【高校数学】文字(定数)でくくる平方完成のやり方【問題＋わかりやすい解説つき】

aとかの文字（定数）でくくるタイプの平方完成がうまくできない・・・

x²の係数が文字（定数）のとき、くくり方がイマイチわからない

どうやって平方完成すればいいのか分かりやすく教えてほしい！

こういった要望に応えます。

この記事を読めば、

$ $　$ax^2 +(a+7)x + 2a – 7 $

のような、$ $ $x^2$の係数が文字（定数）の式を迷わず＆すぐに平方完成できるようになります。

文字（定数）でくくる平方完成は「逆数をかける」

を平方完成してみましょう。

まず$x^2$の係数（$a$）で、前の2項をくくります。

このとき、「$x$ の係数（$b$）を $a$ で割る」つまり、

と考えればOK！

$ $　$b x$ $×\displaystyle {1\over a}$ $= \displaystyle {{b\over a}x}$

という計算を頭の中でやっておいて、

$\displaystyle{{b \over a}x}$ を（　）の中に残します。

試しに2行目の（　）を分配法則で開いてみると、1行目の形に戻りますよね？

なので、この操作は正しいと言えます。

なお、ここからの 平方完成のやり方・手順 が不安だ・・・という人は、以下の記事でおさらいしましょう。

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文字（定数）でくくる平方完成の例題

文字（定数）でくくるタイプの平方完成 の例をもう少し見ておきましょう。

【例題1】$ax^2 + 2ax$ を平方完成せよ。

$ax^2 + 2ax$

$= a(x^2$ $+ 2$$x)$

$= a(x + 1)^2 – 1 \cdot a$

$= a(x + 1)^2 – a$

【例題2】$2ax^2 – 2ax +3a$ を平方完成せよ。

$2ax^2 – 2a x +3a$

$= 2a(x^2$ $- $$x) +3a$

$\displaystyle {= 2a \left(x – {1\over 2} \right)^2 -{1\over 4} \cdot 2a +3a}$

$\displaystyle {= 2a \left(x – {1\over 2} \right)^2 +{5\over 2}a}$

【例題3】$ax^2 + b x +c$ を平方完成せよ。

$ax^2 + b x +c$

$=a \left(x^2 \displaystyle \color{red}{+{b\over a}} x \right) +c$

$\displaystyle {=a \left(x + {b\over 2a} \right)^2 – \left({b\over 2a} \right)^2 \cdot a  +c}$

$\displaystyle {=a \left(x + {b\over 2a} \right)^2 – {b^2\over 4a} +c}$

文字（定数）でくくる平方完成を練習しよう！

文字（定数）でくくるタイプの平方完成 の練習問題をやってみましょう。

なかなか骨のある問題も含まれていますが、これらが解けるようになったら平方完成は合格レベルです。

最後まであきらめずに計算しましょう！

【解答】を見る

【解答】

(1) $a(x + 2)^2 -4a$

(2) $\displaystyle {a \left(x -{1\over 2} \right)^2 +{7\over 4}a}$

(3) $\displaystyle {a^2 \left( x -{1\over a} \right) ^2 -2}$

(4) $\displaystyle {m \left( x + {m+1\over 2m} \right)^2 +{3m^2 – 2m – 1 \over 4m}}$

(5) $\displaystyle {a \left( x +{a+7\over 2a} \right)^2 +{7a^2 -42a – 49 \over 4a}}$

【解説（計算過程）】を見る

【解説】

(1) $ax^2 + 4ax$

$= a(x^2 \color{red}{+ 4} x )$

$= a(x + 2)^2 -4a$

 

(2) $ax^2 -ax +2a$

$= a(x^2 \color{red}{-} x) +2a$

$\displaystyle {= a \left(x -{1\over 2} \right)^2 -{1\over 4}a  +2a}$

$\displaystyle {= a \left(x -{1\over 2} \right)^2 +{7\over 4}a}$

 

(3) $a^2x^2 -2ax -1$

$= a^2 \left( x^2 \displaystyle \color{red} {-{2\over a}} x \right) – 1$

$\displaystyle {= a^2 \left( x -{1\over a} \right)^2 -{1\over a^2} \cdot a^2 – 1}$

$\displaystyle {= a^2 \left( x -{1\over a} \right)^2 – 2}$

 

(4) $mx^2 + (m+1)x + m$

$= m \left(x^2 \displaystyle \color{red} {+ {m+1\over m}} x \right) + m$

$\displaystyle {= m \left(x + {m+1\over 2m} \right)^2 – \left( {m+1\over 2m} \right)^2 \cdot m + m}$

$\displaystyle {= m \left(x + {m+1\over 2m} \right)^2 -{m^2 + 2m +1\over 4m} + m}$

$\displaystyle {= m \left(x + {m+1\over 2m} \right)^2 +{-m^2 – 2m -1\over 4m} + {4m^2\over 4m}}$

$\displaystyle {= m \left(x + {m+1\over 2m} \right)^2 +{3m^2 – 2m -1\over 4m}}$

 

(5) $ax^2 +(a+7)x + 2a – 7 $

$= a \left(x^2 \displaystyle {+{a+7\over a}} x \right) + 2a – 7$

$\displaystyle {= a \left(x +{a+7\over 2a} \right)^2 -\left( {a+7\over 2a} \right)^2 \cdot a + 2a – 7}$

$\displaystyle {= a \left(x +{a+7\over 2a} \right)^2 -{a^2 +14a +49\over 4a} + 2a – 7}$

$\displaystyle {= a \left(x +{a+7\over 2a} \right)^2 +{-a^2 -14a -49\over 4a} + {8a^2 – 28a\over 4a}}$

$\displaystyle {= a \left(x +{a+7\over 2a} \right)^2 +{7a^2 -42a -49\over 4a}}$

【まとめ】文字（定数）でくくる平方完成は「逆数をかける」

最後に、今回のまとめです。

文字（定数）でくくるタイプの平方完成 は、

と考えればOK！

分数でくくる平方完成のやり方

$\displaystyle { y = \color{red}{2 \over 3}x^2 + 6x + 1}$ のように「$x^2$の係数が 分数」のときの 平方完成 についてはこちら。

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マイナスでくくる平方完成のやり方

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