【２次関数】グラフの頂点・軸の求め方はこれだけ！【練習問題＆わかりやすい解説つき】

２次関数のグラフの頂点と軸はどうやって求めたらいいの？

２次関数の頂点・軸の公式は覚える必要があるの？

簡単に素早く求める方法を知りたい！

こういった疑問・要望にこたえます。

２次関数のグラフは 平方完成 をすると頂点・軸がわかるようになります。

今回は

• ２次関数の軸・頂点とは？
• ２次関数の軸・頂点の求め方
• ２次関数の平方完成のやり方
• ２次関数の軸・頂点を求める練習問題

を解説します。

【２次関数】グラフの頂点・軸とは？

２次関数の頂点・軸の意味

２次関数 $y = a(x−p)^2 + q$ のグラフは

• 頂点 $(p, q)$  から上・下に 開く
• 軸：$x = p$  について 線対称（左右対称）

の放物線です。

中学数学「２次関数 $y = ax^2$」と比較

中学で習った２次関数「$y = ax^2$」のグラフを思い出しましょう。

$y = a(x−0)^2 + 0$ と変形できるので

$ \begin{cases}
頂点 (0, 0) \enspace ・・・ \enspace 原点O \\
\\
軸：x = 0 \enspace ・・・ \enspace y軸 \\
\end{cases}$

と見ることもできますね。

ということは、

２次関数「$y = a(x−\color{green}{p} )^2 + \color{red}{q}$ のグラフ」は「$y = ax^2$ のグラフ」を

$x$軸方向に $\color{green}{p}$、$y$軸方向に $\color{red}{q}$ だけ平行移動したもの

と考えることができます。

【２次関数】頂点・軸の求め方2つ：平方完成・公式

２次関数のグラフの頂点・軸の求め方 は2つあります。

結論から言うと、2次関数は「平方完成する」と覚えておけば大丈夫です。

全国の学校・塾（予備校）などでも、２次関数の頂点・軸を 公式 を使って求めるやり方はあまり指導されません。

理由は単純で「覚えにくい＆使いにくい」からですね。

【２次関数】頂点・軸は平方完成でOK！

２次関数を「平方完成する」とは、

$ $　$\color{red}{ y = a(x−p)^2 + q } $

の形に変えることです。

平方完成することで、放物線の 頂点 と 軸 が分かるわけですね。

２次関数の「平方完成 の簡単なやり方」はこちらに書いておきました。

学校や塾で教えられるような 普通の平方完成のやり方よりスピードが速い ので、ぜひマスターしておきましょう。

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【２次関数】頂点・軸の公式は覚えなくていい

「２次関数の頂点・軸の公式を覚える必要があるのか？」という質問への答えですが、正直に言うと「公式は覚えなくていい」です。

なぜなら公式自体が覚えにくいのと、公式を使うとかえって計算スピードが遅くなってしまうから。

なので、ここでは軽い紹介にとどめておきます。

公式にあてはめるだけですね。

ですが、公式が覚えにくかったり間違えやすいのでオススメはしません。

【２次関数】分数でくくる平方完成のやり方

$\displaystyle { y = \color{red}{2 \over 3}x^2 + 6x + 1}$ のように「$x^2$の係数が 分数」のときの 平方完成 についてはこちら。

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【２次関数】マイナスでくくる平方完成のやり方

$\displaystyle { y = \color{red}{−2}x^2 + 2x + 1}$ のように「$x^2$の係数が マイナス」のときの 平方完成  についてはこちら。

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【２次関数】文字でくくる平方完成のやり方

$\displaystyle { y = \color{red}{a}x^2 + 2ax + 1}$ のように「$x^2$の係数が 文字」のときの 平方完成 についてはこちら。

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【２次関数】平方完成マスターのための練習問題

ここまでの内容がちゃんと理解できているか、練習問題を解いて確かめてみましょう！

【解答】を見る

【解答】

(1) $\displaystyle { y = \left(x −1 \right)^2 + 2 }$
$ $　頂点$\displaystyle { \left( 1 , 2 \right) }$、軸 $\displaystyle { x = 1 }$

(2) $\displaystyle { y = 3 \left(x + 1 \right)^2 −4 }$
$ $　頂点$\displaystyle { \left( −1 , −4 \right) }$、軸 $\displaystyle { x = −1 }$

(3) $\displaystyle { y = \left(x + {5 \over 2} \right)^2 −{17 \over 4} }$
$ $　頂点$\displaystyle { \left( −{5 \over 2} , −{17 \over 4} \right) }$、軸 $\displaystyle { x = −{5 \over 2} }$

(4) $\displaystyle { y = 5 \left( t − {1 \over 2} \right)^2 + {15 \over 4} }$
$ $　頂点$\displaystyle { \left( {1 \over 2} , {15 \over 4} \right) }$、軸 $\displaystyle { t = {1 \over 2} }$

(5) $\displaystyle { y = − \left(x + 2 \right)^2 + 7 }$
$ $　頂点$\displaystyle { \left( −2 , 7 \right) }$、軸 $\displaystyle { x = −2 }$

(6) $\displaystyle { y = −3 \left( x + {2 \over 3} \right)^2 +{1 \over 3} }$
$ $　頂点$\displaystyle { \left( −{2 \over 3} , {1 \over 3} \right) }$、軸 $\displaystyle { x = −{2 \over 3} }$

(7) $\displaystyle { y = {2 \over 3} \left( x − {3 \over 2} \right)^2 + {5 \over 2} }$
$ $　頂点$\displaystyle { \left( {3 \over 2} , {5 \over 2} \right) }$、軸 $\displaystyle { x = {3 \over 2} }$

(8) $\displaystyle { y = −{4 \over 5} \left( t + {5 \over 2} \right)^2 −2 }$
$ $　頂点$\displaystyle { \left( −{5 \over 2} , −2 \right) }$、軸 $\displaystyle { t = −{5 \over 2} }$

(9) $\displaystyle { y = 2a \left( x − {5 \over 2} \right)^2 − {19 \over 2} a }$
$ $　頂点$\displaystyle { \left( {5 \over 2} , − {19 \over 2} a \right) }$、軸 $\displaystyle { x = {5 \over 2} }$

(10) $\displaystyle { y = −{2 \over 3}a \left( x + {9 \over 2} \right)^2 + {3 \over 2} a }$
$ $　頂点$\displaystyle { \left( −{9 \over 2} , {3 \over 2} a \right) }$、軸 $\displaystyle { x = −{9 \over 2} }$

【解説（計算過程）】を見る

【解説】

(1) $\displaystyle { x^2 −2x + 3 }$

$ $　$\displaystyle { = \left(x −1 \right)^2 −1 + 3 }$

$ $　$\displaystyle { = \left(x −1 \right)^2 + 2 }$

 

(2) $\displaystyle { 3x^2 + 6x − 1 }$

$ $　$\displaystyle { = 3 \left(x^2 + 2x \right) − 1 }$

$ $　$\displaystyle { = 3 \left(x + 1 \right)^2 −1 \cdot 3 − 1 }$

$ $　$\displaystyle { = 3 \left(x + 1 \right)^2 −4 }$

 

(3) $\displaystyle { x^2 + 5x + 2 }$

$ $　$\displaystyle { = \left(x + {5 \over 2} \right)^2 −{25 \over 4} + 2 }$

$ $　$\displaystyle { = \left(x + {5 \over 2} \right)^2 −{17 \over 4} }$

 

(4) $\displaystyle { 5t^2 − 5t + 5 }$

$ $　$\displaystyle { = 5 \left( t^2 − t \right)  + 5 }$

$ $　$\displaystyle { = 5 \left( t − {1 \over 2} \right)^2 −{1 \over 4} \cdot 5 + 5 }$

$ $　$\displaystyle { = 5 \left( t − {1 \over 2} \right)^2 + {15 \over 4} }$

 

(5) $\displaystyle { −x^2 − 4x + 3 }$

$ $　$\displaystyle { = − \left(x^2 + 4x \right) + 3 }$

$ $　$\displaystyle { = − \left(x + 2 \right)^2 −4 \cdot (−1) + 3 }$

$ $　$\displaystyle { = − \left(x + 2 \right)^2 + 7 }$

 

(6) $\displaystyle { −3x^2 − 4x − 1 }$

$ $　$\displaystyle { =−3 \left( x^2 + {4 \over 3} x \right)− 1 }$

$ $　$\displaystyle { =−3 \left( x + {2 \over 3} \right)^2 −{4 \over 9} \cdot (−3)− 1 }$

$ $　$\displaystyle { =−3 \left( x + {2 \over 3} \right)^2 +{1 \over 3} }$

 

(7) $\displaystyle { {2 \over 3}x^2 − 2x + 4 }$

$ $　$\displaystyle { = {2 \over 3} \left( x^2 − 3x \right) + 4 }$

$ $　$\displaystyle { = {2 \over 3} \left( x − {3 \over 2} \right)^2 −{9 \over 4} \cdot {2 \over 3} + 4 }$

$ $　$\displaystyle { = {2 \over 3} \left( x − {3 \over 2} \right)^2 + {5 \over 2} }$

 

(8) $\displaystyle { −{4 \over 5}t^2 − 4t − 7 }$

$ $　$\displaystyle { = −{4 \over 5} \left( t^2 + 5t \right) − 7 }$

$ $　$\displaystyle { = −{4 \over 5} \left( t + {5 \over 2} \right)^2 −{25 \over 4} \cdot \left(−{4 \over 5} \right) − 7 }$

$ $　$\displaystyle { = −{4 \over 5} \left( t + {5 \over 2} \right)^2 −2 }$

 

(9) $\displaystyle { 2ax^2 − 10ax + 3a }$

$ $　$\displaystyle { = 2a \left( x^2 − 5x \right) + 3a }$

$ $　$\displaystyle { = 2a \left( x − {5 \over 2} \right)^2 − {25 \over 4} \cdot 2a + 3a }$

$ $　$\displaystyle { = 2a \left( x − {5 \over 2} \right)^2 − {19 \over 2} a }$

 

(10) $\displaystyle { −{2 \over 3}ax^2 − 6ax −12 a }$

$ $　$\displaystyle { = −{2 \over 3}a \left( x^2 + 9x \right) − 12 a }$

$ $　$\displaystyle { = −{2 \over 3}a \left( x + {9 \over 2} \right)^2 −{81 \over 4} \cdot \left(−{2 \over 3}a \right) − 12 a }$

$ $　$\displaystyle { = −{2 \over 3}a \left( x + {9 \over 2} \right)^2 + {3 \over 2} a }$

最後に

どうでしたか？ ２次関数の平方完成には慣れましたか？

平方完成は、２次関数のほかにも様々な問題を解くうえで必要になります。

いつでもスラスラ計算できるように、たくさん練習しておきましょう！

２次関数のグラフの簡単な書き方（裏ワザ）

２次関数のグラフを「簡単に」「素早く」「キレイに」書く裏ワザ についてはこちら。

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