【高校数学】背理法による証明の書き方・手順【具体例を使ってわかりやすく解説】

今回の記事は、次のような疑問を持っている人のために書きました。

背理法の使い方・考え方がいまいち分からない

背理法をいつ、どんな問題で使えばいいの？

そもそも背理法って何？ 正直、意味不明だ・・・

元の命題がそのまま証明しにくいときには、対偶 か 背理法 のどちらかで証明するといいです。

対偶 については下の記事で解説しています（対偶と背理法の違い・使い分けについても書いています）。

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今回は 背理法 の使い方をわかりやすく解説します。

背理法（はいりほう）を使った証明の手順

背理法 は、次のようなステップを踏むことで、与えられた命題を証明する方法です。

こんな流れで書いていきます。

実際に、有名な問題を使って証明していきましょう。

【例題1】√3 が無理数であることを証明せよ。

この命題をそのまま証明するのは難しいです。

だって、$\sqrt{3}$ が無理数なのは当たり前ですもんね。

こういった問題では 背理法 を使って証明します。

（1）反対のこと（否定）が成り立つと仮定する

与題「$\sqrt{3}$ は無理数である」の反対のこと（否定）は

「$\sqrt{3}$ は無理数でない」つまり「$\sqrt{3}$ は有理数である」です。

「有理数である」と仮定するやり方は、次の2パターン覚えておきましょう。

2つの数が「互いに素（そ）」というのは、例えば 2 と 3 のように、「公約数が 1 しかない」状態のことを言います。

別の言い方をすると、$\displaystyle {p\over q}$ は $\displaystyle {2\over 3}$ のように「それ以上約分できない」（既約分数 といいます）ということです。

この問題では、①のやり方だとすぐに行き詰まります。

なので、②で証明をスタートしましょう。

（2）矛盾が生じる

次にやることは、「矛盾が生じることを示す」です。

つじつまが合わなくなることが言えたら勝ちです。

上の証明の続きです。

$\sqrt{3}$ がルートのままでは分かりにくいので、両辺を2乗しました。

そして、次がポイントです。

左辺と右辺を比較 します。

左辺は $3q^2$ つまり「3 ×(自然数)」の形なので、3の倍数 です。

ということは、右辺もそれとイコールなので 3の倍数 のはずです。

$p^2$ が 3の倍数ということは、2乗する前の $p$ も 3の倍数です。

（厳密には証明が必要ですが、当然と言えば当然なのでここでは省略します）

例：

$3^2 = 9 = 3 × 3$

$6^2 = 36 = 3 × 12$

$9^2 = 81 = 3 ×27$ など

ここでまた、左辺と右辺を比較 します。

ここで、

となっており、最初に仮定した

と矛盾しています。

（3）最初の仮定が間違っていた

「$\sqrt{3}$は有理数である」と仮定したことで矛盾が生じたということは、最初の仮定がそもそも間違っていたということです。

（4）与題は成り立つ

「$\sqrt{3}$は有理数である」が間違いと分かったので、その反対の「$\sqrt{3}$は無理数である」が正しいということになります。

証明問題の最後のシメですが、以下のような書き方もコンパクトでおすすめです。

「題意は示された。」

「与題は成り立つ。」

まとめ

ここまでの証明を一気に書くとこうなります。

【例題2】√3 − 2 が無理数であることを証明せよ。

例題1 の結果（$\sqrt{3}$は無理数）を利用してよいことにします。

「$\sqrt{3}-2$ が無理数である」ことをそのまま証明するのは難しいです。

ですが、背理法を使えば簡単に証明できます（例題1よりも簡単）。

今回は①の仮定のしかた（$r$：有理数）で証明をスタートします。

ここで、やはり左辺と右辺を比較します。

右辺については、$r + 2$ つまり「有理数 + 有理数」なので、必ず有理数になります。

まとめ

証明をまとめておきます。

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