【高校数学】分数でくくる平方完成のやり方【問題＆わかりやすい解説つき】

分数でくくるタイプの平方完成がうまくできない・・・

x²の係数が分数のとき、くくり方がイマイチわからない

どうやって平方完成すればいいのか分かりやすく教えてほしい！

こういった要望に応えます。

この記事を読めば、

$ $　$\displaystyle {{7\over2}x^2 + 5x +1}$

のような、$ $ $x^2$の係数が分数の式を迷わず＆すぐに平方完成できるようになります。

分数でくくる平方完成は「逆数をかける」

を平方完成してみましょう。

まず$x^2$の係数 $\displaystyle { \left( {7\over2} \right) } $ で、前の2項をくくりますが、

問題は「$5x$ を$\displaystyle {7\over2}$でくくるとどうなるのか？」です。

結論を言うと、

と考えればOK！

（$5x$ を $\displaystyle {7\over2}$ で割る と同じ意味）

$ $　$\displaystyle {5x \color{red} {×{2\over7}} = {10\over7}x}$

という計算を頭の中でやっておいて、

$\displaystyle{{10\over7}x}$ を（　）の中に残します。

試しに2行目の（　）を分配法則で開いてみると、1行目の形に戻りますよね？

なので、この操作は正しいと言えます。

なお、ここからの 平方完成のやり方・手順 が不安だ・・・という人は、以下の記事でおさらいしましょう。

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分数でくくる平方完成の例題

分数でくくるタイプの平方完成 の例をもう少し見ておきましょう。

【例題1】$\displaystyle {{3\over2}x^2 + x +3}$ を平方完成せよ。

$\displaystyle {{3\over2}x^2 + x +3}$

$\displaystyle {={3\over2} \left( x^2 \color{red} {+{2\over3}} x \right) +3}$ ・・・ （$\displaystyle {1×{3\over2} = {2\over3}}$ より）

$\displaystyle {={3\over2} \left(x + {1\over3} \right)^2 – {1\over9} \cdot {3\over2}  +3}$

$\displaystyle {={3\over2} \left(x + {1\over3} \right)^2 – {1\over6} +3}$

$\displaystyle {={3\over2} \left(x + {1\over3} \right)^2 + {17\over6}}$

【例題2】$\displaystyle {{1\over4}x^2 – 3x +2}$ を平方完成せよ。

$\displaystyle {{1\over4}x^2 – 3x +2}$

$\displaystyle {={1\over4}(x^2 } \color{red}{-12} x) +2$ ・・・ （$-3×4 = -12$ より）

$\displaystyle {={1\over4}(x – 6)^2 -36 \cdot {1\over4} +2}$

$\displaystyle {={1\over4}(x – 6)^2 -9 +2}$

$\displaystyle {={1\over4}(x – 6)^2 -7}$

【例題3】$\displaystyle {-{3\over4}x^2 + {5\over2}x -2}$ を平方完成せよ。

$\displaystyle {-{3\over4}x^2 + {5\over2}x -2}$

$\displaystyle {= -{3\over4} \left( x^2 \color{red} {- {10\over3}} x \right) -2}$ ・・・（$\displaystyle {{5\over2}× \left(−{4\over3} \right) = − {10\over3}}$ より）

$\displaystyle {= -{3\over4} \left( x – {5\over3} \right)^2 -{25\over9} \cdot \left(-{3\over4} \right) -2}$

$\displaystyle {= -{3\over4} \left(x – {5\over3} \right)^2 +{25\over12} -2}$

$\displaystyle {= -{3\over4} \left(x – {5\over3} \right)^2 +{1\over12}}$

分数でくくる平方完成を練習しよう！

分数でくくるパターンの平方完成 の練習問題をやってみましょう。

全部で 5問あります。

すべて解いてから、まとめて答え合わせしましょう。

【解答】を見る

【解答】

(1) $\displaystyle {{1\over3}(x + 3)^2 -4}$

(2) $\displaystyle {{1\over2}(x – 1)^2 +{3\over2}}$

(3) $\displaystyle {-{2\over3}(x – 3)^2 -5}$

(4) $\displaystyle {{1\over12} \left(x – {9\over2} \right)^2 +{5\over16}}$

(5) $\displaystyle {-{1\over6} \left(x – {15\over2} \right)^2 +{7\over2}}$

【解説（計算過程）】を見る

【解説】

(1) $\displaystyle {{1\over3}x^2 + 2x -1}$

$= \displaystyle {{1\over3}(x^2 }$ $+6$$x) -1$ ・・・（$2×3 = 6$ より）

$= \displaystyle {{1\over3}(x + 3)^2 -9 \cdot {1\over3} -1}$

$= \displaystyle {{1\over3}(x + 3)^2 -4}$

 

(2) $\displaystyle {{1\over2}x^2 – x +2}$

$= \displaystyle {{1\over2}(x^2}$ $- 2$$x) +2$ ・・・（$-1×2 = -2$ より）

$= \displaystyle {{1\over2}(x – 1)^2 -1 \cdot {1\over2} +2}$

$= \displaystyle {{1\over2}(x – 1)^2 +{3\over2}}$

 

(3) $\displaystyle {-{2\over3}x^2 – 4x -11}$

$= \displaystyle {-{2\over3}(x^2}$ $+ 6$$x) -11$ ・・・（$\displaystyle {-4× \left( -{3\over2} \right) = 6}$ より）

$= \displaystyle {-{2\over3}(x + 3)^2 – 9 \cdot \left(-{2\over3} \right) -11}$

$= \displaystyle {-{2\over3}(x + 3)^2 -5}$

 

(4) $\displaystyle {{1\over12}x^2 – {3\over4}x +2}$

$= \displaystyle {{1\over12}(x^2}$ $- 9$$x) +2$ ・・・（$\displaystyle {-{3\over4}×12 = -9}$ より）

$= \displaystyle {{1\over12} \left(x – {9\over2} \right)^2 -{81\over4} \cdot {1\over12}  +2}$

$= \displaystyle {{1\over12} \left(x – {9\over2} \right)^2 -{27\over16}  +2}$

$= \displaystyle {{1\over12} \left(x – {9\over2} \right)^2 +{5\over16} }$

 

(5) $\displaystyle {-{1\over6}x^2 + {5\over2}x -{47\over8}}$

$= \displaystyle {-{1\over6} \left( x^2 \color{red} {- 15} x \right) -{47\over8}}$ ・・・（$\displaystyle {{5\over2}×(-6) = -15}$ より）

$= \displaystyle {-{1\over6} \left(x – {15\over2} \right)^2 -{225\over4} \cdot \left(-{1\over6} \right) -{47\over8}}$

$= \displaystyle {-{1\over6} \left(x – {15\over2} \right)^2 +{225\over24} -{47\over8}}$

$= \displaystyle {-{1\over6} \left(x – {15\over2} \right)^2 +{84\over24}}$

$= \displaystyle {-{1\over6} \left(x – {15\over2} \right)^2 +{7\over2}}$

（補足）

(5)で$15^2$の計算がイヤだな〜と一瞬でも感じた人は、できれば「(2桁)$^2$」の値を最初から覚えておくと楽です。

$11^2 = 121$

$12^2 = 144$

$13^2 = 169$

$14^2 = 196$

$15^2 = 225$

$16^2 = 256$

$17^2 = 289$

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【まとめ】分数でくくる平方完成は「逆数をかける」

最後に、今回のまとめです。

分数でくくるタイプ平方完成 は、

と考えればOK！

質問・要望があれば気軽にコメントください👍

参考：マイナスでくくる平方完成のやり方

$\displaystyle { y = \color{red}{−2}x^2 + 2x + 1}$ のように「$x^2$の係数が マイナス」のときの 平方完成  についてはこちら。

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