【2次関数】場合分けが「5つ」のパターンをスッキリ完全理解!(最大値・最小値の求め方)

「2次関数の最大値・最小値を求める問題」で場合分けが5つになるパターンが全然分からない・・・

どうやって 5つに場合分けしたらいいの? 3つに分けるパターンとの違いを教えてほしい!

教科書や学校の授業だとよく理解できないから、わかりやすく解説してほしい!

こういったお悩みを解決します。

 

2次関数で場合分けが「5つ」のパターンになる問題 は、学校のテスト大学入試でもよく出るので

しっかり解けるようにしておかなければいけません。

にも関わらず、教科書や学校の授業は説明が分かりにくいために「2次関数の場合分けがニガテで、特に5つのパターンなんて全然わかんない・・・」という高校生・受験生はたくさんいます。

 

でも、大丈夫!

一見複雑に見えますが、2次関数の場合分けのやり方にはコツがあります!

 

このページを読めば、

2次関数の最大値・最小値を求める問題」で場合分けが 5つ になるパターンの解き方がスッキリ分かります。

できる限り「丁寧」かつ「シンプルに」分かりやすく説明していきます!

 

【2次関数】場合分けが「5つ」のパターン【最大値・最小値の求め方】

まず「2次関数の最大値・最小値を求める問題」の場合分けにおける 最重要ポイントは

「左」「頂点」「右」のうち、どこで最大最小か?

によって場合分けするということです。

 

そして、5つの場合分けで必要なのが

「左」と「右」の 中央 の値

※ 求め方: $\displaystyle{ 中= { 左 + 右 \over 2 } } $

 

これらをしっかり頭に入れておけば、場合分けがスッキリ理解できるようになります。

2次関数が「下に凸」「上に凸」のパターンに分けて、それぞれ解説していきます。

【2次関数】場合分けが「5つ」のパターン(下に凸)

【2次関数】場合分けが「5つ」のパターン(下に凸)

まずは「2次関数(下に凸)の最大値・最小値を求める問題」で「5つの場合分け」のパターンから見ていきましょう。

 

例えば、こんな問題

【例題1】$0≦x≦2$ における 2次関数 $ y = x^2 -2ax + a^2 + 1 $ の最大値最小値を求めよ。

「最大値と最小値を同時に答えるような問題」で、5つの場合分けが登場します。

 

Point:「」「頂点」「」のうち、どこで最大・最小か?

に注目すると、以下の5つに場合分けされます。

最大値 最小値
[1]
[2] 頂点
[3] 左・右 頂点
[4] 頂点
[5]

 

$ $[1]  最大値が「」、最小値が「」(右<軸)

【2次関数】場合分け5つ(下に凸)1

$ $[2]  最大値が「」、最小値が「頂点」(中<軸≦右)

【2次関数】場合分け5つ(下に凸)2

$ $[3]  最大値が「」、最小値が「頂点」(軸=中)

【2次関数】場合分け5つ(下に凸)3

$ $[4]  最大値が「」、最小値が「頂点」(左≦軸<中)

【2次関数】場合分け5つ(下に凸)4

$ $[5]  最大値が「」、最小値が「」(軸<左)

【2次関数】場合分け5つ(下に凸)5

 

場合分けのしかたが整理できたところで、実際にこの問題をやってみましょう!

まずは平方完成して

頂点」「」「上・下に凸

を求めておきます。

【解答】

$ y = x^2 -2ax + a^2 + 1 $

$ $ $ = (x -a)^2 + 1 $

∴ $ \begin{cases}
頂点 \enspace (a, 1) \\
\\
軸:x = a  \\
\\
下に凸 \\
\end{cases}$ の放物線。

定数aの値によって軸の位置が変わるので、場合分けをしなければいけませんね。

 

ここで場合分けに必要なのが

「左」と「右」の 中央 の値

ここで、$0≦x≦2$ における中央の値は

$ $ $ \displaystyle{ { 0 + 2 \over 2 } = 1 } $

※ 求め方: $\displaystyle{ 中= { 左 + 右 \over 2 } } $

 

ここから、以下の5つに場合分けします。

$ $[1] 最大値が「
  最小値が「」(右<軸)

$ $[2] 最大値が「
  最小値が「頂点」(中<軸≦右)

$ $[3] 最大値が「
  最小値が「頂点」(軸=中)

$ $[4] 最大値が「
  最小値が「頂点」(左≦軸<中)

$ $[5] 最大値が「
  最小値が「」(軸<左)

[1]  最大値が「左」、最小値が「右」(右<軸)

  • ($x=0$)で最大値
  • ($x=2$)で最小値

をとる場合、「右<軸」より「$2<a$」です。

 

簡単なグラフの書き方は、以下の手順になります。

① $x$軸、下に凸の放物線、放物線の軸 を用意する

【2次関数】場合分け(下に凸)最大値:左 step1

② 右<軸 となるように「($x=2$)」を書く

【2次関数】場合分け5つ(下に凸)ex1-2

③ 「($x=0$)」を書く

【2次関数】場合分け5つ(下に凸)ex1-3

④ 放物線にプロットして、範囲を濃く塗る

【2次関数】場合分け5つ(下に凸)ex1-4

⑤ 高さが最大最小の点を読み取る

【2次関数】場合分け5つ(下に凸)ex1-1 step4

こんな感じです。

なので、[1]の場合 の解答は以下の通り。

$ $[1]  $2<a$ のとき

$ $ $x = 0$ で 最大値 $a^2+1$

$ $ $x = 2$ で 最小値 $a^2-4a+5$

あとは、同じ要領で [2]〜[5]の場合も考えればOK!

[2]  最大値が「左」、最小値が「頂点」(中<軸≦右)

  • ($x=0$)で最大値
  • 頂点($x=1$)で最小値

をとる場合、「中<軸≦右」より「$1<a≦2$」です。

 

「中」を考慮するときのグラフを書くコツは、上の手順で

② 中<軸 となるように「($x=1$)」を書く

【2次関数】場合分け(下に凸)最大値:左 step2

③ 左右のバランスを考えながら「($x=0$)」「($x=2$)」を書く

【2次関数】場合分け(下に凸)最大値:左 step3

とするのがオススメ!

あとは同じ流れでグラフを書くと

【2次関数】場合分け5つ(下に凸)ex1-2

$ $[2]  $1<a≦2$ のとき

$ $ $x = 0$ で 最大値 $a^2+1$

$ $ $x = a$ で 最小値 $1$

[3]  最大値が「左・右」、最小値が「頂点」(軸=中)

  • ($x=0$)・($x=2$)で最大値
  • 頂点($x=1$)で最小値

をとる場合、「軸=中」より「$a=1$」です。

(左・右の高さが揃う)

【2次関数】場合分け5つ(下に凸)ex1-3

$ $[3]  $a=1$ のとき

$ $ $x = 0, 2 $ で 最大値 $a^2+1 = 2$($a=1$を代入)

$ $ $x =1 $ で 最小値 $1$

[4]  最大値が「右」、最小値が「頂点」(左≦軸<中)

  • ($x=2$)で最大値
  • 頂点($x=a$)で最小値

をとる場合、「左≦軸<中」より「$0≦a<1$」です。

【2次関数】場合分け5つ(下に凸)ex1-4

$ $[4]  $0≦a<1$ のとき

$ $ $x = 2$ で 最大値 $a^2 -4a +5 $

$ $ $x = a$ で 最小値 $ 1 $

[5]  最大値が「右」、最小値が「左」(軸<左)

  • ($x=2$)で最大値
  • ($x=0$)で最小値

をとる場合、「軸<左」より「$a<0$」です。

【2次関数】場合分け5つ(下に凸)ex1-5

$ $[5]  $a<0$ のとき

$ $ $x = 2$ で 最大値 $a^2-4a+5$

$ $ $x = 0$ で 最小値 $a^2+1$

 

ここまでの解答をまとめると以下になります。

【解答】を見る

【解答】

$ y = x^2 -2ax + a^2 + 1 $

$ $ $ = (x -a)^2 + 1 $

∴ $ \begin{cases}
頂点 \enspace (a, 1) \\
\\
軸:x = a  \\
\\
下に凸 \\
\end{cases}$ の放物線。

ここで、$0≦x≦2$ における中央の値は

$ $ $ \displaystyle{ { 0 + 2 \over 2 } = 1 } $

 

よって、以下のように場合分けできる。

$ $[1]  $2<a$ のとき

【2次関数】場合分け5つ(下に凸)ex1-1 step4

$ $ $x = 0$ で 最大値 $a^2+1$

$ $ $x = 2$ で 最小値 $a^2-4a+5$

 

$ $[2]  $1<a≦2$ のとき

【2次関数】場合分け5つ(下に凸)ex1-2

$ $ $x = 0$ で 最大値 $a^2+1$

$ $ $x = a$ で 最小値 $1$

 

$ $[3]  $a=1$ のとき

【2次関数】場合分け5つ(下に凸)ex1-3

$ $ $x = 0, 2 $ で 最大値 $a^2+1 = 2$($a=1$を代入)

$ $ $x =1 $ で 最小値 $1$

 

$ $[4]  $0≦a<1$ のとき

【2次関数】場合分け5つ(下に凸)ex1-4

$ $ $x = 2$ で 最大値 $a^2 -4a +5 $

$ $ $x = a$ で 最小値 $ 1 $

 

$ $[5]  $a<0$ のとき

【2次関数】場合分け5つ(下に凸)ex1-5

$ $ $x = 2$ で 最大値 $a^2-4a+5$

$ $ $x = 0$ で 最小値 $a^2+1$

 

$ $[1]〜[5]より、

最大値は

$ \begin{cases}
1<a \enspace のとき \enspace \enspace a^2+1 \enspace (x = 0) \\
\\
a=1 \enspace のとき \enspace \enspace 2 \enspace (x=0, 2) \\
\\
a<1 \enspace のとき \enspace \enspace a^2-4a+5 \enspace (x = 2) \\
\\
\end{cases}$

最小値は

$ \begin{cases}
2<a \enspace のとき \enspace \enspace a^2 -4a +5 \enspace (x = 2) \\
\\
0≦a≦2 \enspace のとき \enspace \enspace 1 \enspace (x=a) \\
\\
a<0 \enspace のとき \enspace \enspace a^2 + 1 \enspace (x = 0) \\
\end{cases}$ ・・・(注)

(注)このようにまとめて答えてもいいし、別にまとめなくてもOK。

以上、下に凸のパターンでした。

【2次関数】場合分けが「5つ」のパターン(上に凸)

【2次関数】場合分けが「5つ」のパターン(上に凸)

次は「2次関数(上に凸)の最大値・最小値を求める問題」で「5つの場合分け」のパターンを解説していきます。

 

例えば、こんな問題

【例題1】$0≦x≦2$ における 2次関数 $ y = -x^2 +2ax -a^2 -1 $ の最大値最小値を求めよ。

「最大値と最小値を同時に答えるような問題」で、5つの場合分けが登場します。

 

Point:「」「頂点」「」のうち、どこで最大・最小か?

に注目すると、以下の5つに場合分けされます。

最大値 最小値
[1]
[2] 頂点
[3] 頂点 左・右
[4] 頂点
[5]

 

$ $[1]  最大値が「」、最小値が「」(右<軸)

【2次関数】場合分け5つ(上に凸)1

$ $[2]  最大値が「頂点」、最小値が「」(中<軸≦右)

【2次関数】場合分け5つ(上に凸)2

$ $[3]  最大値が「頂点」、最小値が「左・右」(軸=中)

【2次関数】場合分け5つ(上に凸)3

$ $[4]  最大値が「頂点」、最小値が「」(左≦軸<中)

【2次関数】場合分け5つ(上に凸)4

$ $[5]  最大値が「」、最小値が「」(軸<左)

【2次関数】場合分け5つ(上に凸)5

 

場合分けのしかたが整理できたところで、実際にこの問題をやってみましょう!

まずは平方完成して

頂点」「」「上・下に凸

を求めておきます。

【解答】

$ y = -x^2 +2ax -a^2 -1 $

$ $ $ = -(x -a)^2 -1 $

∴ $ \begin{cases}
頂点 \enspace (a, -1 ) \\
\\
軸:x = a  \\
\\
上に凸 \\
\end{cases}$ の放物線。

定数aの値によって軸の位置が変わるので、場合分けをしなければいけませんね。

 

ここで場合分けに必要なのが

「左」と「右」の 中央 の値

ここで、$0≦x≦2$ における中央の値は

$ $ $ \displaystyle{ { 0 + 2 \over 2 } = 1 } $

※ 求め方: $\displaystyle{ 中= { 左 + 右 \over 2 } } $

 

ここから、以下の5つに場合分けします。

$ $[1] 最大値が「
  最小値が「」(右<軸)

$ $[2] 最大値が「頂点
  最小値が「」(中<軸≦右)

$ $[3] 最大値が「頂点
  最小値が「左・右」(軸=中)

$ $[4] 最大値が「頂点
  最小値が「」(左≦軸<中)

$ $[5] 最大値が「
  最小値が「」(軸<左)

[1] 最大値が「右」、最小値が「左」(右<軸)

  • ($x=2$)で最大値
  • ($x=0$)で最小値

をとる場合、「右<軸」より「$2<a$」です。

 

簡単なグラフの書き方は、以下の手順になります。

① $x$軸、上に凸の放物線、放物線の軸 を用意する

【2次関数】場合分け5つ(上に凸)ex2-1-step1

② 右<軸 となるように「($x=2$)」を書く

【2次関数】場合分け5つ(上に凸)ex2-1-step2

③ 「($x=0$)」を書く

【2次関数】場合分け5つ(上に凸)ex2-1-step3

④ 放物線にプロットして、範囲を濃く塗る

【2次関数】場合分け5つ(上に凸)ex2-1-step4

⑤ 高さが最大最小の点を読み取る

【2次関数】場合分け5つ(上に凸)ex2-1-step5

こんな感じです。

なので、[1]の場合 の解答は以下の通り。

$ $[1]  $2<a$ のとき

$ $ $x = 2$ で 最大値 $-a^2 +4a -5$

$ $ $x = 0$ で 最小値 $-a^2 -1$

あとは、同じ要領で [2]〜[5]の場合も考えればOK!

[2] 最大値が「頂点」、最小値が「左」(中<軸≦右)

  • 頂点($x=a$)で最大値
  • ($x=0$)で最小値

をとる場合、「中<軸≦右」より「$1<a≦2$」です。

【2次関数】場合分け5つ(上に凸)ex2-2

$ $[2]  $1<a≦2$ のとき

$ $ $x = a$ で 最大値 $-1$

$ $ $x = 0$ で 最小値 $-a^2 -1$

[3] 最大値が「頂点」、最小値が「左・右」(軸=中)

  • 頂点($x=a$)で最大値
  • ($x=0$)・($x=2$)で最小値

をとる場合、「軸=中」より「$a=1$」です。

(左・右の高さが揃う)

【2次関数】場合分け5つ(上に凸)ex2-3

$ $[3]  $a=1$ のとき

$ $ $x = 1$ で 最大値 $-1$

$ $ $x = 0, 2$ で 最小値 $-a^2 -1 = -2$($a=1$を代入)

[4] 最大値が「頂点」、最小値が「右」(左≦軸<中)

  • 頂点($x=a$)で最大値
  • ($x=2$)で最小値

をとる場合、「左≦軸<中」より「$0≦a<1$」です。

【2次関数】場合分け5つ(上に凸)ex2-4

$ $[4]  $0≦a<1$ のとき

$ $ $x = a$ で 最大値 $-1$

$ $ $x = 2$ で 最小値 $-a^2 +4a -5$

[5] 最大値が「左」、最小値が「右」(軸<左)

  • ($x=0$)で最大値
  • ($x=2$)で最小値

をとる場合、「軸<左」より「$a<0$」です。

【2次関数】場合分け5つ(上に凸)ex2-5

$ $[5]  $a<0$ のとき

$ $ $x = 0$ で 最大値 $-a^2 -1$

$ $ $x = 2$ で 最小値 $-a^2 +4a -5$

 

ここまでの解答をまとめると以下になります。

【解答】を見る

【解答】

$ $ $ y = -(x -a)^2 -1 $

∴ $ \begin{cases}
頂点 \enspace (a, -1 ) \\
\\
軸:x = a  \\
\\
上に凸 \\
\end{cases}$ の放物線。

ここで、$0≦x≦2$ における中央の値は

$ $ $ \displaystyle{ { 0 + 2 \over 2 } = 1 } $

 

よって、次のように場合分けできる。

$ $[1]  $2<a$ のとき

【2次関数】場合分け5つ(上に凸)ex2-1-step5

$ $ $x = 2$ で 最大値 $-a^2 +4a -5$

$ $ $x = 0$ で 最小値 $-a^2 -1$

 

$ $[2]  $1<a≦2$ のとき

【2次関数】場合分け5つ(上に凸)ex2-2

$ $ $x = a$ で 最大値 $-1$

$ $ $x = 0$ で 最小値 $-a^2 -1$

 

$ $[3]  $a=1$ のとき

【2次関数】場合分け5つ(上に凸)ex2-3

$ $ $x = 1$ で 最大値 $-1$

$ $ $x = 0, 2$ で 最小値 $-a^2 -1 = -2$($a=1$を代入)

 

$ $[4]  $0≦a<1$ のとき

【2次関数】場合分け5つ(上に凸)ex2-4

$ $ $x = a$ で 最大値 $-1$

$ $ $x = 2$ で 最小値 $-a^2 +4a -5$

 

$ $[5]  $a<0$ のとき

【2次関数】場合分け5つ(上に凸)ex2-5

$ $ $x = 0$ で 最大値 $-a^2 -1$

$ $ $x = 2$ で 最小値 $-a^2 +4a -5$

 

$ $[1]〜[5]より、

最大値は

$ \begin{cases}
2<a \enspace のとき \enspace \enspace -a^2 +4a -5 \enspace (x = 2) \\
\\
0≦a≦2 \enspace のとき \enspace \enspace -1 \enspace (x=a) \\
\\
a<0 \enspace のとき \enspace \enspace -a^2 – 1 \enspace (x = 0) \\
\end{cases}$

最小値は

$ \begin{cases}
1<a \enspace のとき \enspace \enspace -a^2-1 \enspace (x = 0) \\
\\
a=1 \enspace のとき \enspace \enspace -2 \enspace (x=0, 2) \\
\\
a<1 \enspace のとき \enspace \enspace -a^2 +4a -5 \enspace (x = 2) \\
\end{cases}$ ・・・(注)

(注)このようにまとめて答えてもいいし、別にまとめなくてもOK。

以上です。お疲れ様でした!

補足1:場合分けでイコールをどっちにつければいいの?

2次関数の場合分けを生徒に教えているときに、よくある質問が

高校生

$ $[2] $1<a≦2$ のとき って、どうして「$0 < a\color{red}{<}2$」じゃなくて「$0 < a\color{red}{≦}2$」ってイコールが入ってるの?

$ $[1] $2<a$ 、[2] $1<a\color{red}{<}2$、・・・

ってイコールを抜いて場合分けしちゃダメなの?

というものです。

これに対する答えは「漏れやダブりがなければ、どっちにイコールを入れてもOK!」です。

 

なので、

$ $ × [1] $2\color{red}{<}a$ 、[2] $1<a\color{red}{<}2$、・・・

は、$a\color{red}{=}2$ のときが「漏れ」ているのでダメですが、

$ $  [1]  $ 2 \color{red}{≦}a $、[2]  $0 < a \color{red}{<} 2$、・・・

という場合分けのしかたは全く問題ありません。

補足2:最大値M(a)、最小値m(a)のグラフをかく問題

上の解答で「最大値と最小値を分けて答えてもOKだし、まとめて答えてもOK」と書きましたが、例外があります。

それは「最大値 M(a)、最小値 m(a) のグラフをかけ」というタイプの問題です。

例えば、もし 上の「例題1」が

【例題1’】$0≦x≦2$ における 2次関数 $ y = x^2 -2ax + a^2 + 1 $ の最大値 $M(a)$、最小値 $m(a)$ のグラフをかけ。

こんな問題だったら、最大値・最小値は分けて書いておかないとグラフがかけませんね。

【解答】

・・・

$ $[1]〜[5]より、

最大値は

$ $ $M(a) = $ $ \begin{cases}
1<a \enspace のとき \enspace \enspace a^2+1 \enspace (x = 0) \\
\\
a=1 \enspace のとき \enspace \enspace 2 \enspace (x=0, 2) \\
\\
a<1 \enspace のとき \enspace \enspace a^2-4a+5 \enspace (x = 2) \\
\\
\end{cases}$

最小値は

$ $ $m(a) = $ $ \begin{cases}
2<a \enspace のとき \enspace \enspace a^2 -4a +5 \enspace (x = 2) \\
\\
0≦a≦2 \enspace のとき \enspace \enspace 1 \enspace (x=a) \\
\\
a<0 \enspace のとき \enspace \enspace a^2 + 1 \enspace (x = 0) \\
\end{cases}$

 

したがって、それぞれのグラフは下図の実線部分。

【2次関数】場合分け5つ(下に凸)Max(a)

【2次関数】場合分け5つ(下に凸)min(a)

と、こんな流れです。

【まとめ】2次関数の場合分けが「5つ」のパターン【最大値・最小値の求め方】

最後にまとめです。

2次関数の最大値・最小値を求める問題」の場合分けにおける最重要ポイントは

「左」「頂点」「右」のうち、どこで最大最小か?

によって場合分けするということ。

 

そして、5つの場合分けで必要なのが

「左」と「右」の 中央 の値

※ 求め方: $\displaystyle{ 中= { 左 + 右 \over 2 } } $

 

似たような問題をたくさん解いて、2次関数の場合分けに慣れておきましょう!

【2次関数】場合分けが「3つ」のパターン

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