【三角関数】和積の公式・積和の公式の超シンプルな覚え方 (裏ワザ)【まだ暗記で消耗してるの?】

三角関数の「和積の公式」「積和の公式」が全然覚えられない!

そもそも公式の意味・使い方がよく分からない!

公式の簡単な覚え方はないの?

こういったお悩みを解決します。

 

このページを読めば

  • 和積・積和の公式」の 本質
  • 和積・積和の公式」の超シンプルな 覚え方(裏ワザ)
  • 和積・積和の公式」のわかりやすい 使い方
  • 和積・積和の公式」の 注意点

がバッチリ学べます。

【三角関数】和積の公式・積和の公式は覚えにくい!

三角関数の「和積の公式」「積和の公式」は、数学の教科書には次のように載っていますね。

$ \displaystyle{ \sin A + \sin B = 2 \sin {A+B \over 2} \cos {A−B \over 2} } $

$ \displaystyle{ \sin A − \sin B = 2 \cos {A+B \over 2} \sin {A−B \over 2} } $

$ \displaystyle{ \cos A + \cos B = 2 \cos {A+B \over 2} \cos {A−B \over 2} } $

$ \displaystyle{ \cos A − \cos B = −2 \sin {A+B \over 2} \sin {A−B \over 2} } $

$ \displaystyle{ \sin \alpha \cos \beta = {1 \over 2} \left\{ \sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha − \beta) \right\} } $

$ \displaystyle{ \cos \alpha \sin \beta = {1 \over 2} \left\{ \sin (\alpha + \beta) − \sin (\alpha − \beta) \right\} } $

$ \displaystyle{ \cos \alpha \cos \beta = {1 \over 2} \left\{ \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha − \beta) \right\} } $

$ \displaystyle{ \sin \alpha \sin \beta = −{1 \over 2} \left\{ \cos (\alpha + \beta) − \cos (\alpha − \beta) \right\} } $

こんな感じで「和積の公式」「積和の公式」は、まあ〜とにかく覚えにくい

「師は信仰〜」とか色んな語呂合わせもありますが、意味不明すぎてそれすらも覚えにくい(笑)

ついには、公式を覚えるのをあきらめて「加法定理から導出すればいい!」なんて言い出す輩もいる始末・・・

一体なぜこんなに覚えにくいのか?

だって、こんな長〜い複雑な形のままで覚えようとしているからです。

でも、安心してください!

和積の公式」「積和の公式」の本質を理解して、もっとシンプルな形に作り直せば、あっという間に覚えられます!

【三角関数】和積の公式・積和の公式ってそもそも何?

さて、ここでひとつ質問です。

そもそも「和積の公式」「積和の公式」って何ですか?

ひとことで簡単に答えられますか?

答えは「因数分解・展開の公式」です。

角をちょっとイジりつつ

「和→積の公式」は 因数分解

「積→和の公式」は 展開

をやっているということです。

和積の公式 = 因数分解

和→積の公式

$ \displaystyle{ \sin A + \sin B = 2 \sin {A+B \over 2} \cos {A−B \over 2} } $

をよ〜く見ると

$ x^2 + 5x + 6 = (x+3)(x+2) $

と、やっていることが本質的には同じです。

「和」の形(多項式)になっている左辺を、「積」の形に変形すると右辺になります。

この操作はまさに「因数分解」です。

積和の公式 = 展開

逆に、積→和の公式

$ \displaystyle{ \sin \alpha \cos \beta = {1 \over 2} \left\{ \sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha − \beta) \right\} } $

を考えると

$ (x+3)(x+2) = x^2 + 5x + 6 $

この計算に似ています。

「積」の形である左辺を、「和」の形(多項式)にすると右辺になるので

この操作は「展開」と同じですね。

【三角関数】和積の公式・積和の公式の覚え方(裏ワザ)

というわけで、「和積の公式」「積和の公式」は次の形でまとめて覚えましょう!

和 ⇄ 積の公式

$ $ (展開 ⇄ 因数分解)

  • $ $ $ S + S = 2 \ S C $
  • $ $ $ S − S = 2 \ C S $
  • $ $ $ C + C = 2 \ C C $
  • $ $ $ C − C = −2 \ S S $
【角】$和 + 差 = 2 \ 半和 × 半差$
※ $\cos − \cos $ の「和積・積和の公式」だけ、頭にマイナス($−$)がつく

公式の見方(和→積)

和積の公式(因数分解)は

$ \displaystyle{ \sin A + \sin B = \color{red}{2 \sin} \underbrace{A+B \over 2}_{半和} \, \color{red}{\cos} \underbrace{A−B \over 2}_{半差} } $

$ $   → 因数分解

$ S + S = \color{red}{2 \ S C} $

※ 半和:和($A+B$)の半分

$ $ 半差:差($A−B$)の半分

公式の見方(和←積)

積和の公式(展開)は

両辺2倍して、左右入れ替えると

$ \displaystyle{ \color{red}{\sin} (\underbrace{\alpha + \beta}_{和}) \color{red}{+ \sin} (\underbrace{\alpha − \beta}_{差}) = 2 \sin \alpha \cos \beta } $

展開

$ \color{red}{S + S} = 2 \ S C $

このようにシンプルに考えましょう。

【三角関数】和積の公式・積和の公式の使い方

和積の公式」「積和の公式」(裏ワザ)の具体的な使い方を説明します。

【例1】$\sin 3x + \sin x = ?$(和→積)

$\sin 3x + \sin x$ を因数分解したいときは

$ S + S = \color{red}{2 \ S C} $

より

$ $ $\sin 3x + \sin x = \color{red}{2 \sin} \enspace \enspace \enspace \enspace \, \color{red}{\cos} \enspace \enspace \enspace \enspace $

と書いておいて

$ $ $ \displaystyle{ \sin 3x + \sin x = 2 \sin \underbrace{ \color{red}{3x+x \over 2} }_{半和} \, \cos \underbrace{ \color{red}{3x−x \over 2} }_{半差} } $

∴ $ \displaystyle{ \sin 3x + \sin x = 2 \sin \color{red}{2x} \, \cos \color{red}{x} } $

こんな感じで計算します。

【例2】$?= \sin 2x \cos x $(和←積)

$ \sin 2x \cos x $ を展開したいときは

$ \color{red}{S + S} = 2 \ S C $

より

$ $ $ \color{red}{\sin} \enspace \enspace \enspace \enspace \color{red}{+ \sin} \enspace \enspace \enspace \enspace = 2 \sin 2x \, \cos x $

と書いておいて

$ $ $ \sin ( \underbrace{ \color{red}{2x+x} }_{和} ) + \sin ( \underbrace{ \color{red}{2x−x} }_{差} ) = 2 \sin 2x \, \cos x $

∴ $ \sin \color{red}{3x} + \sin \color{red}{x} = 2 \sin 2x \, \cos x $

∴ $ \displaystyle{ {1 \over 2} \left( \sin \color{red}{3x} + \sin \color{red}{x} \right) = \sin 2x \, \cos x } $

これで求められます。

【三角関数】和積の公式・積和の公式の注意点1

和積の公式」「積和の公式」の注意点としては、例えば

$\sin \color{red}{3x} + \sin \color{blue}{x} $

$ \sin \color{red}{2x} \cos \color{blue}{x} $

のように

$\sin \color{red}{大} + \sin \color{blue}{小} $

$ \sin \color{red}{大} \cos \color{blue}{小} $

こんな感じで、角(の見た目)が 大きい 方を先に書くようにしてください。

 

【例】$ \sin \color{blue}{x} − \sin \color{red}{5x} $

$ $  $ = − ( \sin \color{red}{5x} − \sin \color{blue}{x} ) $

$ $  $ = \displaystyle{ − 2 \cos \underbrace{ { \color{red}{5x}+\color{blue}{x} \over 2} }_{半和} \, \sin \underbrace{ { \color{red}{5x}−\color{blue}{x} \over 2} }_{半差} } $

$ $  $ = − 2 \cos 3x \, \sin 2x $

【三角関数】和積の公式・積和の公式の注意点2

また、残念ながら「和積の公式」(因数分解)には

$ S+C = ?$

$ S−C = ?$

のような形はないので、「和積の公式」以外の方法で解きましょう。

 

【例】2倍角の公式、3倍角の公式など

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【三角関数】和積の公式・積和の公式の練習問題

それでは「和積の公式」「積和の公式」を使って練習問題を解いてみましょう。

まずは何も見ずに公式をスラスラ書けるまで、紙に何度も書きましょう。

和 ⇄ 積の公式

$ $ (展開 ⇄ 因数分解)

  • $ $ $ S + S = 2 \ S C $
  • $ $ $ S − S = 2 \ C S $
  • $ $ $ C + C = 2 \ C C $
  • $ $ $ C − C = −2 \ S S $
【角】$和 + 差 = 2 \ 半和 × 半差$
公式を完璧に覚えられたら、問題演習スタート!

【問題】和は積に、積は和に変換せよ。

(1) $ \sin 5x + \sin 3x $

(2) $ \sin 4x − \sin 2x $

(3) $ \cos 3x + \cos x $

(4) $ \cos 3x − \cos 5x $

(5) $ \sin 3x \cos 2x $

(6) $ \cos 2x \cos 3x $

(7) $ \sin x \cos 5x $

(8) $ \sin 2x \sin 5x $

【解答】を見る

【解答】

(1) $ 2 \sin 4x \, \cos x $

(2) $ 2 \cos 3x \, \sin x $

(3) $ 2 \cos 2x \, \cos x $

(4) $ 2 \sin 4x \, \sin x $

(5) $ \displaystyle{ {1 \over 2 } ( \sin 5x + \sin x ) } $

(6) $ \displaystyle{ {1 \over 2 } ( \cos 5x + \cos x ) } $

(7) $ \displaystyle{ {1 \over 2 } ( \sin 6x + \sin 4x ) } $

(8) $ \displaystyle{ −{1 \over 2 } ( \cos 7x + \cos 3x ) } $

【解説(計算過程)】を見る
【解説】

(1)

$ S + S = \color{red}{2 \ S C} $

$ \displaystyle{ \sin 5x + \sin 3x = \color{red}{2 \sin} \underbrace{ 5x+3x \over 2 }_{半和} \, \color{red}{\cos} \underbrace{ 5x−3x \over 2 }_{半差} } $

$ $      $ = 2 \sin 4x \, \cos x $

 

(2)

$ S − S = \color{red}{2 \ C S} $

$ \displaystyle{ \sin 4x − \sin 2x = \color{red}{2 \cos} \underbrace{ 4x+2x \over 2 }_{半和} \, \color{red}{\sin} \underbrace{ 4x−2x \over 2 }_{半差} } $

$ $      $ = 2 \cos 3x \, \sin x $

 

(3)

$ C + C = \color{red}{2 \ C C} $

$ \displaystyle{ \cos 3x + \cos x = \color{red}{2 \cos} \underbrace{ 3x+x \over 2 }_{半和} \, \color{red}{\cos} \underbrace{ 3x−x \over 2 }_{半差} } $

$ $      $ = 2 \cos 2x \, \cos x $

 

(4)

$ C − C = \color{red}{−2 \ S S} $

$ \cos 3x − \cos 5x $

$ = −( \cos 5x − \cos 3x ) $

$ \displaystyle{ = − \left( \color{red}{−2 \sin} \underbrace{ 5x+3x \over 2 }_{半和} \, \color{red}{\sin} \underbrace{ 5x−3x \over 2 }_{半差} \right) } $

$ = 2 \sin 4x \, \sin x $

 

(5)

$ \color{red}{S + S} = 2 \ S C $

$ \color{red}{\sin } ( \underbrace{ 3x+2x }_{和} ) \color{red}{+ \sin } ( \underbrace{ 3x−2x }_{差} ) = 2 \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\sin 3x \cos 2x} $

∴ $ \displaystyle{ \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\sin 3x \cos 2x} = {1 \over 2 } ( \sin 5x + \sin x ) } $

 

(6) $ \cos 2x \cos 3x = \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{ \cos 3x \cos 2x } $

$ \color{red}{ C + C } = 2 \ C C $

∴ $ \color{red}{\cos } ( \underbrace{ 3x+2x }_{和} ) \color{red}{+ \cos } ( \underbrace{ 3x−2x }_{差} ) = 2 \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\cos 3x \cos 2x } $

∴ $ \displaystyle{ \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\cos 3x \cos 2x} = {1 \over 2 } ( \cos 5x + \cos x ) } $

 

(7) $ \sin x \cos 5x = \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\cos 5x \sin x} $

$ \color{red}{ S − S } = 2 \ C S $

∴ $ \color{red}{\sin } ( \underbrace{ 5x+x }_{和} ) \color{red}{+ \sin } ( \underbrace{ 5x−x }_{差} ) = 2 \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\cos 5x \sin x} $

∴ $ \displaystyle{ \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\cos 5x \sin x} = {1 \over 2 } ( \sin 6x + \sin 4x ) } $

 

 

(8) $ \sin 2x \sin 5x = \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\sin 5x \sin 2x} $

$ \color{red}{ C − C } = −2 \ S S $

∴ $ \color{red}{\cos } ( \underbrace{ 5x+2x }_{和} ) \color{red}{+ \cos } ( \underbrace{ 5x−2x }_{差} ) = −2 \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\sin 5x \sin 2x} $

∴ $ \displaystyle{ \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{\cos 5x \cos 2x} = −{1 \over 2 } ( \cos 7x + \cos 3x ) } $

以上です。お疲れ様でした!

【まとめ】和積の公式・積和の公式の覚え方

最後に「和積の公式」「積和の公式」(裏ワザ)をまとめておきます。

和 ⇄ 積の公式

$ $ (展開 ⇄ 因数分解)

  • $ $ $ S + S = 2 \ S C $
  • $ $ $ S − S = 2 \ C S $
  • $ $ $ C + C = 2 \ C C $
  • $ $ $ C − C = −2 \ S S $
【角】$和 + 差 = 2 \ 半和 × 半差$

たくさん問題を解いて慣れておきましょう!

 

質問・要望があれば気軽にコメントください👍