【２次関数】場合分けが「3つ」のパターンをわかりやすく解説！(最大値・最小値の求め方)

「２次関数の最大値・最小値を求める問題」で場合分けが3つになるパターンがよく分からない・・・

どうやって 3つに場合分けしたらいいの？

教科書や学校の授業だとよく理解できないから、わかりやすく解説してほしい！

こういったお悩みを解決します。

２次関数で場合分けが必要な問題 は、学校のテストや大学入試でもよく出るので

しっかり解けるようにしておかなければいけません。

にも関わらず、教科書や学校の授業は説明が分かりにくいために「２次関数の場合分けがニガテだ・・・」という高校生・受験生はたくさんいます。

このページを読めば、

「２次関数の最大値・最小値を求める問題」で場合分けが 3つ になるパターンの解き方がスッキリ分かります。

できる限り「丁寧」かつ「シンプルに」分かりやすく説明していきます！

【２次関数】場合分けが「3つ」のパターン【最大値・最小値の求め方】

「２次関数の最大値・最小値を求める問題」の場合分けのポイントは

によって場合分けするということです。

さらに、その中でも

• 下に凸 × 最大値
• 上に凸 × 最小値

のパターンの問題で場合分けに必要なのが

※ 求め方： $\displaystyle{ 中= { 左 + 右 \over 2 } } $

２次関数が「下に凸」「上に凸」のパターンに分けてそれぞれ解説していきます。

【２次関数】場合分けが「3つ」のパターン（下に凸）

まずは「２次関数（下に凸）の最大値・最小値を求める問題」から見ていきましょう。

【パターン1】下に凸 × 最大値

「下に凸 × 最大値」のパターンは、以下の3つに場合分けできます。

$ $[1]  最大値が「左」（中＜軸）

$ $[2]  最大値が「左・右」（軸＝中）

$ $[3]  最大値が「右」（軸＜中）

実際の問題で解説していきます！

まずは平方完成して

「頂点」「軸」「上・下に凸」

を求めておきましょう。

定数aの値によって軸の位置が変わるので、場合分けをしなければいけません。

さて、ここで場合分けに必要なのが

※ 求め方： $\displaystyle{ 中= { 左 + 右 \over 2 } } $

最大値（グラフ上で一番高いところ）が「左」「頂点」「右」のどこになるか？を考えると

下に凸のグラフなので、最大値が「頂点」の場合はありえませんね。

なので、以下の3つに場合分けします。

[1]  最大値が「左」（中＜軸）

最大値をとるような $x$ の値が「左（$x=0$）」の場合を考えます。

このとき、「中＜軸」より「$1＜a$」です。

簡単なグラフの書き方は、以下の手順になります。

① $x$軸、下に凸の放物線、放物線の軸 を用意する

② 中＜軸 となるように「中（$x=1$）」を書く

③ 左右のバランスを考えながら「左（$x=0$）」「右（$x=2$）」を書く

③ 放物線にプロットして、範囲を濃く塗る

④ 高さが最大の点を読み取る

こんな感じです。

なので、[1]の場合 の解答は以下の通り。

あとは、同じ要領で [2]、[3]の場合 も考えればOK！

[2]  最大値が「左・右」（軸＝中）

最大値をとるような $x$ の値が「左（$x=0$）」と「右（$x=2$）」の場合（左・右の高さが揃う）を考えます。

このとき、軸と「中」が重なっているので、

「軸＝中」より「$a=1$」ですね。

[3]  最大値が「右」（軸＜中）

最大値をとるような $x$ の値が「右（$x=2$）」の場合を考えます。

このとき、「軸＜中」より「$a＜1$」です。

ここまでの解答をまとめると以下になります。

【解答】を見る

【解答】

$ y = x^2 -2ax + a^2 + 1 $

$ $　$ = (x -a)^2 + 1 $

∴ $ \begin{cases}
頂点 \enspace (a, 1) \\
\\
軸：x = a  \\
\\
下に凸 \\
\end{cases}$　の放物線。

ここで、$0≦x≦2$ における中央の値は

$ $　$ \displaystyle{ { 0 + 2 \over 2 } = 1 } $

よって、以下の3つに場合分けできる。

$ $[1]  $1＜a$ のとき

$ $　$x = 0$ で　最大値 $a^2+1$

 

$ $[2]  $a=1$ のとき

$ $　$ x=0, 2 $ で　最大値 $a^2 + 1 = 2 $ （$a=1$ を代入）

 

$ $[3]  $a＜1$ のとき

$ $　$x=2$ で　最大値 $a^2-4a+5$

 

$ $[1]〜[3]より、求める最大値は

$ \begin{cases}
1＜a \enspace のとき \enspace \enspace a^2+1 \enspace (x = 0) \\
\\
a=1 \enspace のとき \enspace \enspace 2 \enspace (x=0, 2) \\
\\
a＜1 \enspace のとき \enspace \enspace a^2-4a+5 \enspace (x = 2) \\
\end{cases}$

【パターン2】下に凸 × 最小値

次は「下に凸 × 最小値」のパターンです。

以下の3つに場合分けできます。

$ $[1]  最小値が「右」（右＜軸）

$ $[2]  最小値が「頂点」（左≦軸≦右）

$ $[3]  最小値が「左」（軸＜左）

実際の問題で解説していきます！

まずは平方完成して

「頂点」「軸」「上・下に凸」

を求めておきましょう。

ここまではさっきの「例題1」と同じ流れです。

最小値（グラフ上で一番低いところ）が「左」「頂点」「右」のどこになるか？を考えると

以下の3つに場合分けできます。

[1]  最小値が「右」（右＜軸）

最小値をとるような $x$ の値が「右（$x=2$）」の場合を考えます。

このとき、「右＜軸」より「$2＜a$」です。

簡単なグラフの書き方は、以下の手順になります。

① $x$軸、下に凸の放物線、放物線の軸 を用意する

② 右＜軸 となるように「右（$x=2$）」を書く

③ 「左（$x=0$）」を書く

③ 放物線にプロットして、範囲を濃く塗る

④ 高さが最小の点を読み取る

よって、[1]の場合 の解答は以下の通り。

あとは、同じ要領で [2]、[3]の場合 も考えればOK！

[2]  最小値が「頂点」（左≦軸≦右）

最小値をとるような $x$ の値が「頂点（$x=a$）」の場合を考えます。

このとき、「左≦軸≦右」より「$0≦a≦2$」です。

[3]  最小値が「左」（軸＜左）

最小値をとるような $x$ の値が「左（$x=0$）」の場合を考えます。

このとき、「軸＜左」より「$a＜0$」です。

ここまでの解答をまとめると以下になります。

【解答】を見る

【解答】

$ y = x^2 -2ax + a^2 + 1 $

$ $　$ = (x -a)^2 + 1 $

∴ $ \begin{cases}
頂点 \enspace (a, 1) \\
\\
軸：x = a  \\
\\
下に凸 \\
\end{cases}$　の放物線。

$ $[1]  $2＜a$ のとき

$ $　$x = 2$ で　最小値 $ a^2 -4a +5 $

 

$ $[2]  $ 0≦a≦2 $ のとき

$ $　$ x = a $ で　最小値 $ 1 $

 

$ $[3]  $ a＜0 $ のとき

$ $　$ x = 0 $ で　最小値 $ a^2 + 1 $

 

$ $[1]〜[3]より、求める最小値は

$ \begin{cases}
2＜a \enspace のとき \enspace \enspace a^2 -4a +5 \enspace (x = 2) \\
\\
0≦a≦2 \enspace のとき \enspace \enspace 1 \enspace (x=a) \\
\\
a＜0 \enspace のとき \enspace \enspace a^2 + 1 \enspace (x = 0) \\
\end{cases}$

補足：場合分けでイコールをどっちにつければいいの？

２次関数の場合分けを生徒に教えているときに、よくある質問が

$ $[2]  $0≦a≦2$ のとき ってどうして「$0\color{red}{＜}a\color{red}{＜}2$」じゃなくて「$0 \color{red}{≦}a\color{red}{≦}2$」ってイコールが入ってるの？

$ $[1]  $ 2 \color{red}{＜}a $ 　→　$ $[1]  $ 2\color{red}{≦}a $
$ $[3]  $ a \color{red}{＜}0 $ 　→　$ $[3]  $ a\color{red}{≦}0 $

みたいに[1]と[3]の場合分けにイコールを入れちゃダメなの？

というものです。

これに対する答えは「漏れやダブりがなければ、どっちにイコールを入れてもOK！」です。

なので、

$ $　[1]  $ 2 \color{red}{≦}a $
$ $　[2]  $0 \color{red}{＜} a \color{red}{＜} 2$
$ $　[3]  $ a \color{red}{≦}0 $

のように場合分けしても全く問題ありません。

【２次関数】場合分けが「3つ」のパターン（上に凸）

次は「２次関数（上に凸）の最大値・最小値を求める問題」を解説していきます。

【パターン3】上に凸 × 最大値

「上に凸 × 最大値」のパターンは、以下の3つに場合分けできます。

$ $[1]  最大値が「右」（右＜軸）

$ $[2]  最大値が「頂点」（左≦軸≦右）

$ $[3]  最大値が「左」（軸＜左）

実際の問題を見ていきましょう！

まずは平方完成して

「頂点」「軸」「上・下に凸」

を求めておきましょう。

最大値（グラフ上で一番高いところ）が「左」「頂点」「右」のどこになるか？を考えると

以下の3つに場合分けできます。

[1]  最大値が「右」（右＜軸）

最大値をとるような $x$ の値が「右（$x=2$）」の場合を考えます。

このとき、「右＜軸」より「$2＜a$」です。

[2] 最大値が「頂点」（左≦軸≦右）

最大値をとるような $x$ の値が「頂点（$x=a$）」の場合を考えます。

このとき、「左≦軸≦右」より「$0≦a≦2$」です。

[3] 最大値が「左」（軸＜左）

最大値をとるような $x$ の値が「左（$x=0$）」の場合を考えます。

このとき、「軸＜左」より「$a＜0$」です。

ここまでの解答をまとめると以下になります。

【解答】を見る

【解答】

$ y = -x^2 +2ax -a^2 -1 $

$ $　$ = -(x -a)^2 -1 $

∴ $ \begin{cases}
頂点 \enspace (a, -1 ) \\
\\
軸：x = a  \\
\\
上に凸 \\
\end{cases}$　の放物線。

$ $[1]  $2＜a$ のとき

$ $　$x = 2$ で　最大値 $-a^2 +4a -5$

 

$ $[2]  $0≦a≦2$ のとき

$ $　$x = a$ で　最大値 $-1$

 

$ $[3]  $a＜0$ のとき

$ $　$x = 0$ で　最大値 $-1$

 

$ $[1]〜[3]より、求める最大値は

$ \begin{cases}
2＜a \enspace のとき \enspace \enspace -a^2 +4a -5 \enspace (x = 2) \\
\\
0≦a≦2 \enspace のとき \enspace \enspace -1 \enspace (x=a) \\
\\
a＜0 \enspace のとき \enspace \enspace -a^2 – 1 \enspace (x = 0) \\
\end{cases}$

【パターン4】上に凸 × 最小値

「上に凸 × 最小値」のパターンは、以下の3つに場合分けできます。

$ $[1]  最小値が「左」（中＜軸）

$ $[2]  最小値が「左・右」（軸＝中）

$ $[3]  最小値が「右」（軸＜中）

実際の問題で解説していきます！

まずは平方完成して

「頂点」「軸」「上・下に凸」

を求めておきましょう。

さて、ここで場合分けをするのに必要なのが

※ 求め方： $\displaystyle{ 中= { 左 + 右 \over 2 } } $

最小値（グラフ上で一番低いところ）が「左」「頂点」「右」のどこになるか？を考えると

上に凸のグラフなので、最小値が「頂点」の場合はありえませんね。

なので、以下の3つに場合分けします。

[1]  最小値が「左」（中＜軸）

最小値をとるような $x$ の値が「左（$x=0$）」の場合を考えます。

このとき、「中＜軸」より「$1＜a$」です。

[2]  最小値が「左・右」（軸＝中）

最小値をとるような $x$ の値が「左（$x=0$）」と「右（$x=2$）」の場合（左・右の高さが揃う）を考えます。

このとき、軸と「中」が重なっているので、

「軸＝中」より「$a=1$」となります。

[3]  最小値が「右」（軸＜中）

最小値をとるような $x$ の値が「右（$x=2$）」の場合を考えます。

このとき、「軸＜中」より「$a＜1$」です。

ここまでの解答をまとめると以下になります。

【解答】を見る

【解答】

$ $　$ y = -(x -a)^2 -1 $

∴ $ \begin{cases}
頂点 \enspace (a, -1 ) \\
\\
軸：x = a  \\
\\
上に凸 \\
\end{cases}$　の放物線。

ここで、$0≦x≦2$ における中央の値は

$ $　$ \displaystyle{ { 0 + 2 \over 2 } = 1 } $

よって、以下の3つに場合分けできる。

$ $[1]  $1＜a$ のとき

$ $　$x = 0$ で　最小値 $-1$

 

$ $[2]  $a=1$ のとき

$ $　$ x=0, 2 $ で　最小値 $-a^2 – 1 = -2 $ （$a=1$ を代入）

 

$ $[3]  $a＜1$ のとき

$ $　$x=2$ で　最小値 $-a^2 +4a -5$

 

$ $[1]〜[3]より、求める最小値は

$ \begin{cases}
1＜a \enspace のとき \enspace \enspace -a^2-1 \enspace (x = 0) \\
\\
a=1 \enspace のとき \enspace \enspace -2 \enspace (x=0, 2) \\
\\
a＜1 \enspace のとき \enspace \enspace -a^2 +4a -5 \enspace (x = 2) \\
\end{cases}$

以上です。お疲れ様でした！

【まとめ】２次関数の場合分けが「3つ」のパターン【最大値・最小値の求め方】

最後にまとめです。

「２次関数の最大値・最小値を求める問題」の場合分けのポイントは

中でも

• 下に凸 × 最大値
• 上に凸 × 最小値

のパターンの問題で場合分けをするときに必要なのが

※ 求め方： $\displaystyle{ 中= { 左 + 右 \over 2 } } $

似たような問題をたくさん解いて、２次関数の場合分けに慣れておきましょう！

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