今回の記事は、次のような疑問を持っている人のために書きました。
背理法の使い方・考え方がいまいち分からない
背理法をいつ、どんな問題で使えばいいの?
そもそも背理法って何? 正直、意味不明だ・・・
元の命題がそのまま証明しにくいときには、対偶 か 背理法 のどちらかで証明するといいです。
対偶 については下の記事で解説しています(対偶と背理法の違い・使い分けについても書いています)。
対偶を使った証明がよくわからない 対偶と背理法の違い・使い分けがわからない 対偶と背理法の見分け方を教えてほしい こんな悩みがあるのなら、今回の記事が役に立つと思います。 元の命題がそのまま証明しにくいときには、対偶 か[…]
今回は 背理法 の使い方をわかりやすく解説します。
背理法(はいりほう)を使った証明の手順
背理法は、次のようなステップを踏むことで、与えられた命題を証明する方法です。
(1)反対のこと(否定)が成り立つと 仮定 する
(2)矛盾 が生じる
(3)最初の仮定が間違っていた
(4)与題は成り立つ
こんな流れで書いていきます。
実際に、有名な問題を使って証明していきましょう。
【例題1】√3 が無理数であることを証明せよ。
この命題をそのまま証明するのは難しいです。
だって、√3が無理数なのは当たり前ですもんね。
こういった問題では 背理法 を使って証明します。
(1)反対のこと(否定)が成り立つと仮定する
与題「√3は無理数である」の反対のこと(否定)は「√3は無理数でない」つまり「√3は有理数である」です。
「有理数である」と仮定するやり方は、次の2パターン覚えておきましょう。
- √3 = r (r:有理数)とおける
- √3 = p/q (p, qは互いに素な自然数)とおける
2つの数が「互いに素(そ)」というのは、例えば 2 と 3 のように、「公約数が 1 しかない」状態のことを言います。
別の言い方をすると、p/q は 2/3 のように「それ以上約分できない」(既約分数 といいます)ということです。
この問題では、①のやり方だとすぐに行き詰まります。
なので、②で証明をスタートしましょう。
【証明】
「√3は有理数である」と仮定すると
とおける。
(2)矛盾が生じる
次にやることは、「矛盾が生じることを示す」です。
つじつまが合わなくなることが言えたら勝ちです。
上の証明の続きです。
① × q より、
両辺 2乗して、
√3 がルートのままでは分かりにくいので、両辺を2乗しました。
そして、次がポイントです。
左辺と右辺を比較 します。
左辺は 3q² つまり 3 ×(自然数) の形なので、3の倍数です。
ということは、右辺もそれとイコールなので 3の倍数のはずです。
p² が 3の倍数ということは、2乗する前の p も 3の倍数です。
(厳密には証明が必要ですが、ここでは省略します)
例:
3² = 9 = 3 × 3
6² = 36 = 3 × 12
9² = 81 = 3 ×27 など
なので、
とおける。
②に代入して、
ここでまた、左辺と右辺を比較 します。
右辺が 3の倍数なので、左辺も 3の倍数。
よって、q は 3の倍数。 ・・・④
ここで、
p は 3の倍数。 ・・・③
q は 3の倍数。 ・・・④
となっており、最初に仮定した
と矛盾しています。
(3)最初の仮定が間違っていた
「√3は有理数である」と仮定したことで矛盾が生じたということは、最初の仮定がそもそも間違っていたということです。
(4)与題は成り立つ
「√3は有理数である」が間違いと分かったので、その反対の「√3は無理数である」が正しいということになります。
証明問題の最後のシメですが、以下のような書き方もコンパクトでおすすめです。
「題意は示された。」
「与題は成り立つ。」
まとめ
ここまでの証明を一気に書くとこうなります。
【証明】
「√3は有理数である」と仮定すると
とおける。
① × q より、
両辺 2乗して、
なので、
とおける。
②に代入して、
右辺が 3の倍数なので、左辺も 3の倍数。
よって、q は 3の倍数。 ・・・④
ここで、③、④は初めに仮定した①に反しており、矛盾が生じる。
したがって、√3は無理数である。 [終]
【例題2】√3 − 2 が無理数であることを証明せよ。
例題1 の結果(√3は無理数)を利用してよいことにします。
「√3 − 2 が無理数である」ことをそのまま証明するのは難しいです。
ですが、背理法を使えば簡単に証明できます(例題1よりも簡単)。
今回は①の仮定のしかた(r:有理数)で証明をスタートします。
【証明】
「√3 − 2 は有理数である」と仮定すると、
とおける。
∴ √3 = r + 2
ここで、やはり左辺と右辺を比較します。
例題1の結果より、左辺は無理数。
①より、右辺は有理数。
右辺については、r + 2 つまり「有理数 + 有理数」なので、必ず有理数になります。
(無理数) = (有理数) となり、矛盾が生じる。
したがって、√3 − 2 は無理数である。 [終]
まとめ
証明をまとめておきます。
【証明】
「√3 − 2 は有理数である」と仮定すると、
√3 − 2 = r (r:有理数) ・・・①
とおける。
∴ √3 = r + 2
例題1の結果より、左辺は無理数。
①より、右辺は有理数。
(無理数) = (有理数) となり、矛盾が生じる。
したがって、√3 − 2 は無理数である。 [終]