 1＜\sqrt{2}＜2 $

辺々に $2$ を足して

$ $　$ 3＜2 + \sqrt{2}＜4 $

よって

・整数部分 $a = 3$

・小数部分 $b = \left( 2 + \sqrt{2} \right) − 3 = \sqrt{2} − 1 $

(2) $\displaystyle{ x = a − {1 \over b} } $ の値を求めよ。

(1) で求めた $a, b$ の値を代入します。

【解答】を見る

【解答】

$\displaystyle{ x = a − {1 \over b} } $

$ $　$\displaystyle{ = 3 − {1 \over \sqrt{2} − 1 } } $

$ $　$\displaystyle{ = 3 − {1 \over \sqrt{2} − 1 }×{ \sqrt{2} + 1 \over \sqrt{2} + 1 } } $

$ $　$\displaystyle{ = 3 − { \sqrt{2} + 1 \over 2 − 1 } } $

$ $　$\displaystyle{ = 3 − \left( \sqrt{2} + 1 \right) } $

$ $　$\displaystyle{ = 2 − \sqrt{2} } $

(3) $ x^4 −5x^3 + 4x^2 + 6x $ の値を求めよ。

(2) の結果を利用して「$x^2=$（$x$ の1次式）」で表せたら、$x$ の 次数を下げる ことができます。

【解答】を見る

【解答】

(2) より

$ $　$\displaystyle{ x = 2 − \sqrt{2} } $

$ $　∴ $\displaystyle{ x − 2 = − \sqrt{2} } $

両辺を $2$乗して

$ $　$\displaystyle{ ( x − 2 )^2 = \left(− \sqrt{2} \right)^2 } $

$ $　∴ $\displaystyle{ x^2 −4x + 4 = 2 } $

$ $　∴ $\displaystyle{ x^2 = 4x − 2 } $ ・・・①

 

よって

・$x^3 = x( \color{red}{x^2} )$

$ $　　$= x( \color{red}{4x − 2} )$ （①を代入）

$ $　　$ = 4 \color{red}{x^2} − 2x$

$ $　　$ = 4( \color{red}{4x − 2} ) − 2x$ （①を代入）

$ $　　$ = 14x − 8 $ ・・・②

・$x^4 = x( \color{blue}{x^3} )$　　・・・（注）

$ $　　$ = x( \color{blue}{14x − 8} )$ （②を代入）

$ $　　$ = 14 \color{red}{x^2} − 8x $

$ $　　$ = 14 ( \color{red}{4x − 2} ) − 8x $ （①を代入）

$ $　　$ = 48x − 28 $ ・・・③

 

①、②、③より

$ $　$ x^4 −5x^3 + 4x^2 + 6x $

$ $　$ = (48x − 28) −5(14x − 8) + 4(4x − 2) + 6x $

$ $　$ = (48x − 28) −5(14x − 8) + 4(4x − 2) + 6x $

$ $　$ = 4 $

（注）$x^4 = \left(x^2 \right)^2 = ( 4x − 2 )^2 = 16x^2 −16x + 4 = ⋯ $ と考えてもOK

別解として、数学Ⅱで学習する「整式の割り算」を利用するやり方もあります。

【別解】を見る

【別解】

$\displaystyle{ x^2 = 4x − 2 } $ より

$ $　$\displaystyle{ x^2 − 4x + 2 = 0 } $

$ x^4 −5x^3 + 4x^2 + 6x $ を $x^2 − 4x + 2 $ で割ると

$ x^4 −5x^3 + 4x^2 + 6x $

$ = \left( x^2 − 4x + 2 \right) \left( x^2 − x − 2 \right) + 4 $

$ = \require{cancel} \bcancel{ 0 \cdot \left( x^2 − x − 2 \right) } + 4 $ （$ x^2 − 4x + 2 = 0$ を代入）

$ = 4 $

以上、Lv.2 の応用問題でした。

√を含む分数の「整数部分をa、小数部分をbとするとき〜」応用問題 Lv.3

いよいよラスト。

√（ルート）を含む分数の「整数部分をa、小数部分をbとするとき〜」の 応用問題 Lv.3 に挑戦です。 [センター試験追試・改]

【問題3】$ \displaystyle{ x = { 1 + 2 \sqrt{5} \over 8 − 3 \sqrt{5} } } $ の整数部分をa、小数部分をbとするとき

(1) $a, b$ を求めよ。

まずは 分母の有理化 からスタートです。

【解答】を見る

【解答】

$ \displaystyle{ x = { 1 + 2 \sqrt{5} \over 8 − 3 \sqrt{5} } } $

$ $　$ \displaystyle{ = { 1 + 2 \sqrt{5} \over 8 − 3 \sqrt{5} } × { 8 + 3 \sqrt{5} \over 8 + 3 \sqrt{5} } } $

$ $　$ \displaystyle{ = { \left(1 + 2 \sqrt{5} \right) \left( 8 + 3 \sqrt{5} \right) \over 64 − 45 } } $

$ $　$ \displaystyle{ = { 38 + 19 \sqrt{5} \over 19 } } $

$ $　$ \displaystyle{ = 2 + \sqrt{5} } $

また、$4＜5＜9$ より

$ $　$ \sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9} $

$ $　∴ $ 2＜\sqrt{5}＜3 $

辺々に $2$ を足して

$ $　$ 4＜2 + \sqrt{5}＜5 $

よって

・整数部分 $a = 4$

・小数部分 $b = \left( 2 + \sqrt{5} \right) − 4 = \sqrt{5} − 2 $

(2) $x^2 + b^2 $ を求めよ。

$x$、$b$ の値を代入します。

【解答】を見る

【解答】

$x^2 + b^2 $

$= \left( 2 + \sqrt{5} \right)^2 + \left( \sqrt{5} − 2 \right)^2 $

$= 9 + \require{cancel} \bcancel{ 4 \sqrt{5} } + 9 − \bcancel{ 4 \sqrt{5} } $

$= 18 $

(3) $x^2 − b^2 $ を求めよ。

こちらも代入すればOK。

【解答】を見る

【解答】

$x^2 − b^2 $

$= (x + b) (x − b) $

$= (x + b) a $

$= \left\{ \left( \require{cancel} \bcancel{2} + \sqrt{5} \right) + \left( \sqrt{5} − \bcancel{2} \right) \right\} \cdot 4 $

$= 2 \sqrt{5} \cdot 4 $

$= 8 \sqrt{5} $

(4) 等式 $ \displaystyle{ \left( { x^2 + b^2 \over 2 } \right)^m + \left( { x^2 − b^2 \over 2 } \right)^n = 809 } $ を満たす自然数 $m, n$ の値を求めよ。

ひとまず (1)、(2) の結果を代入すると方向性が見えてきます。

【解答・解説】を見る

【解答】

$ \displaystyle{ \left( { x^2 + b^2 \over 2 } \right)^m + \left( { x^2 − b^2 \over 2 } \right)^n = 809 } $

に (1)、(2) の結果を代入して

$ $　$ \displaystyle{ \left( { 18 \over 2 } \right)^m + \left( { 8 \sqrt{5} \over 2 } \right)^n = 809 } $

$ $　∴ $ \displaystyle{ 9^m + \left( 4 \sqrt{5} \right)^n = 809 } $ ・・・①

$ $　∴ $ \displaystyle{ \left( 4 \sqrt{5} \right)^n = 809 − 9^m } $ ・・・②

②について、右辺が有理数より、左辺も有理数。 ・・・（注1）

よって、$n$ は偶数なので $n = 2k$（$k$：自然数）とおける。 ・・・（注2）

これを①に代入して

$ $　$ \displaystyle{ 9^m + \left( 4 \sqrt{5} \right)^{2k} = 809 } $

$ $　∴ $ \displaystyle{ 9^m + 80^k = 809 } $ ・・・③

 

$ $[1] $k=1$ のとき

$ $　③より

$ $　$ \displaystyle{ 9^m + 80 = 809 } $

$ $　∴ $ \displaystyle{ 9^m = 729 } $

$ $　∴ $m = 3$（自然数より適する）

$ $　このとき、$n=2 \cdot 1 = 2$

 

$ $[2] $k≧2$ のとき

$ $　③より

$ \displaystyle{ \color{red}{809} = 9^m + 80^k \color{red}{≧} 9^m + 80^2 = \color{red}{9^m + 6400} } $

$ $　∴ $ \displaystyle{ 809 ≧ 9^m + 6400 } $

これを満たす自然数 $m$ は存在しない（不適）

 

$ $[1]、[2]より

$ $　$m = 3,$ $n=2$

（注1）左辺と右辺を比較するやり方は「背理法」のところでも出てきました。

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（注2）偶数乗のときだけ「$\left( 4 \sqrt{5} \right)^n$」の√が外れます。

$ $　例：$\left( 4 \sqrt{5} \right)^2 = 4^2 × \sqrt{5}^2 = 16 × 5$

以上です。お疲れ様でした！

最後に

√（ルート）を含む分数の「整数部分をa、小数部分をbとするとき〜」の問題は、学校のテスト や 大学入試 でもよく出ます。

a√b、−√a などのパターンにも対応できるようにしっかり練習しておきましょう！

質問・要望があれば気軽にコメントください👍