x²+y²+z²とかの 3変数の対称式（交代式）の計算が苦手だ・・・
対称式（交代式）の公式の使い方をわかりやすく解説してほしい！
こういったお悩みを解決します。
「3変数の対称式（交代式）」は、公式や計算のやり方を知っていないとまず解けないタイプの問題です。
大学入試 でもよく狙われるので、このページを読んで完璧にしておきましょう！
3変数の対称式（交代式）の公式
3変数の基本対称式
3変数の 基本対称式 は、次の3つ。
- $ x+y+z $（和）
- $ xy+yz+zx $（積の和）
- $ xyz $（積）
この3つを使って、色んな対称式・交代式を表すことができます。
3変数の対称式の公式
「3変数の対称式（交代式）」の公式としては、以下の2つを覚えておきましょう。
$ x^2 + y^2 + z^2 = (x+y+z)^2 −2(xy+yz+zx) $
$ x^3 + y^3 + z^3 $ $= (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 \color{red}{−}xy \color{red}{−}yz \color{red}{−}zx)$ $ + 3xyz $
3次方程式の「解と係数の関係」
もしあやふやであれば復習しておきましょう。
「3次方程式の解と係数の関係」の覚え方・使い方がよく分からない どんな問題のときに使ったらいいの？ こういった疑問に答えます。 「3次方程式の 解と係数の関係」を使って解く問題は、国公立大・私立大 ともに入[…]
3変数の対称式（交代式）の計算【基本問題】
「3変数の対称式（交代式）」の 基本問題 です。
【例題1】$ x+y+z = 1 , $ $ xy+yz+zx = −3 ,$ $ xyz = 2 $ のとき、次の値を求めよ。
(1) $ x^2 + y^2 + z^2 $
(2) $ x^3 + y^3 + z^3 $
(3) $ x^4 + y^4 + z^4 $
(4) $ \displaystyle{ {1 \over x^2} + {1 \over y^2} + {1 \over z^2} } $
(5) $ (1−x) (1−y) (1−z) $
(6) $ (x+y) (y+z) (z+x) $
(1) $ x^2 + y^2 + z^2 $
【解答】
$ x^2 + y^2 + z^2 $
$ = (x+y+z)^2 −2(xy+yz+zx) $
$ = 1^2 −2 \cdot (−3) $
$ = 1+6 $
$ = 7 $
(2) $ x^3 + y^3 + z^3 $
【解答】
$ x^3 + y^3 + z^3 $
$= 1 \cdot \{ 7−(−3) \} + 3 \cdot 2 $
$= 16 $
(3) $ x^4 + y^4 + z^4 $
「対称式の公式（3変数・2乗）」をうまく利用します。
- 【解答】を見る
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【解答】
$ x^4 + y^4 + z^4 $
$ = \left( x^2 \right)^2 + \left( y^2 \right)^2 + \left( z^2 \right)^2 $
$ = \left(x^2 +y^2 +z^2 \right)^2 −2 \left(x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2 \right) $ ・・・（注1）
$ =$ $ \left( x^2 +y^2 +z^2 \right)^2 \\ −2 \left\{ ( xy )^2 + ( yz )^2 + ( zx )^2 \right\} $
$ = \left( x^2 +y^2 +z^2 \right)^2 $ $ \enspace −2 \left\{ ( xy + yz + zx )^2 −2 xyz \ ( x +y +z ) \right\} $ ・・・（注2）
$ = 7^2 −2 \left\{ ( −3 )^2 −2 \cdot 2 \cdot 7 \right\} $
$ = 87 $
（注1）$ x^2 = X , \ y^2 = Y, \ z^2 = Z $ とすると
$ $ $ \left( x^2 \right)^2 + \left( y^2 \right)^2 + \left( z^2 \right)^2 $
$ $ $ = X^2 + Y^2 + Z^2 $
$ $ $ = \left( X + Y + Z \right)^2 −2 \left( XY + YZ + ZX \right) $
$ $ $ = \left( x^2 +y^2 +z^2 \right)^2 $ $−2 \left(x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2 \right) $
（注2）$ xy = A , \ yz = B, $ $ zx = C $ とすると
$ $ $ ( xy )^2 + ( yz )^2 + ( zx )^2 $
$ $ $ = A^2 + B^2 + C^2 $
$ $ $ = ( A + B + C )^2 −2 ( AB + BC + CA ) $
$ $ $ = ( xy + yz + zx )^2 $ $−2 ( xy^2 z + xyz^2 + x^2yz ) $
$ $ $ = ( xy + yz + zx )^2 $ $ −2 xyz \ ( x +y +z ) $
(4) $ \displaystyle{ {1 \over x^2} + {1 \over y^2} + {1 \over z^2} } $
まずは、ふつうに「通分する」やり方から。
- 【解答】を見る
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【解答】
$ \displaystyle{ {1 \over x^2} + {1 \over y^2} + {1 \over z^2} } $
$ \displaystyle{= { y^2 z^2 + z^2 x^2 + x^2 y^2 \over x^2 y^2 z^2 } } $
$ \displaystyle{= { ( xy + yz + zx )^2 −2 xyz \ ( x +y +z ) \over (xyz)^2 } } $
$ \displaystyle{= { ( −3 )^2 −2 \cdot 2 \cdot 1 \over 2^2 } } $
$ \displaystyle{= { 5 \over 4 } } $
別解 として、そのまま「対称式の公式」を使う解き方もあります。
- 【別解】を見る
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【別解】
$ \displaystyle{ {1 \over x^2} + {1 \over y^2} + {1 \over z^2} } $
$ \displaystyle{ = \left( {1 \over x} \right)^2 + \left( {1 \over y} \right)^2 + \left( {1 \over z} \right)^2 } $
$ \displaystyle{ = \left( {1 \over x} + {1 \over y} + {1 \over z} \right)^2 }$ $\displaystyle{−2 \left( {1 \over x} \cdot {1 \over y} + {1 \over y} \cdot {1 \over z}+ {1 \over z} \cdot {1 \over x} \right) } $ ・・・（注）
$ \displaystyle{ = \left( {xy + yz + zx \over xyz} \right)^2 −2 \left( {x+y+z \over xyz} \right) } $
$ \displaystyle{ = \left( {−3 \over 2} \right)^2 −2 \left( {1 \over 2} \right) } $
$ \displaystyle{ = {5 \over 4} } $
（注）$ \displaystyle{ {1 \over x} = X, \ {1 \over y} = Y, \ {1 \over z} = Z } $ とすると
$ \displaystyle{ \left( {1 \over x} \right)^2 + \left( {1 \over y} \right)^2 + \left( {1 \over z} \right)^2 } $
$ \displaystyle{ = X^2 + Y^2 + Z^2 } $
$ \displaystyle{ = (X+Y+Z)^2 −2(XY+YZ+ZX) } $
$ \displaystyle{ = \left( {1 \over x} + {1 \over y} + {1 \over z} \right)^2 }$ $\displaystyle{−2 \left( {1 \over x} \cdot {1 \over y} + {1 \over y} \cdot {1 \over z}+ {1 \over z} \cdot {1 \over x} \right) } $
(5) $ (1−x) (1−y) (1−z) $
とりあえず展開してみましょう。
- 【解答】を見る
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【解答】
$ (1−x) (1−y) (1−z) $
$ = 1−x−y + xy − z + zx + yz − xyz $
$ = 1− ( x + y + z ) + ( xy + yz + zx ) − xyz $
$ \displaystyle{ = 1− 1 + ( −3 ) − 2 } $
$ \displaystyle{ = −5 } $
(6) $ (x+y) (y+z) (z+x) $
次のように、うまく計算するやり方を覚えておきましょう。
- 【解答】を見る
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【解答】
$ x+y+z = 1 $ より
$ \begin{cases}
x+y = 1−z \\
\\
y+z = 1−x \\
\\
z+x = 1−y \\
\end{cases} $∴ $ (x+y) (y+z) (z+x) $
$ = (1−z) (1−x) (1−y) $ ・・・（注）
$ = 1−z−x + zx − y + yz + xy − xyz $
$ = 1−(x+y+z) + (xy+yz+zx) − xyz $
$ = 1−1 + (−3) − 2 $
$ = −5 $
（注）ここで、(5) の結果より
$ $ $ (1−z) (1−x) (1−y) = −5 $ としてもOK。
一応比較として、コツコツ展開する 別解 も書いておきます。
- 【別解】を見る
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【別解】
$ (x+y) (y+z) (z+x) $
$ = ( xy + zx + y^2 + yz ) (z+x) $
$ = z^2 x + y^2 z + y z^2 + x^2 y + z x^2 + x y^2 + 2 xyz $
$ =$ $ \left( x^2 y + xyz + zx^2 \right) + \left( x y^2 + y^2 z + xyz \right) \\ + \left( xyz + y z^2 + z^2 x \right) − xyz $
$ =$ $ x ( xy + yz + zx ) + y ( x y + y z + x z ) \\ + z ( xy + yz + zx ) − xyz $
$ =$ $ \left( xy + yz + zx \right) (x+y+z) − xyz $
$ = (−3) \cdot 1 − 2 $
$ = −5 $
以上、「3変数の対称式（交代式）」の基本問題でした。
3変数の対称式（交代式）の計算【応用問題】
次に「3変数の対称式（交代式）」の 応用問題 です。
【例題2】$ x + y + z = 1 , $ $ x^2 + y^2 + z^2 = 2 , $ $ x^3 + y^3 + z^3 = 3 $ のとき、次の問いに答えよ。
(1) $xy+yz+zx, \ xyz $ の値を求めよ。
(2) $ x, \ y, \ z $ を3つの解にもつような $t$ の3次方程式を1つ求めよ。
(3) $ x^7 + y^7 + z^7 $ の値を求めよ。
(1) $xy+yz+zx, \ xyz $ の値を求めよ。
まずはじめに、基本対称式を求めます。
【解答】
$ x^2 + y^2 + z^2 = (x+y+z)^2 −2(xy+yz+zx) $ より
$ 2 = 1^2 −2(xy+yz+zx) $
∴ $ \displaystyle{ xy+yz+zx = −{1 \over 2} } $
$ x^3 + y^3 + z^3 $ $= (x+y+z)(x^2+y^2+z^2−xy −yz −zx)$ $ + 3xyz $ より
$ \displaystyle{ 3 = 1 \cdot \left\{ 2−\left(−{1 \over 2} \right) \right\} + 3xyz } $
∴ $ \displaystyle{ xyz = {1 \over 6} } $
(2) $ x, \ y, \ z $ を3つの解にもつような $t$ の3次方程式を1つ求めよ。
ここで「3次方程式の 解と係数の関係」を利用します。
3次方程式 $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $
すなわち $ \displaystyle{ x^3 + {b \over a}x^2 + {c \over a}x + {d \over a} = 0 } $ の 3つの解 を $ \alpha, \ \beta, \ \gamma $ とすると
$ \begin{cases}
\displaystyle{ \alpha + \beta + \gamma = \color{red}{−}{ b \over a } } \\
\\
\displaystyle{ \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = { c \over a } } \\
\\
\displaystyle{ \alpha \beta \gamma = \color{red}{−}{ d \over a } } \\
\end{cases}$
【解答】
$ \begin{cases}
\displaystyle{ x + y + z = 1 } \\
\\
\displaystyle{ xy + yz + zx = −{1 \over 2} } \\
\\
\displaystyle{ xyz = {1 \over 6} } \\
\end{cases}$
解と係数の関係より、$ x, \ y, \ z $ を3解にもつような $t$ の3次方程式は
$ $ $ \displaystyle{ t^3 −t^2 − {1 \over 2}t − {1 \over 6} = 0 } $
∴ $ \displaystyle{ 6t^3 −6t^2 − 3t − 1 = 0 } $
(3) $ x^7 + y^7 + z^7 $ の値を求めよ。
初見だと「7乗の対称式の公式なんて知らないよ〜！」と困ってしまいますよね？
このパターンは視点をズラして、数学B「漸化式（ぜんかしき）」を利用するとラクに解けます。
【解答】
$ x, \ y, \ z $ は 3次方程式 $ \displaystyle{ t^3 −t^2 − {1 \over 2}t − {1 \over 6} = 0 } $ の3解なので
$ $ $ \begin{cases}
\displaystyle{ x^3 −x^2 − {1 \over 2}x − {1 \over 6} = 0 } \\
\\
\displaystyle{ y^3 −y^2 − {1 \over 2}y − {1 \over 6} = 0 } \\
\\
\displaystyle{ z^3 −z^2 − {1 \over 2}z − {1 \over 6} = 0 } \\
\end{cases}$
∴ $ \begin{cases}
\displaystyle{ x^3 = x^2 +{1 \over 2}x +{1 \over 6} } \\
\\
\displaystyle{ y^3 = y^2 +{1 \over 2}y +{1 \over 6} } \\
\\
\displaystyle{ z^3 = z^2 +{1 \over 2}z +{1 \over 6} } \\
\end{cases}$
辺々を足して
$ $ $\displaystyle{ x^3 + y^3 + z^3 }$ $\displaystyle{ = \left( x^2 + y^2 + z^2 \right) + {1 \over 2} (x+y+z) +{1 \over 6} \cdot 3 } $
∴ $\displaystyle{ x^3 + y^3 + z^3 }$ $\displaystyle{ = \left( x^2 + y^2 + z^2 \right) +{1 \over 2} \left(x^1+y^1+z^1 \right) }$ $ \displaystyle{ +{1 \over 6} \left(x^0+y^0+z^0 \right) } $
ここで、$ a_n = x^n + y^n + z^n $ とおくと
$ $ $\displaystyle{ a_3 = a_2 +{1 \over 2} a_1 +{1 \over 6} a_0 } $
なので、数列 $ \{ a_n \} $ は
$ $ $ \begin{cases}
\displaystyle{ a_{n+3} = a_{n+2} +{1 \over 2} a_{n+1} +{1 \over 6} a_n } \\
\\
a_1 = 1 \\
\\
a_2 = 2 \\
\\
a_3 = 3 \\
\end{cases}$
をみたす。
$ a_n, \ a_{n+1} , \ a_{n+2} $ が分かれば、その次の $ a_{n+3} $ も分かるという「隣接4項間漸化式」ですね。
今回は一般項を求める必要はないので、この形のまま利用します。
$ $ $ \displaystyle{ a_{4} = a_{3} +{1 \over 2} a_{2} +{1 \over 6} a_1 } $
$ $ $ \displaystyle{ = 3 +{1 \over 2} \cdot 2 +{1 \over 6} \cdot 1 } $
$ $ $ \displaystyle{ = {25 \over 6} } $
$ $ $ \displaystyle{ a_{5} = a_{4} +{1 \over 2} a_{3} +{1 \over 6} a_2 } $
$ $ $ \displaystyle{ = {25 \over 6} +{1 \over 2} \cdot 3 +{1 \over 6} \cdot 2 } $
$ $ $ \displaystyle{ = 6 } $
$ $ $ \displaystyle{ a_{6} = a_{5} +{1 \over 2} a_{4} +{1 \over 6} a_3 } $
$ $ $ \displaystyle{ = 6 +{1 \over 2} \cdot {25 \over 6} +{1 \over 6} \cdot 3 } $
$ $ $ \displaystyle{ = {103 \over 12} } $
$ $ $ \displaystyle{ a_{7} = a_{6} +{1 \over 2} a_{5} +{1 \over 6} a_4 } $
$ $ $ \displaystyle{ = {103 \over 12} + {1 \over 2} \cdot 6 + {1 \over 6} \cdot {25 \over 6} } $
$ $ $ \displaystyle{ = {221 \over 18} } $
したがって
$ $ $ \displaystyle{ a_{7} = x^7 + y^7 + z^7 = {221 \over 18} } $
こんな感じで答えが出ました。
あるいは、少し大変ですが「次数下げ」で求める 別解 もあります。
- 【別解】を見る
-
【別解】
$\displaystyle{ x^3 −x^2 − {1 \over 2}x − {1 \over 6} = 0 }$ より
$ $ $\displaystyle{ x^3 = x^2 +{1 \over 2}x +{1 \over 6} }$
∴ $\displaystyle{ x^4 = x^3 +{1 \over 2}x^2 +{1 \over 6}x }$
$ $ $\displaystyle{ = \left( x^2 +{1 \over 2}x +{1 \over 6} \right) +{1 \over 2}x^2 +{1 \over 6}x }$
$ $ $\displaystyle{ = {3 \over 2}x^2 + {2 \over 3}x + {1 \over 6} }$
∴ $\displaystyle{ x^5 = {3 \over 2}x^3 + {2 \over 3}x^2 + {1 \over 6}x }$
$ $ $\displaystyle{ = {3 \over 2} \left( x^2 +{1 \over 2}x +{1 \over 6} \right) + {2 \over 3}x^2 + {1 \over 6}x }$
$ $ $\displaystyle{ = {13 \over 6}x^2 +{11 \over 12}x +{1 \over 4} } $
∴ $\displaystyle{ x^7 = x^5 \cdot x^2 } $ ・・・（注）
$ $ $\displaystyle{ = {13 \over 6}x^4 +{11 \over 12}x^3 +{1 \over 4}x^2 } $
$ $ $=$ $ \displaystyle{ {13 \over 6} \left( {3 \over 2}x^2 + {2 \over 3}x + {1 \over 6} \right) \\ + {11 \over 12} \left( x^2 +{1 \over 2}x +{1 \over 6} \right) +{1 \over 4}x^2 } $
$ $ $=$ $ \displaystyle{ {13 \over 4}x^2 + {13 \over 9}x + {13 \over 36} \\ + {11 \over 12}x^2 +{11 \over 24}x +{11 \over 72} +{1 \over 4}x^2 } $
$ $ $\displaystyle{ = {53 \over 12}x^2 + {137 \over 72}x + {37 \over 72} } $
同様にして
$ $ $\displaystyle{ y^7 = {53 \over 12}y^2 + {137 \over 72}y + {37 \over 72} } $
$ $ $\displaystyle{ z^7 = {53 \over 12}z^2 + {137 \over 72}z + {37 \over 72} } $
辺々を足して
$ $ $\displaystyle{ x^7 + y^7 + z^7 }$
$ $ $=$ $ \displaystyle{ {53 \over 12}(x^2 + y^2 + z^2) + {137 \over 72}(x+y+z) \\ + {37 \over 72} \cdot 3 } $
$ $ $ \displaystyle{ = {53 \over 12} \cdot 2 + {137 \over 72} \cdot 1 + {37 \over 72} \cdot 3 } $
$ $ $ \displaystyle{ = {221 \over 18} } $
（注）ここは $x^4 $ を求めた後、 $ x^5 $ を求めずに
$ $ $ x^7 = x^4 \cdot x^3$
$ $ $ \displaystyle{ = \left( {3 \over 2}x^2 + {2 \over 3}x + {1 \over 6} \right) \left( x^2 +{1 \over 2}x +{1 \over 6} \right) }$
と計算してもOK。
以上です。お疲れ様でした！
【まとめ】3変数の対称式（交代式）の公式
最後に「3変数の対称式（交代式）」の公式をまとめておきます。
$ x^2 + y^2 + z^2 = (x+y+z)^2 −2(xy+yz+zx) $
$ x^3 + y^3 + z^3 $ $= (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 \color{red}{−}xy \color{red}{−}yz \color{red}{−}zx)$ $ + 3xyz $
符号などに気をつけて覚えましょう。
参考：3次方程式の解と係数の関係
「3次方程式の解と係数の関係」の覚え方・使い方がよく分からない どんな問題のときに使ったらいいの？ こういった疑問に答えます。 「3次方程式の 解と係数の関係」を使って解く問題は、国公立大・私立大 ともに入[…]
参考：2変数の対称式（交代式）
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