三角関数の「和積の公式」「積和の公式」が全然覚えられない！
そもそも公式の意味・使い方がよく分からない！
公式の簡単な覚え方はないの？
こういったお悩みを解決します。
このページを読めば
- 「和積・積和の公式」の 本質
- 「和積・積和の公式」の超シンプルな 覚え方（裏ワザ）
- 「和積・積和の公式」のわかりやすい 使い方
- 「和積・積和の公式」の 注意点
がバッチリ学べます。
【三角関数】和積の公式・積和の公式は覚えにくい！
三角関数の「和積の公式」「積和の公式」は、数学の教科書には次のように載っていますね。
$ \displaystyle{ \sin A + \sin B = 2 \sin {A+B \over 2} \cos {A−B \over 2} } $
$ \displaystyle{ \sin A − \sin B = 2 \cos {A+B \over 2} \sin {A−B \over 2} } $
$ \displaystyle{ \cos A + \cos B = 2 \cos {A+B \over 2} \cos {A−B \over 2} } $
$ \displaystyle{ \cos A − \cos B = −2 \sin {A+B \over 2} \sin {A−B \over 2} } $
$ \displaystyle{ \sin \alpha \cos \beta = {1 \over 2} \left\{ \sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha − \beta) \right\} } $
$ \displaystyle{ \cos \alpha \sin \beta = {1 \over 2} \left\{ \sin (\alpha + \beta) − \sin (\alpha − \beta) \right\} } $
$ \displaystyle{ \cos \alpha \cos \beta = {1 \over 2} \left\{ \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha − \beta) \right\} } $
$ \displaystyle{ \sin \alpha \sin \beta = −{1 \over 2} \left\{ \cos (\alpha + \beta) − \cos (\alpha − \beta) \right\} } $
こんな感じで「和積の公式」「積和の公式」は、まあ〜とにかく覚えにくい！
「師は信仰〜」とか色んな語呂合わせもありますが、意味不明すぎてそれすらも覚えにくい（笑）
ついには、公式を覚えるのをあきらめて「加法定理から導出すればいい！」なんて言い出す輩もいる始末・・・
一体なぜこんなに覚えにくいのか？
だって、こんな長〜い複雑な形のままで覚えようとしているからです。
でも、安心してください！
「和積の公式」「積和の公式」の本質を理解して、もっとシンプルな形に作り直せば、あっという間に覚えられます！
【三角関数】和積の公式・積和の公式ってそもそも何？
さて、ここでひとつ質問です。
そもそも「和積の公式」「積和の公式」って何ですか？
ひとことで簡単に答えられますか？
・
・
・
答えは「因数分解・展開の公式」です。
角をちょっとイジりつつ
「和→積の公式」は 因数分解
「積→和の公式」は 展開
をやっているということです。
和積の公式 = 因数分解
和→積の公式
をよ〜く見ると
と、やっていることが本質的には同じです。
「和」の形（多項式）になっている左辺を、「積」の形に変形すると右辺になります。
この操作はまさに「因数分解」です。
積和の公式 = 展開
逆に、積→和の公式
を考えると
この計算に似ています。
「積」の形である左辺を、「和」の形（多項式）にすると右辺になるので
この操作は「展開」と同じですね。
【三角関数】和積の公式・積和の公式の覚え方(裏ワザ)
というわけで、「和積の公式」「積和の公式」は次の形でまとめて覚えましょう！
和 ⇄ 積の公式
$ $ （展開 ⇄ 因数分解）
- $ $ $ S + S = 2 \ S C $
- $ $ $ S − S = 2 \ C S $
- $ $ $ C + C = 2 \ C C $
- $ $ $ C − C = −2 \ S S $
公式の見方（和→積）
和積の公式（因数分解）は
$ $ → 因数分解
$ S + S = \color{red}{2 \ S C} $
※ 半和：和（$A+B$）の半分
$ $ 半差：差（$A−B$）の半分
公式の見方（和←積）
積和の公式（展開）は
両辺 $2$ 倍して、左右を入れ替えた形で書くと
展開 ←
$ \color{red}{S + S} = 2 \ S C $
このようにシンプルに考えましょう。
【三角関数】和積の公式・積和の公式の使い方
「和積の公式」「積和の公式」（裏ワザ）の具体的な使い方を説明します。
【例1】$\sin 3x + \sin x = ？$（和→積）
$\sin 3x + \sin x$ を因数分解したいときは
より
$ $ $\sin 3x + \sin x = \color{red}{2 \sin} \enspace \enspace \enspace \enspace \, \color{red}{\cos} \enspace \enspace \enspace \enspace $
と書いておいて
$ $ $ \displaystyle{ \sin 3x + \sin x = 2 \sin \underbrace{ \color{red}{3x+x \over 2} }_{半和} \, \cos \underbrace{ \color{red}{3x−x \over 2} }_{半差} } $
$ $ $ = 2 \sin \color{red}{2x} \, \cos \color{red}{x} $
こんな感じで計算します。
【例2】$？= \sin 2x \cos x $（和←積）
$ \sin 2x \cos x $ を展開したいときは
より
$ $ $ \color{red}{\sin} \enspace \enspace \enspace \enspace \color{red}{+ \sin} \enspace \enspace \enspace \enspace = 2 \sin 2x \, \cos x $
と書いておいて
$ $ $ \sin ( \underbrace{ \color{red}{2x+x} }_{和} ) + \sin ( \underbrace{ \color{red}{2x−x} }_{差} ) = 2 \sin 2x \, \cos x $
∴ $ \sin \color{red}{3x} + \sin \color{red}{x} = 2 \sin 2x \, \cos x $
両辺を $2$ で割って
$ $ $ \displaystyle{ {1 \over 2} \left( \sin \color{red}{3x} + \sin \color{red}{x} \right) = \sin 2x \, \cos x } $
これで求められます。
【三角関数】和積の公式・積和の公式の注意点1
「和積の公式」「積和の公式」の注意点としては、例えば
$\sin \color{red}{3x} + \sin \color{blue}{x} $
$ \sin \color{red}{2x} \cos \color{blue}{x} $
のように
$\sin \color{red}{大} + \sin \color{blue}{小} $
$ \sin \color{red}{大} \cos \color{blue}{小} $
こんな感じで、角（の見た目）が 大きい 方を先に書くようにしてください。
【例】$ \sin \color{blue}{x} − \sin \color{red}{5x} $
$ $ $ = − ( \sin \color{red}{5x} − \sin \color{blue}{x} ) $
$ $ $ = \displaystyle{ − 2 \cos \underbrace{ { \color{red}{5x}+\color{blue}{x} \over 2} }_{半和} \, \sin \underbrace{ { \color{red}{5x}−\color{blue}{x} \over 2} }_{半差} } $
$ $ $ = − 2 \cos 3x \, \sin 2x $
【三角関数】和積の公式・積和の公式の注意点2
また、残念ながら「和積の公式」（因数分解）には
$ S+C = ？$
$ S−C = ？$
のような形はないので、「和積の公式」以外の方法で解きましょう。
【例】2倍角の公式、3倍角の公式など
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【三角関数】和積の公式・積和の公式の練習問題
それでは「和積の公式」「積和の公式」を使って練習問題を解いてみましょう。
まずは何も見ずに公式をスラスラ書けるまで、紙に何度も書きましょう。
和 ⇄ 積の公式
$ $ （展開 ⇄ 因数分解）
- $ $ $ S + S = 2 \ S C $
- $ $ $ S − S = 2 \ C S $
- $ $ $ C + C = 2 \ C C $
- $ $ $ C − C = −2 \ S S $
【問題】和は積に、積は和に変換せよ。
(1) $ \sin 5x + \sin 3x $
(2) $ \sin 4x − \sin 2x $
(3) $ \cos 3x + \cos x $
(4) $ \cos 3x − \cos 5x $
(5) $ \sin 3x \cos 2x $
(6) $ \cos 2x \cos 3x $
(7) $ \sin x \cos 5x $
(8) $ \sin 2x \sin 5x $
- 【解答】を見る
-
【解答】
(1) $ 2 \sin 4x \, \cos x $
(2) $ 2 \cos 3x \, \sin x $
(3) $ 2 \cos 2x \, \cos x $
(4) $ 2 \sin 4x \, \sin x $
(5) $ \displaystyle{ {1 \over 2 } ( \sin 5x + \sin x ) } $
(6) $ \displaystyle{ {1 \over 2 } ( \cos 5x + \cos x ) } $
(7) $ \displaystyle{ {1 \over 2 } ( \sin 6x + \sin 4x ) } $
(8) $ \displaystyle{ −{1 \over 2 } ( \cos 7x + \cos 3x ) } $
- 【解説（計算過程）】を見る
- 【解説】
(1)
$ S + S = \color{red}{2 \ S C} $$ \displaystyle{ \sin 5x + \sin 3x = \color{red}{2 \sin} \underbrace{ 5x+3x \over 2 }_{半和} \, \color{red}{\cos} \underbrace{ 5x−3x \over 2 }_{半差} } $
$ $ $ = 2 \sin 4x \, \cos x $
(2)
$ S − S = \color{red}{2 \ C S} $$ \displaystyle{ \sin 4x − \sin 2x = \color{red}{2 \cos} \underbrace{ 4x+2x \over 2 }_{半和} \, \color{red}{\sin} \underbrace{ 4x−2x \over 2 }_{半差} } $
$ $ $ = 2 \cos 3x \, \sin x $
(3)
$ C + C = \color{red}{2 \ C C} $$ \displaystyle{ \cos 3x + \cos x = \color{red}{2 \cos} \underbrace{ 3x+x \over 2 }_{半和} \, \color{red}{\cos} \underbrace{ 3x−x \over 2 }_{半差} } $
$ $ $ = 2 \cos 2x \, \cos x $
(4)
$ C − C = \color{red}{−2 \ S S} $$ \cos 3x − \cos 5x $
$ = −( \cos 5x − \cos 3x ) $
$ \displaystyle{ = − \left( \color{red}{−2 \sin} \underbrace{ 5x+3x \over 2 }_{半和} \, \color{red}{\sin} \underbrace{ 5x−3x \over 2 }_{半差} \right) } $
$ = 2 \sin 4x \, \sin x $
(5)
$ \color{red}{S + S} = 2 \ S C $$ \color{red}{\sin } ( \underbrace{ 3x+2x }_{和} ) \color{red}{+ \sin } ( \underbrace{ 3x−2x }_{差} ) = 2 \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\sin 3x \cos 2x} $
∴ $ \displaystyle{ \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\sin 3x \cos 2x} = {1 \over 2 } ( \sin 5x + \sin x ) } $
(6) $ \cos 2x \cos 3x = \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{ \cos 3x \cos 2x } $
$ \color{red}{ C + C } = 2 \ C C $∴ $ \color{red}{\cos } ( \underbrace{ 3x+2x }_{和} ) \color{red}{+ \cos } ( \underbrace{ 3x−2x }_{差} ) = 2 \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\cos 3x \cos 2x } $
∴ $ \displaystyle{ \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\cos 3x \cos 2x} = {1 \over 2 } ( \cos 5x + \cos x ) } $
(7) $ \sin x \cos 5x = \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\cos 5x \sin x} $
$ \color{red}{ S − S } = 2 \ C S $∴ $ \color{red}{\sin } ( \underbrace{ 5x+x }_{和} ) \color{red}{+ \sin } ( \underbrace{ 5x−x }_{差} ) = 2 \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\cos 5x \sin x} $
∴ $ \displaystyle{ \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\cos 5x \sin x} = {1 \over 2 } ( \sin 6x + \sin 4x ) } $
(8) $ \sin 2x \sin 5x = \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\sin 5x \sin 2x} $
$ \color{red}{ C − C } = −2 \ S S $∴ $ \color{red}{\cos } ( \underbrace{ 5x+2x }_{和} ) \color{red}{+ \cos } ( \underbrace{ 5x−2x }_{差} ) = −2 \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\sin 5x \sin 2x} $
∴ $ \displaystyle{ \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\cos 5x \cos 2x} = −{1 \over 2 } ( \cos 7x + \cos 3x ) } $
以上です。お疲れ様でした！
【まとめ】和積の公式・積和の公式の覚え方
最後に「和積の公式」「積和の公式」（裏ワザ）をまとめておきます。
和 ⇄ 積の公式
$ $ （展開 ⇄ 因数分解）
- $ $ $ S + S = 2 \ S C $
- $ $ $ S − S = 2 \ C S $
- $ $ $ C + C = 2 \ C C $
- $ $ $ C − C = −2 \ S S $
たくさん問題を解いて慣れておきましょう！
質問・要望があれば気軽にコメントください👍