【高校数学】背理法による証明の書き方・手順【具体例を使ってわかりやすく解説】

今回の記事は、次のような疑問を持っている人のために書きました。

背理法の使い方・考え方がいまいち分からない

背理法をいつ、どんな問題で使えばいいの?

そもそも背理法って何? 正直、意味不明だ・・・

元の命題がそのまま証明しにくいときには、対偶背理法 のどちらかで証明するといいです。

対偶 については下の記事で解説しています(対偶と背理法の違い・使い分けについても書いています)。

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今回は 背理法 の使い方をわかりやすく解説します。

背理法(はいりほう)を使った証明の手順

背理法は、次のようなステップを踏むことで、与えられた命題を証明する方法です。

(1)反対のこと(否定)が成り立つと 仮定 する

  ↓

(2)矛盾 が生じる

  ↓

(3)最初の仮定が間違っていた

  ↓

(4)与題は成り立つ

こんな流れで書いていきます。

実際に、有名な問題を使って証明していきましょう。

【例題1】√3 が無理数であることを証明せよ。

この命題をそのまま証明するのは難しいです。

だって、√3が無理数なのは当たり前ですもんね。

こういった問題では 背理法 を使って証明します。

(1)反対のこと(否定)が成り立つと仮定する

与題「√3は無理数である」の反対のこと(否定)は「√3は無理数でない」つまり「√3は有理数である」です。

「有理数である」と仮定するやり方は、次の2パターン覚えておきましょう。

  1. √3 = r (r:有理数)とおける
  2. √3 = p/q (p, qは互いに素な自然数)とおける

2つの数が「互いに素(そ)」というのは、例えば 2 と 3 のように、「公約数が 1 しかない」状態のことを言います。

別の言い方をすると、p/q は 2/3 のように「それ以上約分できない」(既約分数 といいます)ということです。

この問題では、①のやり方だとすぐに行き詰まります。

なので、②で証明をスタートしましょう。

【証明】

「√3は有理数である」と仮定すると

 √3 = p/q (p, qは互いに素な自然数)・・・①

とおける。

(2)矛盾が生じる

次にやることは、「矛盾が生じることを示す」です。

つじつまが合わなくなることが言えたら勝ちです。

上の証明の続きです。

① × q より、

 √3 q = p

両辺 2乗して、

 3q² = p² ・・・②

√3 がルートのままでは分かりにくいので、両辺を2乗しました。

そして、次がポイントです。

左辺と右辺を比較 します。

左辺が 3の倍数 なので、右辺も 3の倍数。

左辺は 3q² つまり 3 ×(自然数) の形なので、3の倍数です。

ということは、右辺もそれとイコールなので 3の倍数のはずです。

よって、p は 3の倍数。  ・・・③

p² が 3の倍数ということは、2乗する前の p も 3の倍数です。

(厳密には証明が必要ですが、ここでは省略します)

例:

3² = 9 = 3 × 3

6² = 36 = 3 × 12

9² = 81 = 3 ×27 など

なので、

 p = 3k (k:自然数)

とおける。

②に代入して、

 3q² = (3k)²
 ∴ 3q² = 9k²
 ∴ q² = 3k²

ここでまた、左辺と右辺を比較 します。

右辺が 3の倍数なので、左辺も 3の倍数。

よって、q は 3の倍数。 ・・・④

ここで、

 p は 3の倍数。 ・・・③

 q は 3の倍数。 ・・・④

となっており、最初に仮定した

 √3 = p/q (p, qは互いに素な自然数)・・・①

と矛盾しています。

ここで、③、④は初めに仮定した①に反しており、矛盾が生じる。

(3)最初の仮定が間違っていた

「√3は有理数である」と仮定したことで矛盾が生じたということは、最初の仮定がそもそも間違っていたということです。

(4)与題は成り立つ

「√3は有理数である」が間違いと分かったので、その反対の「√3は無理数である」が正しいということになります。

したがって、√3は無理数である。 [終]

証明問題の最後のシメですが、以下のような書き方もコンパクトでおすすめです。

題意は示された。

与題は成り立つ。

まとめ

ここまでの証明を一気に書くとこうなります。

【証明】

「√3は有理数である」と仮定すると

 √3 = p/q (p, qは互いに素な自然数)・・・①

とおける。

① × q より、

 √3 q = p

両辺 2乗して、

 3q² = p² ・・・②
左辺が 3の倍数 なので、右辺も 3の倍数。
よって、p は 3の倍数。  ・・・③

なので、

 p = 3k (k:自然数)

とおける。

②に代入して、

 3q² = (3k)²
 ∴ 3q² = 9k²
 ∴ q² = 3k²

右辺が 3の倍数なので、左辺も 3の倍数。

よって、q は 3の倍数。 ・・・④

ここで、③、④は初めに仮定した①に反しており、矛盾が生じる。

したがって、√3は無理数である。 [終]

【例題2】√3 − 2 が無理数であることを証明せよ。

例題1 の結果(√3は無理数)を利用してよいことにします。

「√3 − 2 が無理数である」ことをそのまま証明するのは難しいです。

ですが、背理法を使えば簡単に証明できます(例題1よりも簡単)。

今回は①の仮定のしかた(r:有理数)で証明をスタートします。

【証明】

「√3 − 2 は有理数である」と仮定すると、

 √3 − 2 = r (r:有理数) ・・・①

とおける。

∴ √3 = r + 2

ここで、やはり左辺と右辺を比較します。

例題1の結果より、左辺は無理数。

①より、右辺は有理数。

右辺については、r + 2 つまり「有理数 + 有理数」なので、必ず有理数になります。

(無理数) = (有理数) となり、矛盾が生じる。

したがって、√3 − 2 は無理数である。 [終]

まとめ

証明をまとめておきます。

【証明】

「√3 − 2 は有理数である」と仮定すると、

√3 − 2 = r (r:有理数) ・・・①

とおける。

∴ √3 = r + 2

例題1の結果より、左辺は無理数。

①より、右辺は有理数。

(無理数) = (有理数) となり、矛盾が生じる。

したがって、√3 − 2 は無理数である。 [終]