【２次関数】場合分けが「5つ」のパターンをスッキリ完全理解！(最大値・最小値の求め方)

2022年10月25日
数学I

数学I

【２次関数】場合分けが「5つ」のパターンをスッキリ完全理解！（最大値・最小値の求め方）

「２次関数の最大値・最小値を求める問題」で場合分けが5つになるパターンが全然分からない・・・

どうやって 5つに場合分けしたらいいの？ 3つに分けるパターンとの違いを教えてほしい！

教科書や学校の授業だとよく理解できないから、わかりやすく解説してほしい！

こういったお悩みを解決します。

２次関数で場合分けが「5つ」のパターンになる問題 は、学校のテストや大学入試でもよく出るので

しっかり解けるようにしておかなければいけません。

にも関わらず、教科書や学校の授業は説明が分かりにくいために「２次関数の場合分けがニガテで、特に5つのパターンなんて全然わかんない・・・」という高校生・受験生はたくさんいます。

でも、大丈夫！

一見複雑に見えますが、２次関数の場合分けのやり方にはコツがあります！

このページを読めば、

「２次関数の最大値・最小値を求める問題」で場合分けが 5つになるパターンの解き方がスッキリ分かります。

できる限り「丁寧」かつ「シンプルに」分かりやすく説明していきます！

1 【２次関数】場合分けが「5つ」のパターン【最大値・最小値の求め方】
2 【２次関数】場合分けが「5つ」のパターン（下に凸）
3 【２次関数】場合分けが「5つ」のパターン（上に凸）
4 補足1：場合分けでイコールをどっちにつければいいの？
5 補足2：最大値M(a)、最小値m(a)のグラフをかく問題
6 【まとめ】２次関数の場合分けが「5つ」のパターン【最大値・最小値の求め方】
7 【２次関数】場合分けが「3つ」のパターン
8 【２次関数】最大値と最小値の簡単な求め方（手抜きグラフ速答法）

【２次関数】場合分けが「5つ」のパターン【最大値・最小値の求め方】

まず「２次関数の最大値・最小値を求める問題」の場合分けにおける最重要ポイントは

「左」「頂点」「右」のうち、どこで最大・最小か？

によって場合分けするということです。

そして、5つの場合分けで必要なのが

「左」と「右」の中央の値

※ 求め方： $\displaystyle{ 中= { 左 + 右 \over 2 } } $

これらをしっかり頭に入れておけば、場合分けがスッキリ理解できるようになります。

２次関数が「下に凸」「上に凸」のパターンに分けて、それぞれ解説していきます。

【２次関数】場合分けが「5つ」のパターン（下に凸）

まずは「２次関数（下に凸）の最大値・最小値を求める問題」で「5つの場合分け」のパターンから見ていきましょう。

例えば、こんな問題

【例題1】$0≦x≦2$ における２次関数 $ y = x^2 -2ax + a^2 + 1 $ の最大値・最小値を求めよ。

「最大値と最小値を同時に答えるような問題」で、5つの場合分けが登場します。

Point：「左」「頂点」「右」のうち、どこで最大・最小か？

に注目すると、以下の5つに場合分けされます。

	最大値	最小値
[1]	左	右
[2]	左	頂点
[3]	左・右	頂点
[4]	右	頂点
[5]	右	左

$ $[1] 最大値が「左」、最小値が「右」（右＜軸）

【２次関数】場合分け5つ（下に凸）1

$ $[2] 最大値が「左」、最小値が「頂点」（中＜軸≦右）

【２次関数】場合分け5つ（下に凸）2

$ $[3] 最大値が「左・右」、最小値が「頂点」（軸＝中）

【２次関数】場合分け5つ（下に凸）3

$ $[4] 最大値が「右」、最小値が「頂点」（左≦軸＜中）

【２次関数】場合分け5つ（下に凸）4

$ $[5] 最大値が「右」、最小値が「左」（軸＜左）

【２次関数】場合分け5つ（下に凸）5

場合分けのしかたが整理できたところで、実際にこの問題をやってみましょう！

まずは平方完成して

「頂点」「軸」「上・下に凸」

を求めておきます。

【解答】

$ y = x^2 -2ax + a^2 + 1 $

$ $　$ = (x -a)^2 + 1 $

∴ $ \begin{cases}
頂点 \enspace (a, 1) \\
\\
軸：x = a \\
\\
下に凸 \\
\end{cases}$　の放物線。

定数aの値によって軸の位置が変わるので、場合分けをしなければいけませんね。

ここで場合分けに必要なのが

「左」と「右」の中央の値

ここで、$0≦x≦2$ における中央の値は

$ $　$ \displaystyle{ { 0 + 2 \over 2 } = 1 } $

※ 求め方： $\displaystyle{ 中= { 左 + 右 \over 2 } } $

ここから、以下の5つに場合分けします。

$ $[1] 最大値が「左」
　最小値が「右」(右＜軸)

$ $[2] 最大値が「左」
　最小値が「頂点」(中＜軸≦右)

$ $[3] 最大値が「左・右」
　最小値が「頂点」(軸＝中)

$ $[4] 最大値が「右」
　最小値が「頂点」(左≦軸＜中)

$ $[5] 最大値が「右」
　最小値が「左」(軸＜左)

[1] 最大値が「左」、最小値が「右」（右＜軸）

左（$x=0$）で最大値
右（$x=2$）で最小値

をとる場合、「右＜軸」より「$2＜a$」です。

簡単なグラフの書き方は、以下の手順になります。

① $x$軸、下に凸の放物線、放物線の軸を用意する

【２次関数】場合分け（下に凸）最大値：左 step1

② 右＜軸となるように「右（$x=2$）」を書く

【２次関数】場合分け5つ（下に凸）ex1-2

③ 「左（$x=0$）」を書く

【２次関数】場合分け5つ（下に凸）ex1-3

④ 放物線にプロットして、範囲を濃く塗る

【２次関数】場合分け5つ（下に凸）ex1-4

⑤ 高さが最大・最小の点を読み取る

【２次関数】場合分け5つ（下に凸）ex1-1 step4

こんな感じです。

なので、[1]の場合の解答は以下の通り。

$ $[1] $2＜a$ のとき

$ $　$x = 0$ で　最大値 $a^2+1$

$ $　$x = 2$ で　最小値 $a^2-4a+5$

あとは、同じ要領で [2]〜[5]の場合も考えればOK！

[2] 最大値が「左」、最小値が「頂点」（中＜軸≦右）

左（$x=0$）で最大値
頂点（$x=1$）で最小値

をとる場合、「中＜軸≦右」より「$1＜a≦2$」です。

「中」を考慮するときのグラフを書くコツは、上の手順で

② 中＜軸となるように「中（$x=1$）」を書く

【２次関数】場合分け（下に凸）最大値：左 step2

③ 左右のバランスを考えながら「左（$x=0$）」「右（$x=2$）」を書く

【２次関数】場合分け（下に凸）最大値：左 step3

とするのがオススメ！

あとは同じ流れでグラフを書くと

【２次関数】場合分け5つ（下に凸）ex1-2

$ $[2] $1＜a≦2$ のとき

$ $　$x = 0$ で　最大値 $a^2+1$

$ $　$x = a$ で　最小値 $1$

[3] 最大値が「左・右」、最小値が「頂点」（軸＝中）

左（$x=0$）・右（$x=2$）で最大値
頂点（$x=1$）で最小値

をとる場合、「軸＝中」より「$a=1$」です。

（左・右の高さが揃う）

【２次関数】場合分け5つ（下に凸）ex1-3

$ $[3] $a=1$ のとき

$ $　$x = 0, 2 $ で　最大値 $a^2+1 = 2$（$a=1$を代入）

$ $　$x =1 $ で　最小値 $1$

[4] 最大値が「右」、最小値が「頂点」（左≦軸＜中）

右（$x=2$）で最大値
頂点（$x=a$）で最小値

をとる場合、「左≦軸＜中」より「$0≦a＜1$」です。

【２次関数】場合分け5つ（下に凸）ex1-4

$ $[4] $0≦a＜1$ のとき

$ $　$x = 2$ で　最大値 $a^2 -4a +5 $

$ $　$x = a$ で　最小値 $ 1 $

[5] 最大値が「右」、最小値が「左」（軸＜左）

右（$x=2$）で最大値
左（$x=0$）で最小値

をとる場合、「軸＜左」より「$a＜0$」です。

【２次関数】場合分け5つ（下に凸）ex1-5

$ $[5] $a＜0$ のとき

$ $　$x = 2$ で　最大値 $a^2-4a+5$

$ $　$x = 0$ で　最小値 $a^2+1$

ここまでの解答をまとめると以下になります。

【解答】を見る: 【解答】

$ y = x^2 -2ax + a^2 + 1 $

$ $　$ = (x -a)^2 + 1 $

∴ $ \begin{cases}
頂点 \enspace (a, 1) \\
\\
軸：x = a \\
\\
下に凸 \\
\end{cases}$　の放物線。

ここで、$0≦x≦2$ における中央の値は

$ $　$ \displaystyle{ { 0 + 2 \over 2 } = 1 } $

よって、以下のように場合分けできる。

$ $[1] $2＜a$ のとき

$ $　$x = 0$ で　最大値 $a^2+1$

$ $　$x = 2$ で　最小値 $a^2-4a+5$

$ $[2] $1＜a≦2$ のとき

$ $　$x = 0$ で　最大値 $a^2+1$

$ $　$x = a$ で　最小値 $1$

$ $[3] $a=1$ のとき

$ $　$x = 0, 2 $ で　最大値 $a^2+1 = 2$（$a=1$を代入）

$ $　$x =1 $ で　最小値 $1$

$ $[4] $0≦a＜1$ のとき

$ $　$x = 2$ で　最大値 $a^2 -4a +5 $

$ $　$x = a$ で　最小値 $ 1 $

$ $[5] $a＜0$ のとき

$ $　$x = 2$ で　最大値 $a^2-4a+5$

$ $　$x = 0$ で　最小値 $a^2+1$

$ $[1]〜[5]より、

最大値は

$ \begin{cases}
1＜a \enspace のとき \enspace \enspace a^2+1 \enspace (x = 0) \\
\\
a=1 \enspace のとき \enspace \enspace 2 \enspace (x=0, 2) \\
\\
a＜1 \enspace のとき \enspace \enspace a^2-4a+5 \enspace (x = 2) \\
\end{cases}$

最小値は

$ \begin{cases}
2＜a \enspace のとき \enspace \enspace a^2 -4a +5 \enspace (x = 2) \\
\\
0≦a≦2 \enspace のとき \enspace \enspace 1 \enspace (x=a) \\
\\
a＜0 \enspace のとき \enspace \enspace a^2 + 1 \enspace (x = 0) \\
\end{cases}$ ・・・（注）

（注）このようにまとめて答えてもいいし、別にまとめなくてもOK。

以上、下に凸のパターンでした。

【２次関数】場合分けが「5つ」のパターン（上に凸）

次は「２次関数（上に凸）の最大値・最小値を求める問題」で「5つの場合分け」のパターンを解説していきます。

例えば、こんな問題

【例題1】$0≦x≦2$ における２次関数 $ y = -x^2 +2ax -a^2 -1 $ の最大値・最小値を求めよ。

「最大値と最小値を同時に答えるような問題」で、5つの場合分けが登場します。

Point：「左」「頂点」「右」のうち、どこで最大・最小か？

に注目すると、以下の5つに場合分けされます。

	最大値	最小値
[1]	右	左
[2]	頂点	左
[3]	頂点	左・右
[4]	頂点	右
[5]	左	右

$ $[1] 最大値が「右」、最小値が「左」（右＜軸）

【２次関数】場合分け5つ（上に凸）1

$ $[2] 最大値が「頂点」、最小値が「左」（中＜軸≦右）

【２次関数】場合分け5つ（上に凸）2

$ $[3] 最大値が「頂点」、最小値が「左・右」（軸＝中）

【２次関数】場合分け5つ（上に凸）3

$ $[4] 最大値が「頂点」、最小値が「右」（左≦軸＜中）

【２次関数】場合分け5つ（上に凸）4

$ $[5] 最大値が「左」、最小値が「右」（軸＜左）

【２次関数】場合分け5つ（上に凸）5

場合分けのしかたが整理できたところで、実際にこの問題をやってみましょう！

まずは平方完成して

「頂点」「軸」「上・下に凸」

を求めておきます。

【解答】

$ y = -x^2 +2ax -a^2 -1 $

$ $　$ = -(x -a)^2 -1 $

∴ $ \begin{cases}
頂点 \enspace (a, -1 ) \\
\\
軸：x = a \\
\\
上に凸 \\
\end{cases}$　の放物線。

定数aの値によって軸の位置が変わるので、場合分けをしなければいけませんね。

ここで場合分けに必要なのが

「左」と「右」の中央の値

ここで、$0≦x≦2$ における中央の値は

$ $　$ \displaystyle{ { 0 + 2 \over 2 } = 1 } $

※ 求め方： $\displaystyle{ 中= { 左 + 右 \over 2 } } $

ここから、以下の5つに場合分けします。

$ $[1] 最大値が「右」
　最小値が「左」(右＜軸)

$ $[2] 最大値が「頂点」
　最小値が「左」(中＜軸≦右)

$ $[3] 最大値が「頂点」
　最小値が「左・右」(軸＝中)

$ $[4] 最大値が「頂点」
　最小値が「右」(左≦軸＜中)

$ $[5] 最大値が「左」
　最小値が「右」(軸＜左)

[1] 最大値が「右」、最小値が「左」（右＜軸）

右（$x=2$）で最大値
左（$x=0$）で最小値

をとる場合、「右＜軸」より「$2＜a$」です。

簡単なグラフの書き方は、以下の手順になります。

① $x$軸、上に凸の放物線、放物線の軸を用意する

【２次関数】場合分け5つ（上に凸）ex2-1-step1

② 右＜軸となるように「右（$x=2$）」を書く

【２次関数】場合分け5つ（上に凸）ex2-1-step2

③ 「左（$x=0$）」を書く

【２次関数】場合分け5つ（上に凸）ex2-1-step3

④ 放物線にプロットして、範囲を濃く塗る

【２次関数】場合分け5つ（上に凸）ex2-1-step4

⑤ 高さが最大・最小の点を読み取る

【２次関数】場合分け5つ（上に凸）ex2-1-step5

こんな感じです。

なので、[1]の場合の解答は以下の通り。

$ $[1] $2＜a$ のとき

$ $　$x = 2$ で　最大値 $-a^2 +4a -5$

$ $　$x = 0$ で　最小値 $-a^2 -1$

あとは、同じ要領で [2]〜[5]の場合も考えればOK！

[2] 最大値が「頂点」、最小値が「左」（中＜軸≦右）

頂点（$x=a$）で最大値
左（$x=0$）で最小値

をとる場合、「中＜軸≦右」より「$1＜a≦2$」です。

【２次関数】場合分け5つ（上に凸）ex2-2

$ $[2] $1＜a≦2$ のとき

$ $　$x = a$ で　最大値 $-1$

$ $　$x = 0$ で　最小値 $-a^2 -1$

[3] 最大値が「頂点」、最小値が「左・右」（軸＝中）

頂点（$x=a$）で最大値
左（$x=0$）・右（$x=2$）で最小値

をとる場合、「軸＝中」より「$a=1$」です。

（左・右の高さが揃う）

【２次関数】場合分け5つ（上に凸）ex2-3

$ $[3] $a=1$ のとき

$ $　$x = 1$ で　最大値 $-1$

$ $　$x = 0, 2$ で　最小値 $-a^2 -1 = -2$（$a=1$を代入）

[4] 最大値が「頂点」、最小値が「右」（左≦軸＜中）

頂点（$x=a$）で最大値
右（$x=2$）で最小値

をとる場合、「左≦軸＜中」より「$0≦a＜1$」です。

【２次関数】場合分け5つ（上に凸）ex2-4

$ $[4] $0≦a＜1$ のとき

$ $　$x = a$ で　最大値 $-1$

$ $　$x = 2$ で　最小値 $-a^2 +4a -5$

[5] 最大値が「左」、最小値が「右」（軸＜左）

左（$x=0$）で最大値
右（$x=2$）で最小値

をとる場合、「軸＜左」より「$a＜0$」です。

【２次関数】場合分け5つ（上に凸）ex2-5

$ $[5] $a＜0$ のとき

$ $　$x = 0$ で　最大値 $-a^2 -1$

$ $　$x = 2$ で　最小値 $-a^2 +4a -5$

ここまでの解答をまとめると以下になります。

【解答】を見る: 【解答】

$ $　$ y = -(x -a)^2 -1 $

∴ $ \begin{cases}
頂点 \enspace (a, -1 ) \\
\\
軸：x = a \\
\\
上に凸 \\
\end{cases}$　の放物線。

ここで、$0≦x≦2$ における中央の値は

$ $　$ \displaystyle{ { 0 + 2 \over 2 } = 1 } $

よって、次のように場合分けできる。

$ $[1] $2＜a$ のとき

$ $　$x = 2$ で　最大値 $-a^2 +4a -5$

$ $　$x = 0$ で　最小値 $-a^2 -1$

$ $[2] $1＜a≦2$ のとき

$ $　$x = a$ で　最大値 $-1$

$ $　$x = 0$ で　最小値 $-a^2 -1$

$ $[3] $a=1$ のとき

$ $　$x = 1$ で　最大値 $-1$

$ $　$x = 0, 2$ で　最小値 $-a^2 -1 = -2$（$a=1$を代入）

$ $[4] $0≦a＜1$ のとき

$ $　$x = a$ で　最大値 $-1$

$ $　$x = 2$ で　最小値 $-a^2 +4a -5$

$ $[5] $a＜0$ のとき

$ $　$x = 0$ で　最大値 $-a^2 -1$

$ $　$x = 2$ で　最小値 $-a^2 +4a -5$

$ $[1]〜[5]より、

最大値は

$ \begin{cases}
2＜a \enspace のとき \enspace \enspace -a^2 +4a -5 \enspace (x = 2) \\
\\
0≦a≦2 \enspace のとき \enspace \enspace -1 \enspace (x=a) \\
\\
a＜0 \enspace のとき \enspace \enspace -a^2 – 1 \enspace (x = 0) \\
\end{cases}$

最小値は

$ \begin{cases}
1＜a \enspace のとき \enspace \enspace -a^2-1 \enspace (x = 0) \\
\\
a=1 \enspace のとき \enspace \enspace -2 \enspace (x=0, 2) \\
\\
a＜1 \enspace のとき \enspace \enspace -a^2 +4a -5 \enspace (x = 2) \\
\end{cases}$ ・・・（注）

（注）このようにまとめて答えてもいいし、別にまとめなくてもOK。

以上です。お疲れ様でした！

補足1：場合分けでイコールをどっちにつければいいの？

２次関数の場合分けを生徒に教えているときに、よくある質問が

$ $[2] $1＜a≦2$ のときって、どうして「$0 ＜ a\color{red}{＜}2$」じゃなくて「$0 ＜ a\color{red}{≦}2$」ってイコールが入ってるの？

$ $[1] $2＜a$ 、[2] $1＜a\color{red}{＜}2$、・・・

ってイコールを抜いて場合分けしちゃダメなの？

というものです。

これに対する答えは「漏れやダブりがなければ、どっちにイコールを入れてもOK！」です。

なので、

$ $　× [1] $2\color{red}{＜}a$ 、[2] $1＜a\color{red}{＜}2$、・・・

は、$a\color{red}{=}2$ のときが「漏れ」ているのでダメですが、

$ $　○ [1] $ 2 \color{red}{≦}a $、[2] $0 ＜ a \color{red}{＜} 2$、・・・

という場合分けのしかたは全く問題ありません。

補足2：最大値M(a)、最小値m(a)のグラフをかく問題

上の解答で「最大値と最小値を分けて答えてもOKだし、まとめて答えてもOK」と書きましたが、例外があります。

それは「最大値 M(a)、最小値 m(a) のグラフをかけ」というタイプの問題です。

例えば、もし上の「例題1」が

【例題1’】$0≦x≦2$ における２次関数 $ y = x^2 -2ax + a^2 + 1 $ の最大値 $M(a)$、最小値 $m(a)$ のグラフをかけ。

こんな問題だったら、最大値・最小値は分けて書いておかないとグラフがかけませんね。

【解答】

・・・

$ $[1]〜[5]より、

最大値は

$ $　$M(a) = $ $ \begin{cases}
1＜a \enspace のとき \enspace \enspace a^2+1 \enspace (x = 0) \\
\\
a=1 \enspace のとき \enspace \enspace 2 \enspace (x=0, 2) \\
\\
a＜1 \enspace のとき \enspace \enspace a^2-4a+5 \enspace (x = 2) \\
\end{cases}$

最小値は

$ $　$m(a) = $ $ \begin{cases}
2＜a \enspace のとき \enspace \enspace a^2 -4a +5 \enspace (x = 2) \\
\\
0≦a≦2 \enspace のとき \enspace \enspace 1 \enspace (x=a) \\
\\
a＜0 \enspace のとき \enspace \enspace a^2 + 1 \enspace (x = 0) \\
\end{cases}$

したがって、それぞれのグラフは下図の実線部分。

【２次関数】場合分け5つ（下に凸）Max(a)