【3次方程式の解と係数の関係】証明・覚え方・使い方を完全マスター！【基本・応用問題つき】

「3次方程式の解と係数の関係」の覚え方・使い方がよく分からない

どんな問題のときに使ったらいいの？

こういった疑問に答えます。

「3次方程式の 解と係数の関係」を使って解く問題は、国公立大・私立大 ともに入試によく出るので

このページを読んでバッチリ学んでおきましょう！

3次方程式の解と係数の関係

「3次方程式の 解と係数の関係」は次の通り。

使い方（例）

で考えると

と因数分解できるので、3つの解は

となります。

$ \displaystyle{ \alpha = −2 , \ \beta = {1 \over 2} , \ \gamma = {5 \over 3} } $　とすると

確かに「3次方程式の 解と係数の関係」が成り立っていますね。

【3次方程式の解と係数の関係】覚え方・証明

「3次方程式の 解と係数の関係」を覚えるためには、証明の流れをイメージすることが大切です。

この流れを見ると、なぜ3つとも分母に $\color{red}{a}$ が来るのか？が理解できると思います。

あとは、1つ目（和）と 3つ目（積）の「$−$」を忘れずにつけましょう。

【3次方程式の解と係数の関係】基本問題

まずは「3次方程式の 解と係数の関係」の 基本問題 を見ていきましょう。

【例題1】3次方程式 $ 2x^3 + 3x^2 + 4x + 1 = 0 $ の 3つの解を $ \alpha, \ \beta, \ \gamma $ とするとき、次の値を求めよ。

(1) $ \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 $

「対称式の公式」を使います。

上の解法が一番ラクだと思いますが、もし「対称式の公式」を忘れてしまっても大丈夫。

「2乗して展開」する 別解 を紹介しておきます。（解と係数の関係 を使った後から）

【別解1】を見る

【別解1】

$ $　$ \vdots $

$\displaystyle{ \alpha + \beta + \gamma = −{3 \over 2} }$

両辺を 2乗して

$\displaystyle{ (\alpha + \beta + \gamma)^2 = \left( −{3 \over 2} \right)^2 }$

∴ $\displaystyle{ (\alpha + \beta + \gamma)(\alpha + \beta + \gamma) = {9 \over 4} }$

∴ $\displaystyle{ \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + 2 ( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha ) = {9 \over 4} }$

∴ $\displaystyle{ \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = {9 \over 4} − 2 ( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha ) }$

$ $　　　　　　　$\displaystyle{ = {9 \over 4} − 2 \cdot 2 }$

$ $　　　　　　　$ \displaystyle{ = {9 \over 4}−4 } $

$ $　　　　　　　$ \displaystyle{ = −{7 \over 4} } $

(2) $ \alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 $

$ \alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 $

まずは「対称式の公式」を使った解答から。

また、別解 として「次数下げ」を利用しても計算できます。

【別解】を見る

【別解】

3次方程式 $ 2x^3 + 3x^2 + 4x + 1 = 0 $ の 3つの解が $ \alpha, \ \beta, \ \gamma $ なので

$ \begin{cases}
\displaystyle{ 2 \alpha^3 + 3 \alpha^2 + 4 \alpha + 1 = 0 } \\
\\
\displaystyle{ 2 \beta^3 + 3 \beta^2 + 4 \beta + 1 = 0 } \\
\\
\displaystyle{ 2 \gamma^3 + 3 \gamma^2 + 4 \gamma + 1 = 0 } \\
\end{cases}$

∴ $ \begin{cases}
\displaystyle{ 2 \alpha^3 = − 3 \alpha^2 − 4 \alpha − 1 } \\
\\
\displaystyle{ 2 \beta^3 = − 3 \beta^2 − 4 \beta − 1 } \\
\\
\displaystyle{ 2 \gamma^3 = − 3 \gamma^2 − 4 \gamma − 1 } \\
\end{cases}$

辺々を足して

$ $　$ \displaystyle{ 2 \left( \alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 \right) }$ $ \displaystyle{ = − 3 \left( \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 \right) − 4 \left( \alpha + \beta +\gamma \right) − 3 } $

両辺を 2 で割って

$ $　$ \displaystyle{ \alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 } $ $\displaystyle{ = {1 \over 2} \left\{− 3 \left( \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 \right) − 4 \left( \alpha + \beta +\gamma \right) − 3 \right\} } $ ・・・（注）

$ \displaystyle{ = {1 \over 2} \cdot \left\{− 3 \left( −{7 \over 4} \right) − 4 \cdot \left( −{3 \over 2} \right) − 3 \right\} } $

$ \displaystyle{ = {33 \over 8} } $

（注）ここを見ると、$\alpha , \ \beta, \ \gamma $ について

$ $　$ （3次式）=（2次式）$ となっています。

$ $　つまり、 （3次式）を（2次式）に変換できるわけです。 （1次下げ）

(3) $ \alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4 $

「対称式の公式（3変数・2次）」をうまく利用します。

【解答】を見る

【解答】

$ \alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4 $

$ = \left( \alpha^2 \right)^2 + \left( \beta^2 \right)^2 + \left( \gamma^2 \right)^2 $

$ = \left(\alpha^2 +\beta^2 +\gamma^2 \right)^2 −2 \left(\alpha^2 \beta^2 + \beta^2 \gamma^2 + \gamma^2 \alpha^2 \right)  $ ・・・（注1）

$ =$ $ \left( \alpha^2 +\beta^2 +\gamma^2 \right)^2 \\ −2 \left\{ ( \alpha \beta )^2 + ( \beta \gamma )^2 + ( \gamma \alpha )^2 \right\}  $

$ = \left( \alpha^2 +\beta^2 +\gamma^2 \right)^2 $ $ \enspace −2 \left\{ ( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha )^2 −2 \alpha \beta \gamma \ ( \alpha +\beta +\gamma ) \right\}  $ ・・・（注2）

$ \displaystyle{ = \left( −{7 \over 4} \right)^2 −2 \cdot \left\{ 2^2 −2 \cdot \left( −{1 \over 2} \right)  \cdot \left( −{3 \over 2} \right) \right\} } $

$ \displaystyle{ = −{31 \over 16} } $

（注1）$ \alpha^2 = A , \ \beta^2 = B, \ \gamma^2 = C $ とすると

$ $　$ \left( \alpha^2 \right)^2 + \left( \beta^2 \right)^2 + \left( \gamma^2 \right)^2 $

$ $　$ = A^2 + B^2 + C^2 $

$ $　$ = \left( A + B + C \right)^2 −2 \left(A B + B C + C A \right)  $

$ $　$ = \left(\alpha^2 +\beta^2 +\gamma^2 \right)^2 $ $−2 \left(\alpha^2 \beta^2 + \beta^2 \gamma^2 + \gamma^2 \alpha^2 \right)  $

 

（注2）$ \alpha\beta = X , \ \beta\gamma = Y, $ $ \gamma\alpha = Z $ とすると

$ $　$ ( \alpha \beta )^2 + ( \beta \gamma )^2 + ( \gamma \alpha )^2 $

$ $　$ = X^2 + Y^2 + Z^2 $

$ $　$ = ( X + Y + Z )^2 −2 ( XY + YZ + ZX ) $

$ $　$ = ( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha )^2 $ $ −2 \left( \alpha \beta^2 \gamma + \alpha \beta \gamma^2 + \alpha^2 \beta \gamma \right) $

$ $　$ = ( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha )^2 $ $ −2 \alpha \beta \gamma \ ( \alpha +\beta +\gamma ) $

今度は「次数下げ」でやってみます。

【別解】を見る

【別解】

$ \begin{cases}
\displaystyle{ 2 \alpha^3 = − 3 \alpha^2 − 4 \alpha − 1 } \\
\\
\displaystyle{ 2 \beta^3 = − 3 \beta^2 − 4 \beta − 1 } \\
\\
\displaystyle{ 2 \gamma^3 = − 3 \gamma^2 − 4 \gamma − 1 } \\
\end{cases}$

それぞれに $ \alpha , \ \beta , \ \gamma $ をかけて

$ \begin{cases}
\displaystyle{ 2 \alpha^4 = − 3 \alpha^3 − 4 \alpha^2 − \alpha } \\
\\
\displaystyle{ 2 \beta^4 = − 3 \beta^3 − 4 \beta^2 − \beta } \\
\\
\displaystyle{ 2 \gamma^4 = − 3 \gamma^3− 4 \gamma^2 − \gamma } \\
\end{cases}$

辺々を足して

$ $　$ \displaystyle{ 2 \left( \alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4 \right) }$

$= \displaystyle{− 3 \left( \alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 \right) \\ − 4 \left( \alpha^2 + \beta^2 +\gamma^2 \right) − ( \alpha + \beta + \gamma ) } $

両辺を 2 で割って

$ $　$ \displaystyle{ \alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4 } $

$ = \displaystyle{ {1 \over 2} }$ $ \displaystyle{ \left\{ − 3 \left( \alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 \right) \\ − 4 \left( \alpha^2 + \beta^2 +\gamma^2 \right) − ( \alpha + \beta + \gamma ) \right\} } $

$ \displaystyle{ = {1 \over 2} \left\{ − 3 \cdot \left( {33 \over 8} \right) − 4 \cdot  \left( −{7 \over 4} \right) − \left( −{3 \over 2} \right) \right\} } $

$ \displaystyle{ = −{31 \over 16} } $

(4) $ (1−\alpha) (1−\beta) (1−\gamma) $

とりあえず展開してみます。

【解答】を見る

【解答】

$ (1−\alpha) (1−\beta) (1−\gamma) $

$ =  (1−\alpha−\beta + \alpha \beta) (1−\gamma)  $

$ =  1−\alpha−\beta + \alpha \beta − \gamma + \gamma\alpha + \beta\gamma − \alpha \beta \gamma  $

$ =  1− ( \alpha + \beta + \gamma ) + ( \alpha \beta + \beta\gamma + \gamma\alpha ) − \alpha \beta \gamma  $

$ \displaystyle{ =  1− \left( −{3 \over 2} \right) + 2 − \left( −{1 \over 2} \right) } $

$ \displaystyle{ =  5 } $

あるいは、工夫すると次のような 別解 もつくれます。

【別解】を見る

【別解】

3次方程式 $ 2x^3 + 3x^2 + 4x + 1 = 0 $ の 3つの解が $ \alpha, \ \beta, \ \gamma $ なので

$ $　$ 2x^3 + 3x^2 + 4x + 1 = 2(x−\alpha)(x−\beta)(x−\gamma) $

とおける。

これに $ x = 1 $ を代入すると

$ $　$ 2 + 3 + 4 + 1 = 2(1−\alpha)(1−\beta)(1−\gamma) $

∴ $ 10 = 2(1−\alpha)(1−\beta)(1−\gamma) $

∴ $ (1−\alpha)(1−\beta)(1−\gamma) = 5 $

(5) $ (\alpha+\beta) (\beta+\gamma) (\gamma+\alpha) $

まずは展開してみます。

【解答】を見る

【解答】

$ (\alpha+\beta) (\beta+\gamma) (\gamma+\alpha) $

$ = ( \alpha \beta + \gamma \alpha + \beta^2 + \beta \gamma ) (\gamma+\alpha) $

$ = \gamma^2 \alpha + \beta^2 \gamma + \beta \gamma^2 + \alpha^2 \beta + \gamma \alpha^2  + \alpha \beta^2 + 2 \alpha \beta \gamma $

$ =$ $ \left( \alpha^2 \beta + \alpha \beta \gamma + \gamma \alpha^2 \right) + \left( \alpha \beta^2  + \beta^2 \gamma + \alpha \beta \gamma \right) \\ + \left( \alpha \beta \gamma + \beta \gamma^2 + \gamma^2 \alpha \right) − \alpha \beta \gamma $

$ =$ $ \alpha \left( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha \right) + \beta \left( \alpha \beta  + \beta \gamma + \alpha \gamma \right) \\ + \gamma \left( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha \right) − \alpha \beta \gamma $

$ = \left( \beta \gamma + \alpha \beta + \gamma \alpha \right) ( \alpha + \beta + \gamma ) − \alpha \beta \gamma $

$ \displaystyle{ = 2 \cdot \left( −{3 \over 2} \right) − \left( −{1 \over 2} \right) } $

$ \displaystyle{ = −{5 \over 2} } $

基本対称式を代入できる形にするのが意外と大変でしたね。

というわけで、もう少しラクに解ける 別解 もあります。

【別解】を見る

【別解】

$\displaystyle{ \alpha + \beta + \gamma = −{3 \over 2} }$ より

$ \begin{cases}
\displaystyle{ \alpha + \beta = −{3 \over 2} − \gamma } \\
\\
\displaystyle{ \beta + \gamma = −{3 \over 2} − \alpha } \\
\\
\displaystyle{ \alpha + \gamma = −{3 \over 2} −\beta } \\
\end{cases} $

よって

$ (\alpha+\beta) (\beta+\gamma) (\gamma+\alpha) $

$ \displaystyle{ = \left( −{3 \over 2} − \gamma \right) \left(−{3 \over 2} − \alpha \right) \left(−{3 \over 2} −\beta \right) } $

$ \displaystyle{ = −{1 \over 8} \left( 3 + 2 \gamma \right) \left( 3 + 2 \alpha \right) \left( 3 + 2 \beta \right) } $ ・・・（注）

$ \displaystyle{ = −{1 \over 8} \left( 9 + 6 \gamma + 6 \alpha + 4 \gamma \alpha \right) \left( 3 + 2 \beta \right) } $

$ \displaystyle{ = −{1 \over 8} }$ $ \displaystyle{ \left\{ 27 + 18 \gamma + 18 \alpha + 12 \gamma \alpha \\ + 18 \beta + 12 \beta \gamma + 12 \alpha \beta + 8 \alpha \beta \gamma \right\} } $

$ \displaystyle{ = −{1 \over 8} }$ $ \displaystyle{ \left\{ 27 + 18 ( \alpha + \beta + \gamma ) \\ + 12 ( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha ) + 8 \alpha \beta \gamma \right\} } $

$ \displaystyle{ = −{1 \over 8} \left\{ 27 + 18 \cdot \left( −{3 \over 2} \right) + 12 \cdot 2 + 8 \cdot \left(−{1 \over 2}  \right) \right\} } $

$ \displaystyle{ = −{5 \over 2} } $

（注）ここの計算は

$ $　$ \displaystyle{ \left( −{3 \over 2} − \gamma \right) \left(−{3 \over 2} − \alpha \right) \left(−{3 \over 2} −\beta \right) } $

$ \displaystyle{ = \left\{ −{1 \over 2} \left( 3 + 2 \gamma \right) \right\} \left\{−{1 \over 2} \left( 3+ 2 \alpha \right) \right\} \left\{ −{1 \over 2} \left( 3 + 2 \beta \right) \right\} } $

$ \displaystyle{ = \left( −{1 \over 2} \right)^2 \left( 3 + 2 \gamma \right) \left( 3 + 2 \alpha \right) \left( 3 + 2 \beta \right) } $

$ \displaystyle{ = −{1 \over 8} \left( 3 + 2 \gamma \right) \left( 3 + 2 \alpha \right) \left( 3 + 2 \beta \right) } $

とやってもOK。

分数が入って混乱しそうなときは、いったん $ \displaystyle{ {3 \over 2} = t }$ と置きかえて

$ $　$ \displaystyle{ \left( −{3 \over 2} − \gamma \right) \left(−{3 \over 2} − \alpha \right) \left(−{3 \over 2} −\beta \right) } $

$ \displaystyle{ = − \left( {3 \over 2} + \gamma \right) \left( {3 \over 2} + \alpha \right) \left( {3 \over 2} + \beta \right) } $

$ \displaystyle{ = − \left( t + \gamma \right) \left( t + \alpha \right) \left( t + \beta \right) } $

$ \displaystyle{ = − \left\{ t^3 + \left( \alpha + \beta + \gamma \right) t^2 + \left( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha \right) t + \alpha \beta \gamma \right\} } $

こんなやり方もOK。

以上、基本問題でした。

【3次方程式の解と係数の関係】応用問題

次は「3次方程式の 解と係数の関係」の 応用問題 です。

【例題2】正の数 $x, \ y, \ z $ が、3条件 $ \displaystyle{ {1 \over x} + {1 \over y} + {1 \over z} = {5 \over 3} } , $  $ \displaystyle{ x^2 + y^2 + z^2 = 41 } , $  $ xyz = 12 $ をみたす。

(1) $ xy + yz + zx $ の値を求めよ。

【解答】を見る

【解答】

$ \begin{cases}
\displaystyle{ {1 \over x} + {1 \over y} + {1 \over z} = {5 \over 3} } \ ・・・① \\
\\
\displaystyle{ x^2 + y^2 + z^2 = 41 } \ ・・・② \\
\\
xyz = 12 \ ・・・③ \\
\end{cases} $

 

① の両辺に $xyz$ をかけて

$ $　$ \displaystyle{ yz + zx + xy = {5 \over 3}xyz } $

∴ $ \displaystyle{ xy + yz + zx = {5 \over 3} \cdot 12 } $ （③ を代入）

$ $　　　　　　$ \displaystyle{ = 20 } $ ・・・④

(2) $ x + y + z $ の値を求めよ。

【解答】を見る

【解答】

$  (x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+zx) $

$ $　　　　　$ = 41 + 2 \cdot 20 $（②、④ を代入）

$ $　　　　　$ = 81 $

$ x , y, z ＞ 0 $ より

∴ $  x+y+z = 9  $

(3) $ x ≦ y ≦ z $ であるとき、 $ x, \ y, \ z $ の値を求めよ。

ここで「解と係数の関係」の登場です。

【解答】を見る

【解答】

解と係数の関係より、$ x, \ y, \ z $ は、3次方程式 $ t^3 −9t^2 + 20t − 12 = 0 $ の3つの解である。

∴ $ (t−1) \ (t^2 −8t + 12) = 0 $ ・・・（注）

∴ $ (t−1) \ (t−2) \ (t−6) = 0 $

∴ $ t = 1, \ 2, \ 6 $

$ x ≦ y ≦ z $ より

$ $　$ ( x, \ y, \ z ) = ( 1, \ 2, \ 6 ) $

（注）3次方程式 $ t^3 −9t^2 + 20t − 12 = 0 $ は $t=1$ を解にもつので、因数定理より

$ $　$ t^3 −9t^2 + 20t − 12 $ は $(t-1)$ を因数にもつ。つまり、$(t-1)$ で割り切れる。

以上です。お疲れ様でした！

【まとめ】3次方程式の解と係数の関係

最後に「3次方程式の 解と係数の関係」をまとめておきます。

参考：2次方程式の解と係数の関係

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