【高校数学】二次関数の平方完成は難しくない【簡単に求めるやり方をわかりやすく解説】

二次関数の「平方完成」の計算に手間取ったり、しかもミスをよくしてしまう

平方完成を素早く、確実に、簡単に計算する方法を知りたい!

そもそもなぜ平方完成するの?

平方完成はいつ使うの?

今回の記事では、こういった悩み・疑問を解決します。

意外と知られていない平方完成の簡単&確実な計算方法の紹介や、平方完成をいつ使うのかといった「使いどころ」をしっかり解説します。

なぜ平方完成をするのか?

そもそも平方完成は何のためにするのか?

「平方完成」をする目的はズバリ、

二次関数のグラフの形を明らかにするため

です。

二次関数のグラフの形は、主に3つの要素からなります。

① 上に凸 or 下に凸

② 頂点の座標 (x, y)

③ 軸 x = a

この3つがわかれば、とりあえずグラフを書くことができ、「二次関数の最大、最小を求める問題」は解くことができます。

二次関数 y = a(x − p)² + q を例に、それぞれ説明します。

二次関数 y = a(x − p)² + q

上に凸 or 下に凸

x² の係数 a の符号を見ます。

プラスなら 下に凸 です。

逆に、マイナスなら 上に凸 です。

頂点の座標 (p, q)

放物線の「頂点」の座標は(p, q)になります。

p の符号に気をつけましょう。

qはそのままでOKですが、pは符号を逆にして書きます。

【例】 y = 2(x + 3)² + 4 の頂点は (−3, 4)

軸 x = p

放物線を左右対称に分ける直線を「」と言います。

x = p のような形で、xy座標平面では 縦にまっすぐのびた直線になります。

【例】 y = 2(x + 3)² + 4 の軸は x = −3

平方完成の最速テクニック【簡単に求める方法】

それでは、平方完成を「素早く」「正確に」「簡単に」やる方法を紹介します。

【例題】−5x² + 20x + 6 を平方完成せよ。

① x² の係数(−5)で、前の2項をくくる

−5x² + 20x + 6

= −5(x² −4x) + 6

② 次のように書き換える

x² → x

÷2

x → 消す

括弧を2乗にする

−5(x² − 4x) + 6

= −5(x − 2  ・・・

③ その後ろに 「−(赤色の2乗)×(係数)」を書く

= −5(x − 2)²  2² ・(−5) ・・・

ひく2乗 かける 係数
と覚える!(ここがポイント)
2² を計算して 4 と書いてしまうのが早くておすすめ(下の【解答】を参照)。

④ 残りの項を書く

= −5(x − 2)²  −2² ・(−5) + 6

⑤ 計算しておわり

= −5(x − 2)²  + 26

一連の流れでやると、下のような計算になります。

【◎計算】

−5x² + 20x + 6

= −5(x² − 4x) + 6

= −5(x − 2)² −4・(−5)+ 6

= −5(x − 2)² + 26

教科書に載っているようなやり方と比べてみましょう。

【△計算】

−5x² + 20x + 6

= −5(x² − 4x) + 6

= −5{(x − 2)² −2²} + 6 ← 時間ロス!

= −5{(x − 2)² −4} + 6 ← 時間ロス!

= −5(x − 2)² +(−5)・(−4) + 6

= −5(x − 2)² + 26

まとめ

平方完成の計算に使った行数を見ると「◎計算」は3行、「△計算」は5行です。

つまり、今回紹介した「◎計算」は、教科書に載っている「△計算」と比べると 2行ぶん早く済みます。

まず2行減ることで早く終わるし、書き間違いによる計算ミスも減ります。

慣れたら計算がかなり早くなるので、どんどん練習してしっかりマスターしてください!

このように、限られた時間(日々の勉強もテストの時間も)のなかで賢くショートカットするテクニックを身につけましょう。

【練習問題】

(1) y = x² + 2x + 5

(2) y = x² − 6x + 12

(3) y = 2x² − 4x + 5

(4) y = −2x² − 6x + 1

(5) y = −3x² + 2x

【解答】

(1) (x + 1)² + 4

(2) (x − 3)² + 3

(3) 2(x − 1)² + 3

(4) −2(x + 3/2)² + 11/2

(5) −3(x − 1/3)² + 1/3

平方完成をいつ使うのか?

それでは、実際に平方完成を使って二次関数の問題を解いていきましょう。

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