二次関数の「平方完成」の計算に手間取ったり、しかもミスをよくしてしまう
平方完成を素早く、確実に、簡単に計算する方法を知りたい！
そもそもなぜ平方完成するの？
平方完成はいつ使うの？
今回の記事では、こういった悩み・疑問を解決します。
意外と知られていない平方完成の簡単＆確実な計算方法の紹介や、平方完成をいつ使うのかといった「使いどころ」をしっかり解説します。
なぜ平方完成をするのか？
そもそも平方完成は何のためにするのか？
「平方完成」をする目的はズバリ、
二次関数のグラフの形を明らかにするため
です。
二次関数のグラフの形は、主に3つの要素からなります。
① 上に凸 or 下に凸
② 頂点の座標 (x, y)
③ 軸 x = a
この3つがわかれば、とりあえずグラフを書くことができ、「二次関数の最大、最小を求める問題」は解くことができます。
二次関数 y = a(x − p)² + q を例に、それぞれ説明します。
二次関数 y = a(x − p)² + q
上に凸 or 下に凸
x² の係数 a の符号を見ます。
プラスなら 下に凸 です。
逆に、マイナスなら 上に凸 です。
頂点の座標 (p, q)
放物線の「頂点」の座標は(p, q)になります。
p の符号に気をつけましょう。
qはそのままでOKですが、pは符号を逆にして書きます。
【例】 y = 2(x + 3)² + 4 の頂点は (−3, 4)
軸 x = p
放物線を左右対称に分ける直線を「軸」と言います。
x = p のような形で、xy座標平面では 縦にまっすぐのびた直線になります。
【例】 y = 2(x + 3)² + 4 の軸は x = −3
平方完成の最速テクニック【簡単に求める方法】
それでは、平方完成を「素早く」「正確に」「簡単に」やる方法を紹介します。
【例題】−5x² + 20x + 6 を平方完成せよ。
① x² の係数（−5）で、前の2項をくくる
−5x² + 20x + 6
= −5(x² −4x) + 6
② 次のように書き換える
x² → x
赤÷2
x → 消す
括弧を2乗にする
−5(x² − 4x) + 6
= −5(x − 2)² ・・・
③ その後ろに 「−（赤色の2乗）×（係数）」を書く
= −5(x − 2)² −2² ・(−5) ・・・
④ 残りの項を書く
= −5(x − 2)² −2² ・(−5) + 6
⑤ 計算しておわり
= −5(x − 2)² + 26
一連の流れでやると、下のような計算になります。
【◎計算】
−5x² + 20x + 6
= −5(x² − 4x) + 6
= −5(x − 2)² −4・(−5)+ 6
= −5(x − 2)² + 26
教科書に載っているようなやり方と比べてみましょう。
【△計算】
−5x² + 20x + 6
= −5(x² − 4x) + 6
= −5{(x − 2)² −2²} + 6 ← 時間ロス！
= −5{(x − 2)² −4} + 6 ← 時間ロス！
= −5(x − 2)² +(−5)・(−4) + 6
= −5(x − 2)² + 26
まとめ
平方完成の計算に使った行数を見ると「◎計算」は3行、「△計算」は5行です。
つまり、今回紹介した「◎計算」は、教科書に載っている「△計算」と比べると 2行ぶん早く済みます。
まず2行減ることで早く終わるし、書き間違いによる計算ミスも減ります。
慣れたら計算がかなり早くなるので、どんどん練習してしっかりマスターしてください！
このように、限られた時間（日々の勉強もテストの時間も）のなかで賢くショートカットするテクニックを身につけましょう。
【練習問題】
(1) y = x² + 2x + 5
(2) y = x² − 6x + 12
(3) y = 2x² − 4x + 5
(4) y = −2x² − 6x + 1
(5) y = −3x² + 2x
【解答】
(1) (x + 1)² + 4
(2) (x − 3)² + 3
(3) 2(x − 1)² + 3
(4) −2(x + 3/2)² + 11/2
(5) −3(x − 1/3)² + 1/3
平方完成をいつ使うのか？
それでは、実際に平方完成を使って二次関数の問題を解いていきましょう。
★リンク（準備中）