【2次関数】範囲が文字(定義域の両方)のときの場合分け【最大値・最小値の求め方】

2次関数で、a≦x≦a+2 みたいに範囲が文字のときの場合分けがよく分からない!

定義域の両方に定数aが入っているときの最大値・最小値を求める問題がうまく解けない!

こういったお悩みを解決します。

 

「2次関数で $a≦x≦a+2$ のように範囲が文字(定義域の両方)のときの場合分け」は、学校のテスト大学入試でよく出る問題のひとつです。

定数 $a$ の値によって $x$ の範囲が動くので、混乱してしまう高校生・受験生はたくさんいます。

 

一見複雑に見えますが、2次関数の場合分けのやり方にはコツがあります!

このページを読めば、

2次関数で 範囲が文字(定義域の両方)のときの場合分け」のやり方がスッキリ分かります。

できる限り「丁寧」かつ「シンプルに」分かりやすく説明していきます!

 

目次

【2次関数】範囲が文字(定義域の両方)のときの場合分け【最大値・最小値】

まず「2次関数の最大値・最小値を求める問題」の場合分けにおける最重要ポイントは

「左」「頂点」「右」のうち、どこで最大最小か?

によって場合分けするということです。

 

さらに、その中でも

  • 下に凸 × 最大値
  • 上に凸 × 最小値

のパターンの問題で場合分けに必要なのが

「左」と「右」の 中央 の値

※ 求め方: $\displaystyle{ 中= { 左 + 右 \over 2 } } $

 

これらのポイントをしっかり押さえておくと、場合分けがスッキリ理解できるようになります。

2次関数が「下に凸」「上に凸」のパターンに分けてそれぞれ解説していきます!

【2次関数】範囲が文字のときの場合分け(下に凸)

2次関数(下に凸)の最大値・最小値を求める問題」で

範囲が文字(定義域の両方)の場合分け」のパターンを見ていきましょう。

【パターン1】下に凸 × 最大値

【例題1】$a≦x≦a+2$ における 2次関数 $ y = x^2 -2x + 2 $ の最大値を求めよ。

 

「下に凸 × 最大値」のパターンは、以下の3つに場合分けできます。

$ $[1]  最大値が「」(中<軸)

【2次関数】場合分け(下に凸)最大値:左

$ $[2]  最大値が「」(軸=中)

【2次関数】場合分け(下に凸)最大値:左右

$ $[3]  最大値が「」(軸<中)

【2次関数】場合分け(下に凸)最大値:右

まずは平方完成して

頂点」「」「上・下に凸

を求めておきましょう。

【解答】

$ y = x^2 -2x + 2 $

$ $ $ = (x -1)^2 + 1 $

∴ $ \begin{cases}
頂点 \enspace (1, 1) \\
\\
軸:x = 1  \\
\\
下に凸 \\
\end{cases}$ の放物線。

定数aの値によって定義域が変わるので、場合分けをしなければいけません。

 

さて、ここで場合分けに必要なのが

「左」と「右」の 中央 の値

ここで、$a≦x≦a+2$ における中央の値は

$ $ $ \displaystyle{ { a + (a+2) \over 2 } = a+1 } $

※ 求め方: $\displaystyle{ 中= { 左 + 右 \over 2 } } $

 

Point最大値(グラフ上で一番高いところ)が「左」「頂点」「右」のどこか?

を考えると

下に凸のグラフなので、最大値が「頂点」の場合はありえませんね。

なので、以下の3つに場合分けします。

$ $[1] 最大値が「左」(中<軸)

$ $[2] 最大値が「左・右」(軸=中)

$ $[3] 最大値が「右」(軸<中)

[1]  最大値が「左」(中<軸)

最大値をとるような $x$ の値が「($x=a$)」の場合、

「中<軸」より「$a+1<1$」です。

簡単なグラフをかくと

【2次関数】範囲が文字(両方) 下に凸 ex1-1

なので、[1]の場合 の解答は以下の通り。

$ $[1]  $a+1<1$ すなわち $a<0$ のとき

$ $ $x = a$ で 最大値 $ a^2 -2a + 2 $

あとは、同じ要領で [2]、[3]の場合 も考えればOK!

[2]  最大値が「左・右」(軸=中)

最大値をとるような $x$ の値が「($x=a$)」と「($x=a+2$)」の場合(左・右の高さが揃う)を考えます。

このとき、軸と「」が重なっているので、

「軸=中」より「$1=a+1$」ですね。

【2次関数】範囲が文字(両方) 下に凸 ex1-2

$ $[2]  $a+1=1$ すなわち $a=0$ のとき

$ $ $x = 0, 2$ で 最大値 $ 2 $ ・・・(注)

(注)「$x=a, a+2$ で 最大値 $a^2 -2a + 2$」に $a=0$ を代入

[3]  最大値が「右」(軸<中)

最大値をとるような $x$ の値が「($x=a+2$)」の場合

「軸<中」より「$1<a+1$」です。

【2次関数】範囲が文字(両方) 下に凸 ex1-3

$ $[3]  $1<a+1$ すなわち $0<a$ のとき

$ $ $x = a+2$ で 最大値 $ a^2 +2a + 2 $

 

ここまでの解答をまとめると以下になります。

【解答】を見る

【解答】

$ y = x^2 -2x + 2 $

$ $ $ = (x -1)^2 + 1 $

∴ $ \begin{cases}
頂点 \enspace (1, 1) \\
\\
軸:x = 1  \\
\\
下に凸 \\
\end{cases}$ の放物線。

ここで、$a≦x≦a+2$ における中央の値は

$ $ $ \displaystyle{ { a + (a+2) \over 2 } = a+1 } $

 

よって、以下のように場合分けできる。

$ $[1]  $a+1<1$ すなわち $a<0$ のとき

【2次関数】範囲が文字(両方) 下に凸 ex1-1

$ $ $x = a$ で 最大値 $ a^2 -2a + 2 $

 

$ $[2]  $a+1=1$ すなわち $a=0$ のとき

【2次関数】範囲が文字(両方) 下に凸 ex1-2

$ $ $x = 0, 2$ で 最大値 $ 2 $

 

$ $[3]  $1<a+1$ すなわち $0<a$ のとき

【2次関数】範囲が文字(両方) 下に凸 ex1-3

$ $ $x = a+2$ で 最大値 $ a^2 +2a + 2 $

 

$ $[1]〜[3]より、求める最大値は

$ \begin{cases}
a<0 \enspace のとき \enspace \enspace a^2 -2a + 2 \enspace (x = a) \\
\\
a=0 \enspace のとき \enspace \enspace 2 \enspace (x=0, 2) \\
\\
0<a \enspace のとき \enspace \enspace a^2 +2a + 2 \enspace (x = a+2) \\
\end{cases}$

以上、「下に凸 × 最大値」のパターンでした。

【パターン2】下に凸 × 最小値

【例題2】$a≦x≦a+2$ における 2次関数 $ y = x^2 -2x + 2 $ の最小値を求めよ。

 

「下に凸 × 最小値」のパターンは、以下の3つに場合分けできます。

$ $[1]  最小値が「」(右<軸)

【2次関数】場合分け(下に凸)最小値:右

$ $[2]  最小値が「頂点」(左≦軸≦右)

【2次関数】場合分け(下に凸)最小値:頂点

$ $[3]  最小値が「」(軸<左)

【2次関数】場合分け(下に凸)最小値:左

 

まずは平方完成します。

【解答】

$ y = x^2 -2x + 2 $

$ $ $ = (x -1)^2 + 1 $

∴ $ \begin{cases}
頂点 \enspace (1, 1) \\
\\
軸:x = 1  \\
\\
下に凸 \\
\end{cases}$ の放物線。

定数aの値によって定義域が変わるので、場合分けをしなければいけません。

 

Point最小値(グラフ上で一番低いところ)が「左」「頂点」「右」のどこか?

を考えると

以下の3つに場合分けできます。

$ $[1] 最小値が「右」(右<軸)

$ $[2] 最小値が「頂点」(左≦軸≦右)

$ $[3] 最小値が「左」(軸<左)

[1]  最小値が「右」(右<軸)

最小値をとるような $x$ の値が「($x=a+2$)」の場合

「右<軸」より「$a+2<1$」です。

【2次関数】範囲が文字(両方) 下に凸 ex2-1

$ $[1]  $a+2<1$ すなわち $a<-1$ のとき

$ $ $x = a+2$ で 最小値 $ a^2 +2a + 2 $

[2]  最小値が「頂点」(左≦軸≦右)

最小値をとるような $x$ の値が「頂点($x=1$)」の場合

「左≦軸≦右」より「$a≦1≦a+2$」です。

【2次関数】範囲が文字(両方) 下に凸 ex2-2

$ $[2]  $a≦1≦a+2$ すなわち $-1≦a≦1$ のとき

$ $ $x = 1$ で 最小値 $ 1 $

(注)不等式「$a≦1≦a+2$」の変形のしかた(解き方)は

$ \begin{cases}
a≦1 \\
\\
1≦a+2 \\
\end{cases}$

∴ $ \begin{cases}
a≦1 \\
\\
-1≦a \\
\end{cases}$

∴ $-1≦a≦1$

[3]  最小値が「左」(軸<左)

最小値をとるような $x$ の値が「($x=a$)」の場合

「軸<左」より「$1<a$」です。

【2次関数】範囲が文字(両方) 下に凸 ex2-3

$ $[3]  $1<a$ のとき

$ $ $x = a$ で 最小値 $ a^2 -2a +2 $

 

ここまでの解答をまとめると以下になります。

【解答】を見る

【解答】

$ y = x^2 -2x + 2 $

$ $ $ = (x -1)^2 + 1 $

∴ $ \begin{cases}
頂点 \enspace (1, 1) \\
\\
軸:x = 1  \\
\\
下に凸 \\
\end{cases}$ の放物線。

 

よって、以下のように場合分けできる。

$ $[1]  $a+2<1$ すなわち $a<-1$ のとき

【2次関数】範囲が文字(両方) 下に凸 ex2-1

$ $ $x = a+2$ で 最小値 $ a^2 +2a + 2 $

 

$ $[2]  $a≦1≦a+2$ すなわち $-1≦a≦1$ のとき

【2次関数】範囲が文字(両方) 下に凸 ex2-2

$ $ $x = 1$ で 最小値 $ 1 $

 

$ $[3]  $1<a$ のとき

【2次関数】範囲が文字(両方) 下に凸 ex2-3

$ $ $x = a$ で 最小値 $ a^2 -2a +2 $

 

$ $[1]〜[3]より、求める最小値は

$ \begin{cases}
a<-1 \enspace のとき \enspace \enspace a^2 +2a + 2 \enspace (x = a+2) \\
\\
-1≦a≦1 \enspace のとき \enspace \enspace 1 \enspace (x=1) \\
\\
1<a \enspace のとき \enspace \enspace a^2 -2a +2 \enspace (x = a) \\
\end{cases}$

以上、「下に凸 × 最小値」のパターンでした。

【パターン3】下に凸 × 最大値・最小値

下に凸の2次関数で「最大値・最小値を同時に答える」パターンの問題です。

【パターン1】と【パターン2】を同時並行で考えていくので、2次関数の中でもレベルが高い問題です。

【例題3】$a≦x≦a+2$ における 2次関数 $ y = x^2 -2x + 2 $ の最大値最小値を求めよ。

 

Point:「」「頂点」「」のうち、どこで最大・最小か?

に注目すると、以下の5つに場合分けされます。

最大値 最小値
[1]
[2] 頂点
[3] 左・右 頂点
[4] 頂点
[5]

 

$ $[1]  最大値が「」、最小値が「」(右<軸)

【2次関数】場合分け5つ(下に凸)1

$ $[2]  最大値が「」、最小値が「頂点」(中<軸≦右)

【2次関数】場合分け5つ(下に凸)2

$ $[3]  最大値が「」、最小値が「頂点」(軸=中)

【2次関数】場合分け5つ(下に凸)3

$ $[4]  最大値が「」、最小値が「頂点」(左≦軸<中)

【2次関数】場合分け5つ(下に凸)4

$ $[5]  最大値が「」、最小値が「」(軸<左)

【2次関数】場合分け5つ(下に凸)5

 

場合分けのしかたが整理できたところで、実際にこの問題をやってみましょう!

まずは平方完成します。

【解答】

$ y = x^2 -2x + 2 $

$ $ $ = (x -1)^2 + 1 $

∴ $ \begin{cases}
頂点 \enspace (1, 1) \\
\\
軸:x = 1  \\
\\
下に凸 \\
\end{cases}$ の放物線。

定数aの値によって定義域の位置が変わるので、場合分けをしなければいけません。

さて、その場合分けに必要なのが

「左」と「右」の 中央 の値

ここで、$a≦x≦a+2$ における中央の値は

$ $ $ \displaystyle{ { a + (a+2) \over 2 } = a+1 } $

※ 求め方: $\displaystyle{ 中= { 左 + 右 \over 2 } } $

 

ここから、以下の5つに場合分けします。

$ $[1] 最大値が「
  最小値が「」(右<軸)

$ $[2] 最大値が「
  最小値が「頂点」(中<軸≦右)

$ $[3] 最大値が「
  最小値が「頂点」(軸=中)

$ $[4] 最大値が「
  最小値が「頂点」(左≦軸<中)

$ $[5] 最大値が「
  最小値が「」(軸<左)

[1]  最大値が「左」、最小値が「右」(右<軸)

  • ($x=a$)で最大値
  • ($x=a+2$)で最小値

をとる場合、「右<軸」より「$a+2<1$」です。

【2次関数】範囲が文字(両方) 下に凸 ex3-1

$ $[1]  $a+2<1$ すなわち $a<-1$ のとき

$ $ $x = a$ で 最大値 $a^2 -2a +2$

$ $ $x = a+2$ で 最小値 $a^2 +2a +2$

[2]  最大値が「左」、最小値が「頂点」(中<軸≦右)

  • ($x=a$)で最大値
  • 頂点($x=1$)で最小値

をとる場合、

「中<軸≦右」より「$a+1<1≦a+2$」です。

【2次関数】範囲が文字(両方) 下に凸 ex3-2

$ $[2]  $a+1<1≦a+2$ すなわち $-1≦a<0$ のとき

$ $ $x = a$ で 最大値 $a^2 -2a +2$

$ $ $x = 1$ で 最小値 $1$

(注)不等式「$a+1<1≦a+2$」の変形のしかた(解き方)は

$ \begin{cases}
a+1<1 \\
\\
1≦a+2 \\
\end{cases}$

∴ $ \begin{cases}
a<0 \\
\\
-1≦a \\
\end{cases}$

∴ $-1≦a<0$

[3]  最大値が「左・右」、最小値が「頂点」(軸=中)

  • ($x=a$)・($x=a+2$)で最大値
  • 頂点($x=1$)で最小値

をとる場合、「軸=中」より「$1=a+1$」です。

(左・右の高さが揃う)

【2次関数】範囲が文字(両方) 下に凸 ex3-3

$ $[3]  $a+1=1$ すなわち $a=0$ のとき

$ $ $x = 0, 2$ で 最大値 $2$

$ $ $x = 1$ で 最小値 $1$

[4]  最大値が「右」、最小値が「頂点」(左≦軸<中)

  • ($x=a+2$)で最大値
  • 頂点($x=1$)で最小値

をとる場合、「左≦軸<中」より「$a≦1<a+1$」です。

【2次関数】範囲が文字(両方) 下に凸 ex3-4

$ $[4]  $a≦1<a+1$ すなわち $0<a≦1$ のとき

$ $ $x = a+2$ で 最大値 $a^2 +2a +2$

$ $ $x = 1$ で 最小値 $1$

[5]  最大値が「右」、最小値が「左」(軸<左)

  • ($x=a+2$)で最大値
  • ($x=a$)で最小値

をとる場合、「軸<左」より「$1<a$」です。

【2次関数】範囲が文字(両方) 下に凸 ex3-5

$ $[5]  $1<a$ のとき

$ $ $x = a+2$ で 最大値 $a^2 +2a +2$

$ $ $x = a$ で 最小値 $a^2 -2a +2$

 

ここまでの解答をまとめると以下になります。

【解答】を見る

【解答】

$ y = x^2 -2x + 2 $

$ $ $ = (x -1)^2 + 1 $

∴ $ \begin{cases}
頂点 \enspace (1, 1) \\
\\
軸:x = 1  \\
\\
下に凸 \\
\end{cases}$ の放物線。

ここで、$a≦x≦a+2$ における中央の値は

$ $ $ \displaystyle{ { a + (a+2) \over 2 } = a+1 } $

 

よって、以下のように場合分けできる。

$ $[1]  $a+2<1$ すなわち $a<-1$ のとき

【2次関数】範囲が文字(両方) 下に凸 ex3-1

$ $ $x = a$ で 最大値 $a^2 -2a +2$

$ $ $x = a+2$ で 最小値 $a^2 +2a +2$

 

$ $[2]  $a+1<1≦a+2$ すなわち $-1≦a<0$ のとき

【2次関数】範囲が文字(両方) 下に凸 ex3-2

$ $ $x = a$ で 最大値 $a^2 -2a +2$

$ $ $x = 1$ で 最小値 $1$

 

$ $[3]  $a+1=1$ すなわち $a=0$ のとき

【2次関数】範囲が文字(両方) 下に凸 ex3-3

$ $ $x = 0, 2$ で 最大値 $2$

$ $ $x = 1$ で 最小値 $1$

 

$ $[4]  $a≦1<a+1$ すなわち $0<a≦1$ のとき

【2次関数】範囲が文字(両方) 下に凸 ex3-4

$ $ $x = a+2$ で 最大値 $a^2 +2a +2$

$ $ $x = 1$ で 最小値 $1$

 

$ $[5]  $1<a$ のとき

【2次関数】範囲が文字(両方) 下に凸 ex3-5

$ $ $x = a+2$ で 最大値 $a^2 +2a +2$

$ $ $x = a$ で 最小値 $a^2 -2a +2$

 

$ $[1]〜[5]より、

最大値は

$ \begin{cases}
a<0 \enspace のとき \enspace \enspace a^2 -2a + 2 \enspace (x = a) \\
\\
a=0 \enspace のとき \enspace \enspace 2 \enspace (x=0, 2) \\
\\
0<a \enspace のとき \enspace \enspace a^2 +2a + 2 \enspace (x = a+2) \\
\end{cases}$

最小値は

$ \begin{cases}
a<-1 \enspace のとき \enspace \enspace a^2 +2a + 2 \enspace (x = a+2) \\
\\
-1≦a≦1 \enspace のとき \enspace \enspace 1 \enspace (x=1) \\
\\
1<a \enspace のとき \enspace \enspace a^2 -2a +2 \enspace (x = a) \\
\end{cases}$ ・・・(注)

(注)このようにまとめて答えてもいいし、別にまとめなくてもOK。

以上、「下に凸 × 最大値最小値」のパターンでした。

【2次関数】範囲が文字のときの場合分け(上に凸)

次に「2次関数(下に凸)の最大値・最小値を求める問題」で

範囲が文字(定義域の両方)の場合分け」のパターンを見ていきましょう。

「上に凸」の場合と上下逆さまになるだけで、基本的な考え方は同じです。

【パターン4】上に凸 × 最大値

【例題4】$a≦x≦a+2$ における 2次関数 $ y = -x^2 +2x – 2 $ の最大値を求めよ。

 

「上に凸 × 最大値」のパターンは、以下の3つに場合分けできます。

$ $[1]  最大値が「」(右<軸)

【2次関数】場合分け(上に凸)最大値:右

$ $[2]  最大値が「頂点」(左≦軸≦右)

【2次関数】場合分け(上に凸)最大値:頂点

$ $[3]  最大値が「」(軸<左)

【2次関数】場合分け(上に凸)最大値:左

この場合分けをヒントにして解答を作ってみてください。

【解答】を見る

【解答】

$ y = -x^2 +2x – 2 $

$ $ $= -(x – 1)^2 -1 $

∴ $ \begin{cases}
頂点 \enspace (1, -1) \\
\\
軸:x = 1  \\
\\
上に凸 \\
\end{cases}$ の放物線。

 

よって、以下のように場合分けできる。

$ $[1]  $a+2<1$ すなわち $a<-1$ のとき

【2次関数】範囲が文字(両方) 上に凸 ex4-1

$ $ $x = a+2$ で 最大値 $-a^2 -2a -2$

 

$ $[2]  $a≦1≦a+2$ すなわち $-1≦a≦1$ のとき

【2次関数】範囲が文字(両方) 上に凸 ex4-2

$ $ $x = 1$ で 最大値 $-1$

 

$ $[3]  $1<a$ のとき

【2次関数】範囲が文字(両方) 上に凸 ex4-3

$ $ $x = a$ で 最大値 $-a^2 +2a -2$

 

$ $[1]〜[3]より、求める最大値は

$ \begin{cases}
a<-1 \enspace のとき \enspace \enspace -a^2 -2a -2 \enspace (x = a+2) \\
\\
-1≦a≦1 \enspace のとき \enspace \enspace -1 \enspace (x=1) \\
\\
1<a \enspace のとき \enspace \enspace -a^2 +2a -2 \enspace (x = a) \\
\end{cases}$

どうでしたか? 自力で解けましたか?

【パターン5】上に凸 × 最小値

【例題5】$a≦x≦a+2$ における 2次関数 $ y = -x^2 +2x – 2 $ の最小値を求めよ。

 

「上に凸 × 最小値」のパターンは、以下の3つに場合分けできます。

$ $[1]  最小値が「」(中<軸)

【2次関数】場合分け(上に凸)ex4 最小値:左

$ $[2]  最小値が「」(軸=中)

【2次関数】場合分け(上に凸)ex4 最小値:左右

$ $[3]  最小値が「」(軸<中)

【2次関数】場合分け(上に凸)ex4 最小値:右

この場合分けをヒントにして解答を作ってみてください。

【解答】を見る

【解答】

$ y = -x^2 +2x – 2 $

$ $ $= -(x – 1)^2 -1 $

∴ $ \begin{cases}
頂点 \enspace (1, -1) \\
\\
軸:x = 1  \\
\\
上に凸 \\
\end{cases}$ の放物線。

ここで、$a≦x≦a+2$ における中央の値は

$ $ $ \displaystyle{ { a + (a+2) \over 2 } = a+1 } $

 

よって、以下のように場合分けできる。

$ $[1]  $a+1<1$ すなわち $a<0$ のとき

【2次関数】範囲が文字(両方) 上に凸 ex5-1

$ $ $x = a$ で 最小値 $-a^2 +2a -2$

 

$ $[2]  $a+1=1$ すなわち $a=0$ のとき

【2次関数】範囲が文字(両方) 上に凸 ex5-2

$ $ $x = 0, 2$ で 最小値 $-2$

 

$ $[3]  $1<a+1$ すなわち $0<a$ のとき

【2次関数】範囲が文字(両方) 上に凸 ex5-3

$ $ $x = a+2$ で 最小値 $-a^2 -2a -2$

 

$ $[1]〜[3]より、求める最小値は

$ \begin{cases}
a<0 \enspace のとき \enspace \enspace -a^2 +2a -2 \enspace (x = a) \\
\\
a=0 \enspace のとき \enspace \enspace -2 \enspace (x=0, 2) \\
\\
0<a \enspace のとき \enspace \enspace -a^2 -2a -2 \enspace (x = a+2) \\
\end{cases}$

さあ、次はいよいよ最後です!

【パターン6】上に凸 × 最大値・最小値

上に凸の2次関数で「最大値・最小値を同時に答える」パターンの問題です。

【パターン4】と【パターン5】を同時並行で考えていきます。

【例題6】$a≦x≦a+2$ における 2次関数 $ y = -x^2 +2x – 2 $ の最大値最小値を求めよ。

 

Point:「」「頂点」「」のうち、どこで最大・最小か?

に注目すると、以下の5つに場合分けされます。

最大値 最小値
[1]
[2] 頂点
[3] 頂点 左・右
[4] 頂点
[5]

 

$ $[1]  最大値が「」、最小値が「」(右<軸)

【2次関数】場合分け5つ(上に凸)1

$ $[2]  最大値が「頂点」、最小値が「」(中<軸≦右)

【2次関数】場合分け5つ(上に凸)2

$ $[3]  最大値が「頂点」、最小値が「左・右」(軸=中)

【2次関数】場合分け5つ(上に凸)3

$ $[4]  最大値が「頂点」、最小値が「」(左≦軸<中)

【2次関数】場合分け5つ(上に凸)4

$ $[5]  最大値が「」、最小値が「」(軸<左)

【2次関数】場合分け5つ(上に凸)5

 

場合分けのしかたが整理できたところで、自力で解いてみましょう!

【解答】を見る

【解答】

$ y = -x^2 +2x – 2 $

$ $ $= -(x – 1)^2 -1 $

∴ $ \begin{cases}
頂点 \enspace (1, -1) \\
\\
軸:x = 1  \\
\\
上に凸 \\
\end{cases}$ の放物線。

ここで、$a≦x≦a+2$ における中央の値は

$ $ $ \displaystyle{ { a + (a+2) \over 2 } = a+1 } $

 

よって、以下のように場合分けできる。

$ $[1]  $a+2<1$ すなわち $a<-1$ のとき

【2次関数】範囲が文字(両方) 上に凸 ex6-1

$ $ $x = a+2$ で 最大値 $-a^2 -2a -2$

$ $ $x = a$ で 最小値 $-a^2 +2a -2$

 

$ $[2]  $a+1<1≦a+2$ すなわち $-1≦a<0$ のとき

【2次関数】範囲が文字(両方) 上に凸 ex6-2

$ $ $x = 1$ で 最大値 $-1$

$ $ $x = a$ で 最小値 $-a^2 +2a -2$

 

$ $[3]  $a+1=1$ すなわち $a=0$ のとき

【2次関数】範囲が文字(両方) 上に凸 ex6-3

$ $ $x = 1$ で 最大値 $-1$

$ $ $x = 0, 2$ で 最小値 $-2$

 

$ $[4]  $a≦1<a+1$ すなわち $0<a≦1$ のとき

【2次関数】範囲が文字(両方) 上に凸 ex6-4

$ $ $x = 1$ で 最大値 $-1$

$ $ $x = a+2$ で 最小値 $-a^2 -2a -2$

 

$ $[5]  $1<a$ のとき

【2次関数】範囲が文字(両方) 上に凸 ex6-5

$ $ $x = a$ で 最大値 $-a^2 +2a -2$

$ $ $x = a+2$ で 最小値 $-a^2 -2a -2$

 

$ $[1]〜[5]より、

最大値は

$ \begin{cases}
a<-1 \enspace のとき \enspace \enspace -a^2 -2a -2 \enspace (x = a+2) \\
\\
-1≦a≦1 \enspace のとき \enspace \enspace -1 \enspace (x=1) \\
\\
1<a \enspace のとき \enspace \enspace -a^2 +2a -2 \enspace (x = a) \\
\end{cases}$

最小値は

$ \begin{cases}
a<0 \enspace のとき \enspace \enspace -a^2 +2a -2 \enspace (x = a) \\
\\
a=0 \enspace のとき \enspace \enspace -2 \enspace (x=0, 2) \\
\\
0<a \enspace のとき \enspace \enspace -a^2 -2a -2 \enspace (x = a+2) \\
\end{cases}$

以上です。お疲れ様でした!

【まとめ】2次関数の範囲が文字(定義域の両方)の場合分け

最後にまとめです。

2次関数の最大値・最小値を求める問題」の場合分けのポイントは

「左」「頂点」「右」のうち、どこで最大最小か?

によって場合分けするということ。

 

さらに、その中でも

  • 下に凸 × 最大値
  • 上に凸 × 最小値

のパターンの問題で場合分けに必要なのが

「左」と「右」の 中央 の値

※ 求め方: $\displaystyle{ 中= { 左 + 右 \over 2 } } $

 

しっかり覚えておきましょう!

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