三角関数 sin cos tan「加法定理」の覚え方はないの？
加法定理の覚えやすい語呂合わせを教えてほしい！
加法定理を実際に使う問題を解きたい！
こういった要望に応えます。
三角関数の「加法定理」は、定期テストや入試でもかなり出題されやすいので、しっかり覚えておかなければいけません。
にも関わらず、加法定理を何も工夫せずに丸暗記するのはかなり大変です。
この記事を読めば、
- 三角関数 sin cos tan「加法定理」の覚え方・語呂合わせ
- 「加法定理」の実際の使い方（sin cos tan）
がわかります。
三角関数「加法定理」は語呂合わせで覚えよう！
三角関数の「加法定理」は以下の3つ。
- $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta $
- $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta $
- $\displaystyle {\tan(\alpha \pm \beta) = {\tan\alpha \pm \tan\beta \over 1 \mp \tan\alpha \tan\beta}}$
これらを丸暗記しろ！というのはかなりハードですよね？
そこで、おすすめなのが「語呂合わせで覚える」という方法です。
リズミカルに何度も口ずさんで覚えてしまいましょう♪
sin（サイン）加法定理の覚え方【語呂合わせ】
sin（サイン）の「加法定理」の覚え方（語呂合わせ）はこちら。
$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta $
咲いたコスモス コスモス咲いた
「咲いた（sinα）コスモス（cosβ） コスモス（cosα）咲いた（sinβ）」
と覚えましょう。
あえて分けて書くと、
$\sin(\alpha \color{red}{+} \beta) = \sin\alpha \cos\beta \color{red}{+} \cos\alpha \sin\beta $
$\sin(\alpha \color{blue}{-} \beta) = \sin\alpha \cos\beta \color{blue}{-} \cos\alpha \sin\beta $
プラス（+）・マイナス（−）は左辺と右辺で 同じ（一致する） ですね。
【例題1】sin75°を加法定理を用いて求めよ。
三角比の値が使える（知っている）ものは、0°を除くと
の4種類。
「75°」をこの4種類の 和・差 で表すことを考えると、
が言えますね。
【解答】
$\sin \color{red}{75^\circ} $
$= \sin( \color{red}{45^\circ + 30^\circ} ) $
$= \sin45^\circ \cos30^\circ + \cos45^\circ \sin30^\circ$
$\displaystyle {= {\sqrt{2}\over2} \cdot {1\over2} + {\sqrt{2}\over2} \cdot {\sqrt{3}\over2}}$
$\displaystyle {= {\sqrt{6} + \sqrt{2} \over 4}}$
【例題2】sin15°を加法定理を用いて求めよ。
と考えると、以下の解答になります。
【解答】
$\sin \color{red}{15^\circ}$
$= \sin( \color{red}{45^\circ − 30^\circ} ) $
$= \sin45^\circ \cos30^\circ − \cos45^\circ \sin30^\circ$
$\displaystyle {= {\sqrt{2}\over2} \cdot {\sqrt{3}\over2} − {\sqrt{2}\over2} \cdot {1\over2}}$
$\displaystyle {= {\sqrt{6} − \sqrt{2} \over 4}}$
また、
と考えてもOKです。
【別解】
$\sin \color{red}{15^\circ}$
$= \sin( \color{red}{60^\circ − 45^\circ} ) $
$= \sin60^\circ \cos45^\circ − \cos60^\circ \sin45^\circ$
$\displaystyle {= {\sqrt{3}\over2} \cdot {\sqrt{2}\over2} − {1\over2} \cdot {\sqrt{2}\over2}}$
$\displaystyle {= {\sqrt{6} − \sqrt{2} \over 4}}$
cos（コサイン）加法定理の覚え方【語呂合わせ】
cos（コサイン）の「加法定理」の覚え方（語呂合わせ）はこちら。
$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta $
コスモス コスモス 咲いた 咲いた
「コスモス（cosα）コスモス（cosβ） 咲いた（sinα）咲いた（sinβ）」
と覚えましょう。
分けて書くと、
$\cos(\alpha \color{red}{+} \beta) = \cos\alpha \cos\beta \color{blue}{-} \sin\alpha \sin\beta $
$\cos(\alpha \color{blue}{-} \beta) = \cos\alpha \cos\beta \color{red}{+} \sin\alpha \sin\beta $
プラス（+）・マイナス（−）は左辺と右辺で 逆 ですね。
【例題】cos105°を加法定理を用いて求めよ。
【解答】
$\cos \color{red}{105^\circ} $
$= \cos( \color{red}{ 60^\circ + 45^\circ } ) $
$= \cos60^\circ \cos45^\circ − \sin60^\circ \sin45^\circ$
$\displaystyle {= {1\over2} \cdot {\sqrt{2}\over2} − {\sqrt{3}\over2} \cdot {\sqrt{2}\over2}}$
$\displaystyle {= {\sqrt{2} − \sqrt{6} \over 4}}$
tan（タンジェント）加法定理の覚え方【語呂合わせ】
tan（タンジェント）の「加法定理」の覚え方（語呂合わせ）です。
$\displaystyle {\tan(\alpha \pm \beta) = {\tan\alpha \pm \tan\beta \over 1 \mp \tan\alpha \tan\beta}}$
1 マイナス タンタン ぶんの タン プラ タン
「1マイナス タン（tanα）タン（tanβ）ぶんの タン（tanα）プラ タン（tanβ）」
と読みます。
分けて書くと、
$\displaystyle {\tan(\alpha \color{red}{+} \beta) = {\tan\alpha \color{red}{+} \tan\beta \over 1 \color{blue}{-} \tan\alpha \tan\beta}}$
$\displaystyle {\tan(\alpha \color{blue}{-} \beta) = {\tan\alpha \color{blue}{-} \tan\beta \over 1 \color{red}{+} \tan\alpha \tan\beta}}$
語呂合わせの「マイナス」「プラ（ス）」は、$\tan(\alpha \color{red}{+} \beta)$ の場合です。
$\tan(\alpha \color{blue}{-} \beta)$ のときは、符号を 逆 で考えてください。
つまり、「1 プラス タンタン ぶんの タン マイ タン」ということ。
【例題】tan75°を加法定理を用いて求めよ。
【解答】
$\tan \color{red}{75^\circ}$
$= \tan( \color{red}{ 45^\circ + 30^\circ } ) $
$\displaystyle {= {\tan45^\circ + \tan30^\circ \over 1 − \tan45^\circ \tan30^\circ}}$
$= {\displaystyle {1 + {1\over \sqrt{3}}} \over \displaystyle {1 − 1 \cdot {1\over \sqrt{3}}}}$
$= {\displaystyle {1 + {1\over \sqrt{3}}} \over \displaystyle {1 − {1\over \sqrt{3}}}}$
$= {\displaystyle {1 + {1\over \sqrt{3}}} \over \displaystyle {1 − {1\over \sqrt{3}}}}×\displaystyle {\sqrt{3} \over \sqrt{3}}$ ← （注）
$\displaystyle {= {\sqrt{3} + 1 \over \sqrt{3} − 1}}$
（注）分母（$\displaystyle {1 − {1\over \sqrt{3}}}$）と分子（$\displaystyle {1 + {1\over \sqrt{3}}}$）の両方に $\sqrt{3}$ をかける
【まとめ】加法定理の語呂合わせ
最後に、三角関数の「加法定理」の語呂合わせをまとめておきます。
① $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta $
咲いたコスモス コスモス咲いた
② $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta $
コスモスコスモス 咲いた咲いた
③ $\displaystyle {\tan(\alpha \pm \beta) = {\tan\alpha \pm \tan\beta \over 1 \mp \tan\alpha \tan\beta}}$
1マイナス タンタン ぶんの タン プラ タン
何度も口ずさんでガッチリ暗記しておきましょう！
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