【２次関数】範囲が文字(定義域の両方)のときの場合分け【最大値・最小値の求め方】

２次関数で、a≦x≦a+2 みたいに範囲が文字のときの場合分けがよく分からない！

定義域の両方に定数aが入っているときの最大値・最小値を求める問題がうまく解けない！

こういったお悩みを解決します。

「２次関数で $a≦x≦a+2$ のように範囲が文字(定義域の両方)のときの場合分け」は、学校のテストや大学入試でよく出る問題のひとつです。

定数 $a$ の値によって $x$ の範囲が動くので、混乱してしまう高校生・受験生はたくさんいます。

一見複雑に見えますが、２次関数の場合分けのやり方にはコツがあります！

このページを読めば、

「２次関数で 範囲が文字(定義域の両方)のときの場合分け」のやり方がスッキリ分かります。

できる限り「丁寧」かつ「シンプルに」分かりやすく説明していきます！

【２次関数】範囲が文字(定義域の両方)のときの場合分け【最大値・最小値】

まず「２次関数の最大値・最小値を求める問題」の場合分けにおける最重要ポイントは

によって場合分けするということです。

さらに、その中でも

• 下に凸 × 最大値
• 上に凸 × 最小値

のパターンの問題で場合分けに必要なのが

※ 求め方： $\displaystyle{ 中= { 左 + 右 \over 2 } } $

これらのポイントをしっかり押さえておくと、場合分けがスッキリ理解できるようになります。

２次関数が「下に凸」「上に凸」のパターンに分けてそれぞれ解説していきます！

【２次関数】範囲が文字のときの場合分け（下に凸）

「２次関数（下に凸）の最大値・最小値を求める問題」で

「範囲が文字（定義域の両方）の場合分け」のパターンを見ていきましょう。

【パターン1】下に凸 × 最大値

「下に凸 × 最大値」のパターンは、以下の3つに場合分けできます。

$ $[1]  最大値が「左」（中＜軸）

$ $[2]  最大値が「左・右」（軸＝中）

$ $[3]  最大値が「右」（軸＜中）

まずは平方完成して

「頂点」「軸」「上・下に凸」

を求めておきましょう。

定数aの値によって定義域が変わるので、場合分けをしなければいけません。

さて、ここで場合分けに必要なのが

※ 求め方： $\displaystyle{ 中= { 左 + 右 \over 2 } } $

Point：最大値（グラフ上で一番高いところ）が「左」「頂点」「右」のどこか？

を考えると

下に凸のグラフなので、最大値が「頂点」の場合はありえませんね。

なので、以下の3つに場合分けします。

[1]  最大値が「左」（中＜軸）

最大値をとるような $x$ の値が「左（$x=a$）」の場合、

「中＜軸」より「$a+1＜1$」です。

簡単なグラフをかくと

なので、[1]の場合 の解答は以下の通り。

あとは、同じ要領で [2]、[3]の場合 も考えればOK！

[2]  最大値が「左・右」（軸＝中）

最大値をとるような $x$ の値が「左（$x=a$）」と「右（$x=a+2$）」の場合（左・右の高さが揃う）を考えます。

このとき、軸と「中」が重なっているので、

「軸＝中」より「$1=a+1$」ですね。

（注）「$x=a, a+2$ で　最大値 $a^2 -2a + 2$」に $a=0$ を代入

[3]  最大値が「右」（軸＜中）

最大値をとるような $x$ の値が「右（$x=a+2$）」の場合

「軸＜中」より「$1＜a+1$」です。

ここまでの解答をまとめると以下になります。

【解答】を見る

【解答】

$ y = x^2 -2x + 2 $

$ $　$ = (x -1)^2 + 1 $

∴ $ \begin{cases}
頂点 \enspace (1, 1) \\
\\
軸：x = 1  \\
\\
下に凸 \\
\end{cases}$　の放物線。

ここで、$a≦x≦a+2$ における中央の値は

$ $　$ \displaystyle{ { a + (a+2) \over 2 } = a+1 } $

 

よって、以下のように場合分けできる。

$ $[1]  $a+1＜1$ すなわち $a＜0$ のとき

$ $　$x = a$ で　最大値 $ a^2 -2a + 2 $

 

$ $[2]  $a+1=1$ すなわち $a=0$ のとき

$ $　$x = 0, 2$ で　最大値 $ 2 $

 

$ $[3]  $1＜a+1$ すなわち $0＜a$ のとき

$ $　$x = a+2$ で　最大値 $ a^2 +2a + 2 $

 

$ $[1]〜[3]より、求める最大値は

$ \begin{cases}
a＜0 \enspace のとき \enspace \enspace a^2 -2a + 2 \enspace (x = a) \\
\\
a=0 \enspace のとき \enspace \enspace 2 \enspace (x=0, 2) \\
\\
0＜a \enspace のとき \enspace \enspace a^2 +2a + 2 \enspace (x = a+2) \\
\end{cases}$

以上、「下に凸 × 最大値」のパターンでした。

【パターン2】下に凸 × 最小値

「下に凸 × 最小値」のパターンは、以下の3つに場合分けできます。

$ $[1]  最小値が「右」（右＜軸）

$ $[2]  最小値が「頂点」（左≦軸≦右）

$ $[3]  最小値が「左」（軸＜左）

まずは平方完成します。

定数aの値によって定義域が変わるので、場合分けをしなければいけません。

Point：最小値（グラフ上で一番低いところ）が「左」「頂点」「右」のどこか？

を考えると

以下の3つに場合分けできます。

[1]  最小値が「右」（右＜軸）

最小値をとるような $x$ の値が「右（$x=a+2$）」の場合

「右＜軸」より「$a+2＜1$」です。

[2]  最小値が「頂点」（左≦軸≦右）

最小値をとるような $x$ の値が「頂点（$x=1$）」の場合

「左≦軸≦右」より「$a≦1≦a+2$」です。

（注）不等式「$a≦1≦a+2$」の変形のしかた（解き方）は

$ \begin{cases}
a≦1 \\
\\
1≦a+2 \\
\end{cases}$

∴ $ \begin{cases}
a≦1 \\
\\
-1≦a \\
\end{cases}$

∴ $-1≦a≦1$

[3]  最小値が「左」（軸＜左）

最小値をとるような $x$ の値が「左（$x=a$）」の場合

「軸＜左」より「$1＜a$」です。

ここまでの解答をまとめると以下になります。

【解答】を見る

【解答】

$ y = x^2 -2x + 2 $

$ $　$ = (x -1)^2 + 1 $

∴ $ \begin{cases}
頂点 \enspace (1, 1) \\
\\
軸：x = 1  \\
\\
下に凸 \\
\end{cases}$　の放物線。

 

よって、以下のように場合分けできる。

$ $[1]  $a+2＜1$ すなわち $a＜-1$ のとき

$ $　$x = a+2$ で　最小値 $ a^2 +2a + 2 $

 

$ $[2]  $a≦1≦a+2$ すなわち $-1≦a≦1$ のとき

$ $　$x = 1$ で　最小値 $ 1 $

 

$ $[3]  $1＜a$ のとき

$ $　$x = a$ で　最小値 $ a^2 -2a +2 $

 

$ $[1]〜[3]より、求める最小値は

$ \begin{cases}
a＜-1 \enspace のとき \enspace \enspace a^2 +2a + 2 \enspace (x = a+2) \\
\\
-1≦a≦1 \enspace のとき \enspace \enspace 1 \enspace (x=1) \\
\\
1＜a \enspace のとき \enspace \enspace a^2 -2a +2 \enspace (x = a) \\
\end{cases}$

以上、「下に凸 × 最小値」のパターンでした。

【パターン3】下に凸 × 最大値・最小値

下に凸の２次関数で「最大値・最小値を同時に答える」パターンの問題です。

【パターン1】と【パターン2】を同時並行で考えていくので、２次関数の中でもレベルが高い問題です。

Point：「左」「頂点」「右」のうち、どこで最大・最小か？

に注目すると、以下の5つに場合分けされます。

$ $[1]  最大値が「左」、最小値が「右」（右＜軸）

$ $[2]  最大値が「左」、最小値が「頂点」（中＜軸≦右）

$ $[3]  最大値が「左・右」、最小値が「頂点」（軸＝中）

$ $[4]  最大値が「右」、最小値が「頂点」（左≦軸＜中）

$ $[5]  最大値が「右」、最小値が「左」（軸＜左）

場合分けのしかたが整理できたところで、実際にこの問題をやってみましょう！

まずは平方完成します。

定数aの値によって定義域の位置が変わるので、場合分けをしなければいけません。

さて、その場合分けに必要なのが

※ 求め方： $\displaystyle{ 中= { 左 + 右 \over 2 } } $

ここから、以下の5つに場合分けします。

[1]  最大値が「左」、最小値が「右」（右＜軸）

• 左（$x=a$）で最大値
• 右（$x=a+2$）で最小値

をとる場合、「右＜軸」より「$a+2＜1$」です。

[2]  最大値が「左」、最小値が「頂点」（中＜軸≦右）

• 左（$x=a$）で最大値
• 頂点（$x=1$）で最小値

をとる場合、

「中＜軸≦右」より「$a+1＜1≦a+2$」です。

（注）不等式「$a+1＜1≦a+2$」の変形のしかた（解き方）は

$ \begin{cases}
a+1＜1 \\
\\
1≦a+2 \\
\end{cases}$

∴ $ \begin{cases}
a＜0 \\
\\
-1≦a \\
\end{cases}$

∴ $-1≦a＜0$

[3]  最大値が「左・右」、最小値が「頂点」（軸＝中）

• 左（$x=a$）・右（$x=a+2$）で最大値
• 頂点（$x=1$）で最小値

をとる場合、「軸＝中」より「$1=a+1$」です。

（左・右の高さが揃う）

[4]  最大値が「右」、最小値が「頂点」（左≦軸＜中）

• 右（$x=a+2$）で最大値
• 頂点（$x=1$）で最小値

をとる場合、「左≦軸＜中」より「$a≦1＜a+1$」です。

[5]  最大値が「右」、最小値が「左」（軸＜左）

• 右（$x=a+2$）で最大値
• 左（$x=a$）で最小値

をとる場合、「軸＜左」より「$1＜a$」です。

ここまでの解答をまとめると以下になります。

【解答】を見る

【解答】

$ y = x^2 -2x + 2 $

$ $　$ = (x -1)^2 + 1 $

∴ $ \begin{cases}
頂点 \enspace (1, 1) \\
\\
軸：x = 1  \\
\\
下に凸 \\
\end{cases}$　の放物線。

ここで、$a≦x≦a+2$ における中央の値は

$ $　$ \displaystyle{ { a + (a+2) \over 2 } = a+1 } $

 

よって、以下のように場合分けできる。

$ $[1]  $a+2＜1$ すなわち $a＜-1$ のとき

$ $　$x = a$ で　最大値 $a^2 -2a +2$

$ $　$x = a+2$ で　最小値 $a^2 +2a +2$

 

$ $[2]  $a+1＜1≦a+2$ すなわち $-1≦a＜0$ のとき

$ $　$x = a$ で　最大値 $a^2 -2a +2$

$ $　$x = 1$ で　最小値 $1$

 

$ $[3]  $a+1=1$ すなわち $a=0$ のとき

$ $　$x = 0, 2$ で　最大値 $2$

$ $　$x = 1$ で　最小値 $1$

 

$ $[4]  $a≦1＜a+1$ すなわち $0＜a≦1$ のとき

$ $　$x = a+2$ で　最大値 $a^2 +2a +2$

$ $　$x = 1$ で　最小値 $1$

 

$ $[5]  $1＜a$ のとき

$ $　$x = a+2$ で　最大値 $a^2 +2a +2$

$ $　$x = a$ で　最小値 $a^2 -2a +2$

 

$ $[1]〜[5]より、

最大値は

$ \begin{cases}
a＜0 \enspace のとき \enspace \enspace a^2 -2a + 2 \enspace (x = a) \\
\\
a=0 \enspace のとき \enspace \enspace 2 \enspace (x=0, 2) \\
\\
0＜a \enspace のとき \enspace \enspace a^2 +2a + 2 \enspace (x = a+2) \\
\end{cases}$

最小値は

$ \begin{cases}
a＜-1 \enspace のとき \enspace \enspace a^2 +2a + 2 \enspace (x = a+2) \\
\\
-1≦a≦1 \enspace のとき \enspace \enspace 1 \enspace (x=1) \\
\\
1＜a \enspace のとき \enspace \enspace a^2 -2a +2 \enspace (x = a) \\
\end{cases}$ ・・・（注）

（注）このようにまとめて答えてもいいし、別にまとめなくてもOK。

以上、「下に凸 × 最大値・最小値」のパターンでした。

【２次関数】範囲が文字のときの場合分け（上に凸）

次に「２次関数（下に凸）の最大値・最小値を求める問題」で

「範囲が文字（定義域の両方）の場合分け」のパターンを見ていきましょう。

「上に凸」の場合と上下逆さまになるだけで、基本的な考え方は同じです。

【パターン4】上に凸 × 最大値

「上に凸 × 最大値」のパターンは、以下の3つに場合分けできます。

$ $[1]  最大値が「右」（右＜軸）

$ $[2]  最大値が「頂点」（左≦軸≦右）

$ $[3]  最大値が「左」（軸＜左）

この場合分けをヒントにして解答を作ってみてください。

【解答】を見る

【解答】

$ y = -x^2 +2x – 2 $

$ $　$= -(x – 1)^2 -1 $

∴ $ \begin{cases}
頂点 \enspace (1, -1) \\
\\
軸：x = 1  \\
\\
上に凸 \\
\end{cases}$　の放物線。

 

よって、以下のように場合分けできる。

$ $[1]  $a+2＜1$ すなわち $a＜-1$ のとき

$ $　$x = a+2$ で　最大値 $-a^2 -2a -2$

 

$ $[2]  $a≦1≦a+2$ すなわち $-1≦a≦1$ のとき

$ $　$x = 1$ で　最大値 $-1$

 

$ $[3]  $1＜a$ のとき

$ $　$x = a$ で　最大値 $-a^2 +2a -2$

 

$ $[1]〜[3]より、求める最大値は

$ \begin{cases}
a＜-1 \enspace のとき \enspace \enspace -a^2 -2a -2 \enspace (x = a+2) \\
\\
-1≦a≦1 \enspace のとき \enspace \enspace -1 \enspace (x=1) \\
\\
1＜a \enspace のとき \enspace \enspace -a^2 +2a -2 \enspace (x = a) \\
\end{cases}$

どうでしたか？ 自力で解けましたか？

【パターン5】上に凸 × 最小値

「上に凸 × 最小値」のパターンは、以下の3つに場合分けできます。

$ $[1]  最小値が「左」（中＜軸）

$ $[2]  最小値が「左・右」（軸＝中）

$ $[3]  最小値が「右」（軸＜中）

この場合分けをヒントにして解答を作ってみてください。

【解答】を見る

【解答】

$ y = -x^2 +2x – 2 $

$ $　$= -(x – 1)^2 -1 $

∴ $ \begin{cases}
頂点 \enspace (1, -1) \\
\\
軸：x = 1  \\
\\
上に凸 \\
\end{cases}$　の放物線。

ここで、$a≦x≦a+2$ における中央の値は

$ $　$ \displaystyle{ { a + (a+2) \over 2 } = a+1 } $

 

よって、以下のように場合分けできる。

$ $[1]  $a+1＜1$ すなわち $a＜0$ のとき

$ $　$x = a$ で　最小値 $-a^2 +2a -2$

 

$ $[2]  $a+1=1$ すなわち $a=0$ のとき

$ $　$x = 0, 2$ で　最小値 $-2$

 

$ $[3]  $1＜a+1$ すなわち $0＜a$ のとき

$ $　$x = a+2$ で　最小値 $-a^2 -2a -2$

 

$ $[1]〜[3]より、求める最小値は

$ \begin{cases}
a＜0 \enspace のとき \enspace \enspace -a^2 +2a -2 \enspace (x = a) \\
\\
a=0 \enspace のとき \enspace \enspace -2 \enspace (x=0, 2) \\
\\
0＜a \enspace のとき \enspace \enspace -a^2 -2a -2 \enspace (x = a+2) \\
\end{cases}$

さあ、次はいよいよ最後です！

【パターン6】上に凸 × 最大値・最小値

【解答】を見る

【解答】

$ y = -x^2 +2x – 2 $

$ $　$= -(x – 1)^2 -1 $

∴ $ \begin{cases}
頂点 \enspace (1, -1) \\
\\
軸：x = 1  \\
\\
上に凸 \\
\end{cases}$　の放物線。

ここで、$a≦x≦a+2$ における中央の値は

$ $　$ \displaystyle{ { a + (a+2) \over 2 } = a+1 } $

 

よって、以下のように場合分けできる。

$ $[1]  $a+2＜1$ すなわち $a＜-1$ のとき

$ $　$x = a+2$ で　最大値 $-a^2 -2a -2$

$ $　$x = a$ で　最小値 $-a^2 +2a -2$

 

$ $[2]  $a+1＜1≦a+2$ すなわち $-1≦a＜0$ のとき

$ $　$x = 1$ で　最大値 $-1$

$ $　$x = a$ で　最小値 $-a^2 +2a -2$

 

$ $[3]  $a+1=1$ すなわち $a=0$ のとき

$ $　$x = 1$ で　最大値 $-1$

$ $　$x = 0, 2$ で　最小値 $-2$

 

$ $[4]  $a≦1＜a+1$ すなわち $0＜a≦1$ のとき

$ $　$x = 1$ で　最大値 $-1$

$ $　$x = a+2$ で　最小値 $-a^2 -2a -2$

 

$ $[5]  $1＜a$ のとき

$ $　$x = a$ で　最大値 $-a^2 +2a -2$

$ $　$x = a+2$ で　最小値 $-a^2 -2a -2$

 

$ $[1]〜[5]より、

最大値は

$ \begin{cases}
a＜-1 \enspace のとき \enspace \enspace -a^2 -2a -2 \enspace (x = a+2) \\
\\
-1≦a≦1 \enspace のとき \enspace \enspace -1 \enspace (x=1) \\
\\
1＜a \enspace のとき \enspace \enspace -a^2 +2a -2 \enspace (x = a) \\
\end{cases}$

最小値は

$ \begin{cases}
a＜0 \enspace のとき \enspace \enspace -a^2 +2a -2 \enspace (x = a) \\
\\
a=0 \enspace のとき \enspace \enspace -2 \enspace (x=0, 2) \\
\\
0＜a \enspace のとき \enspace \enspace -a^2 -2a -2 \enspace (x = a+2) \\
\end{cases}$

以上です。お疲れ様でした！

【まとめ】２次関数の範囲が文字(定義域の両方)の場合分け

最後にまとめです。

「２次関数の最大値・最小値を求める問題」の場合分けのポイントは

によって場合分けするということ。

さらに、その中でも

• 下に凸 × 最大値
• 上に凸 × 最小値

のパターンの問題で場合分けに必要なのが

※ 求め方： $\displaystyle{ 中= { 左 + 右 \over 2 } } $

しっかり覚えておきましょう！

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