マイナスでくくるタイプの平方完成がうまくできない・・・
x²の係数がマイナス（負の値）のとき、くくり方がイマイチわからない
どうやって平方完成すればいいのか分かりやすく教えてほしい！
こういった要望に応えます。
この記事を読めば、
$ $ $-2x^2 + 4x +1$
のような、$ $ $x^2$の係数がマイナスの式を迷わず＆すぐに平方完成できるようになります。
マイナスでくくる平方完成は「符号を逆」
を平方完成してみましょう。
まず$x^2$の係数（$-1$）で、前の2項をくくります。
このとき、$x$ の係数（$+2$）は符号が逆になるので気をつけましょう。
なので、次のような平方完成になります。
$-x^2 + 2x +1$
$= -(x^2$ $- 2$$x) +1$
$= -(x – 1)^2 -1 \cdot (-1)+1$
$=$・・・
試しに2行目の（ ）を分配法則で開いてみると、1行目の形に戻りますよね？
なので、この操作は正しいと言えます。
なお、ここからの 平方完成のやり方・手順 が不安だ・・・という人は、以下の記事でおさらいしましょう。
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マイナスでくくる平方完成の例題
マイナスでくくるタイプの平方完成 の例をもう少し見ておきましょう。
【例題1】$-2x^2 + 4x +3$ を平方完成せよ。
$-2x^2 + 4x +3$
$= -2(x^2$ $-2$$x) +3$
$= -2(x -1)^2 -1 \cdot (-2) +3$
$= -2(x -1)^2 +5$
【例題2】$-2x^2 – 2x -1$ を平方完成せよ。
$-2x^2 – 2x -1$
$= -2(x^2$ $+$$x) -1$
$\displaystyle {= -2 \left( x +{1\over2} \right) ^2 -{1\over4} \cdot (-2) -1}$
$\displaystyle {= -2 \left(x +{1\over2} \right)^2 -{1\over2}}$
【例題3】$-2x^2 +4ax$ を平方完成せよ。
$-2x^2 +4ax$
$= -2(x^2$ $-2a$$x)$
$= -2(x -a)^2 -a^2 \cdot (-2)$
$= -2(x -a)^2 +2a^2$
マイナスでくくる平方完成を練習しよう！
マイナスでくくるパターンの平方完成 の練習問題をやってみましょう。
全部で 5問あります。
すべて解いてから、まとめて答え合わせしましょう。
【問題】次の式を平方完成せよ。
(1) $-x^2+4x$
(2) $-2x^2 – 8x + 1$
(3) $-3x^2+ 2x -7$
(4) $-x^2+ 2ax -2a^2$
(5) $-2x^2 +ax +a^2$
- 【解答】を見る
- 【解答】
(1) $-(x -2)^2 +4$
(2) $-2(x +2)^2 +9$
(3) $\displaystyle {-3 \left(x -{1\over3} \right)^2 -{20\over3}}$
(4) $-(x – a)^2 -a^2 $
(5) $\displaystyle {-2 \left( x -{a\over4} \right)^2 +{9\over8}a^2}$
- 【解説（計算過程）】を見る
- 【解説】
(1) $-x^2+4x$
$= -(x^2$ $-4$$x)$
$= -(x -2)^2 -4 \cdot (-1)$
$= -(x -2)^2 +4$
(2) $-2x^2 – 8x + 1$
$= -2(x^2$ $+4$$x) + 1$
$= -2(x +2)^2 -4 \cdot (-2) + 1$
$= -2(x +2)^2 +9$
(3) $-3x^2 + 2x -7$
$= -3 \left(x^2 \displaystyle \color{red} {-{2\over3}} x \right) -7$
$\displaystyle {= -3 \left( x -{1\over3} \right)^2 -{1\over9} \cdot (-3) -7}$
$\displaystyle {= -3 \left( x -{1\over3} \right)^2 -{20\over3}}$
(4) $-x^2+ 2ax -2a^2$
$= -(x^2$ $- 2a$$x) -2a^2$
$= -(x – a)^2 -a^2 \cdot (-1) -2a^2$
$= -(x – a)^2 -a^2 $
(5) $-2x^2 +ax +a^2$
$= -2 \left( x^2 \displaystyle \color{red} {- {a\over2}} x \right) +a^2$
$\displaystyle {= -2 \left( x – {a\over4} \right)^2 – {a^2\over16} \cdot (-2) +a^2}$
$\displaystyle {= -2 \left( x – {a\over4} \right)^2 + {9\over8}a^2}$
【まとめ】マイナスでくくる平方完成は「符号を逆」
最後に、今回のまとめです。
分数でくくるタイプ平方完成 は、
に気をつければOK！
分数でくくる平方完成
$\displaystyle { y = \color{red}{2 \over 3}x^2 + 6x + 1}$ のように「$x^2$の係数が 分数」のときの 平方完成 についてはこちら。
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