【相加・相乗平均の関係】変数が3つ以上のパターン（使い方＆入試問題）

2023年1月18日
数学II

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「相加・相乗平均の関係」で変数が3つ以上のパターンはどうなるの？

使い方、入試問題の解き方をわかりやすく教えてほしい！

こういった要望に応えます。

1 【相加・相乗平均の関係】2つの数
2 【相加・相乗平均の関係】3つ以上の数
3 【相加・相乗平均の関係】変数が3つ以上（入試問題）
- 【問題】正の実数 $x, \ y$ が、 $x^2 − 2x + 4y^2 = 0$ をみたしながら変わるとき、 $xy$ の最大値を求めよ。[埼玉大]
4 【まとめ】「相加・相乗平均の関係」3つ以上の数のパターン

【相加・相乗平均の関係】2つの数

まずは、2つの数 における「相加・相乗平均の関係」をおさらいしておきましょう。

$a＞0, \ b＞0$ のとき

　　 $\displaystyle{ {a + b \over 2} ≧ \sqrt{ ab } }$

等号成立条件は $a=b$

相加平均： $a, \ b$ を足して $2$ で割る

相乗平均： $a, \ b$ をかけて $2$ 乗根をとる

もっと復習したい人はこちら。

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【相加・相乗平均の関係】3つ以上の数

では、3つ以上の数 のときはどうなるでしょうか？

$n$ 個の数における「相加・相乗平均の関係」は次の通り。

$a_i＞0 \ (i = 0, \ 1, \ 2, \cdots n)$ のとき

　　 $\displaystyle{ {a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n \over n} ≧ \sqrt[n]{ a_1 a_2 a_3 \cdots a_n } }$

等号成立条件は $a_1 = a_2 = a_3 = \cdots = a_n$

相加平均： $a_1 〜 a_n$ を足して $n$ で割る

相乗平均： $a_1 〜 a_n$ をかけて $n$ 乗根をとる

「 $≧$ 」の等号成立条件は、 $a_1 〜 a_n$ がすべて等しいときです。

特に $n=2$ とすると、ふつうの「相加・相乗平均の関係（2数）」が表せますね。

【相加・相乗平均の関係】変数が3つ以上（入試問題）

「相加・相乗平均の関係」で 変数が3つ以上 になるパターン（入試問題）を解いてみましょう。

【問題】正の実数 $x, \ y$ が、 $x^2 − 2x + 4y^2 = 0$ をみたしながら変わるとき、 $xy$ の最大値を求めよ。[埼玉大]

一見すると「相加・相乗平均の関係」が使えなさそうですが、問題文に「正の実数 $x, \ y$ （ $x, \ y ＞ 0$ ）」という条件があるのがヒントです。

まずは、 $y$ を消去します。

【解答】

$x^2 − 2x + 4y^2 = 0$ より

　 $\displaystyle{ y^2 = {1 \over 4} \left(−x^2 + 2x \right) ＞ 0 }$ （∵ $y^2 ＞ 0$ ）

∴ $x(x−2) ＜0$

∴ $0＜x＜2$ ・・・①

いきなり $xy$ で考えるとわかりにくいので、 $2$ 乗した $x^2 y^2$ で考えてみます。

$\displaystyle{ x^2 y^2 = {1 \over 4} x^2 \left( −x^2 + 2x \right) }$

　　 $\displaystyle{ = {1 \over 4} x^3 \left( 2−x \right) }$

　　 $\displaystyle{ = {1 \over 4} \cdot {1 \over 3} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{ \left( 6−3x \right) } }$

ここの変形のしかたは、赤色の4数

　 $\displaystyle{ \color{red}{x} , \ \color{red}{x} , \ \color{red}{x} , \ \color{red}{ \left( 6−3x \right) } }$

を足したもの（相加平均の分子）が

　 $\displaystyle{ \require{cancel} \color{red}{ \bcancel{x} } + \color{red}{ \bcancel{x} } + \color{red}{\bcancel{x} } + \color{red}{ ( 6 − \bcancel{3x} ) } = 6 }$ （定数）

となることを狙ったわけです。

$\color{red}{x}＞ 0, \ \color{red}{6−3x} ＞ 0$ なので、相加・相乗平均の関係より

　 $\displaystyle{ {\color{red}{x} + \color{red}{x} + \color{red}{x} + \color{red}{ ( 6−3x ) } \over 4} ≧ \sqrt[4]{ \color{red}{x} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{ ( 6−3x ) } } }$

∴ $\displaystyle{ {3 \over 2 } ≧ \sqrt[4]{ \color{red}{x} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{ ( 6−3x ) } } }$ ・・・②

等号成立条件は

　 $x = 6−3x$

∴ $\displaystyle{ x = {3 \over 2 } }$ （① をみたす）

∴ $\displaystyle{ y^2 = {1 \over 4} \left(−x^2 + 2x \right) = {3 \over 16} }$

∴ $\displaystyle{ y = { \sqrt{3} \over 4} }$ （∵ $y ＞ 0$ ）

② の両辺 $4$ 乗して

　 $\displaystyle{ \left( { 3 \over 2 } \right)^4 ≧ \color{red}{x} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{ ( 6−3x ) } }$

∴ $\displaystyle{ x^2 y^2 ≦ {1 \over 4} \cdot {1 \over 3} \cdot \left( { 3 \over 2 } \right)^4 }$

よって、 $x^2 y^2$ は

　 $\displaystyle{ x = {3 \over 2 } }$ で　最大値 $\displaystyle{ {1 \over 4} \cdot {1 \over 3} \cdot \left( { 3 \over 2 } \right)^4 }$ ・・・（注）

したがって、 $xy$ は

　 $\displaystyle{ x = { 3 \over 2 }, \ y = { \sqrt{3} \over 4 } }$ で

　最大値 $\displaystyle{ \sqrt{ {1 \over 4} \cdot {1 \over 3} \cdot \left( { 3 \over 2 } \right)^4 } = { 3 \sqrt{3} \over 8 } }$

$\displaystyle{ {1 \over 4} \cdot {1 \over 3} \cdot \left( { 3 \over 2 } \right)^4 }$ をあえて計算せずに放っておくのも、楽に解くテクニックのひとつです。

もし「相加・相乗平均の関係」を使わずに解きたければ、以下のように微分する別解もあります。

【別解】を見る: 【別解】

$x^2 − 2x + 4y^2 = 0$ より

　 $\displaystyle{ y^2 = {1 \over 4} \left(−x^2 + 2x \right) ＞ 0 }$ （∵ $y^2 ＞ 0$ ）

∴ $x(x−2) ＜0$

∴ $0＜x＜2$

$xy ＞ 0$ より

　 $\displaystyle{ xy = \sqrt{x^2 y^2} }$

　　 $\displaystyle{ = \sqrt{x^2 \cdot {1 \over 4} \left(−x^2 + 2x \right) } }$

　　 $\displaystyle{ = {1 \over 2} \sqrt{−x^4 + 2x^3 } }$

$f(x) = −x^4 + 2x^3$ とおくと

$f'(x) = −4x^3 + 6x^2 = 0$ より

　 $x^2 ( 2x − 3 ) = 0$

∴ $\displaystyle{ x = 0 , \ {3 \over 2} }$

よって、 $0＜x＜2$ における

$f(x)$ の増減表は以下のようになる。

$\begin{array}{c|ccccc} x & (0) & \cdots & \displaystyle{3 \over 2} & \cdots & (2) \\ \hline f'(x) & & + & 0 & – & \\ \hline f(x) & & \nearrow & Max & \searrow & \\ \end{array}$

ゆえに、 $f(x)$ は $\displaystyle{ x = { 3 \over 2 } }$ で

　最大値 $\displaystyle{ f \left( {3 \over 2} \right) = −\left( {3 \over 2} \right)^4 + 2 \left( {3 \over 2} \right)^3 }$

　　　　　　　 $\displaystyle{ = \left( {3 \over 2} \right)^3 \cdot \left( −{3 \over 2} + 2 \right) }$

　　　　　　　 $\displaystyle{ = \left( {3 \over 2} \right)^3 \cdot {1 \over 2} }$

このとき

　 $\displaystyle{ y^2 = {1 \over 4} \left(−x^2 + 2x \right) = {3 \over 16} }$

∴ $\displaystyle{ y = { \sqrt{3} \over 4} }$ （∵ $y ＞ 0$ ）

したがって、 $xy$ は

　 $\displaystyle{ x = { 3 \over 2 }, \ y = { \sqrt{3} \over 4 } }$ で

　最大値 $\displaystyle{ {1 \over 2} \sqrt{f \left({3 \over 2} \right) } = {1 \over 2} \sqrt{ \left( {3 \over 2} \right)^3 \cdot {1 \over 2} } }$

　　　　　　　　　 $\displaystyle{ = { 3 \sqrt{3} \over 8 } }$

以上です。

お疲れ様でした！

【まとめ】「相加・相乗平均の関係」3つ以上の数のパターン

最後に、 $n$ 個の数における「相加・相乗平均の関係」をまとめておきます。