【２次関数】最大値と最小値の簡単な求め方【手抜きグラフで速答する裏ワザ】

２次関数の「最大値と最小値を求める問題」がよくわからない・・・

グラフを使ってどうやって求めればいいの？

２次関数の最大値と最小値の簡単な求め方を教えてほしい！

こういった要望に応えます。

２次関数の最大値・最小値を求める問題 で、バカ真面目に $xy$平面にグラフをかいて解いていませんか？

もしキミが頂点や $y$切片などもしっかり考慮したグラフで解いているとしたら、ハッキリ言って「時間の無駄」です。

そんなことをしなくても ２次関数の最大値・最小値 は簡単に求められるし、◎ がもらえるような答案を素早く作ることができます。

今回は「２次関数の最大値・最小値を 手抜きグラフで速答 する方法」をお教えします。

【２次関数】最大値と最小値の求め方【手抜き速答法】

２次関数の最大値・最小値を 手抜きグラフで速答 する方法 は以下の通り。

ポイント は、

という2点です。

「〜のグラフをかけ」という問題でなければ、手抜きグラフでもちゃんと ◎（満点）がもらえます。

例題を通して、具体的な手順を解説していきます。

【２次関数】最大値と最小値の求め方（下に凸の場合）

はじめに、２次関数の最大値・最小値の求め方（下に凸の場合） を見ていきましょう！

まずは 平方完成 して

「頂点」「軸」「上・下に凸」

を求めておきましょう。

ここから 簡単な手抜きグラフ をかいて最大値・最小値を求めていきます。

① 下に凸 の放物線を（薄めに）かく

② その下に横軸（$x$ 軸）をかく

③ 「$x$の範囲の端っこ」「放物線の軸」の値 をとる

※ 注意点：軸からの 左右のバランス を考えること！

$ $　この問題なら、左〜軸（0〜1）はせまく、軸〜右（1〜3）は広くなるように書く

④ 放物線にプロットする

⑤ 範囲の部分を濃く塗る

⑥ 高さが 最大・最小 の点を読み取る

こんな感じです。

どうでしたか？ 真面目にグラフをかくときと比べて、はやく解けましたよね？

この問題が答えてほしいのは「最大値と最小値」だけなので、必ずしも正確なグラフを書く必要はありません。

頂点や $y$切片が $xy$平面上のどの位置にあるのか？なんて、ハッキリ言って「どうでもいい」のです。

正しいプロセスで「最大値と最小値」さえ求められれば ◎ がもらえるわけですね。

【２次関数】最大値と最小値の求め方（上に凸の場合）

次に、２次関数の最大値・最小値の求め方（上に凸の場合） を見ていきましょう！

やはり、まず平方完成して

「頂点」「軸」「上・下に凸」

を求めておきましょう。

ここから 簡単な手抜きグラフ をかいて最大値・最小値を求めていきます。

さっきの「下に凸」の場合と、上下逆さまになるだけですね。

① 上に凸 の放物線を（薄めに）かく

② その上に横軸（$x$ 軸）をかく

③ 「$x$の範囲の端っこ」「放物線の軸」の値 をとる

※ 注意点：軸からの 左右のバランス を考えること！

$ $　この問題なら、左〜軸（1〜2）はせまく、軸〜右（2〜5）は広くなるように書く

④ 放物線にプロットする

⑤ 範囲の部分を濃く塗る

⑥ 高さが 最大・最小 の点を読み取る

こんな感じで、最大値と最小値が求められました。

２次関数の最大値と最小値を求めよう！【練習問題】

上で説明したやり方で、２次関数の最大値と最小値を求める問題 を解いてみましょう！

【解答】を見る

【解答】

(1) $ y = 2x^2 −8 x + 5 $

$ $　　$ = 2(x^2 −4 x) + 5 $

$ $　　$ = 2(x −2)^2 −4 \cdot 2 + 5 $

$ $　　$ = 2(x −2)^2 −3 $

∴ $ \begin{cases}
頂点 \displaystyle { \left( 2 , −3 \right) } \\
\\
軸： \displaystyle { x = 2 }  \\
\\
下に凸
\end{cases}$　の放物線。

$ $　$ 0≦x≦3 $ より、$y$ は

$ $　$ \begin{cases}
x = 0 \enspace で \color{red}{最大値 \enspace 5} \\
\\
x = 2 \enspace で \color{blue}{最小値 \enspace−3} \\
\end{cases}$

$ $　をとる。

 

(2) $ y = −x^2 −2 x + 2 $

$ $　　$ = −(x^2 +2 x) + 2 $

$ $　　$ = −(x +1)^2 −1 \cdot (−1) + 2 $

$ $　　$ = −(x +1)^2 + 3 $

∴ $ \begin{cases}
頂点 \displaystyle { \left( −1 , 3 \right) } \\
\\
軸： \displaystyle { x = −1 }  \\
\\
上に凸
\end{cases}$　の放物線。

$ $　$ −3≦x≦−2 $ より、$y$ は

$ $　$ \begin{cases}
x = −2 \enspace で \color{red}{最大値 \enspace 2} \\
\\
x = −3 \enspace で \color{blue}{最小値 \enspace−1} \\
\end{cases}$

$ $　をとる。

 

(3) $ y = x^2 + 4 x − 1 $

$ $　　$ = (x + 2)^2 −4 − 1 $

$ $　　$ = (x + 2)^2 −5 $

∴ $ \begin{cases}
頂点 \displaystyle { \left( −2 , −5 \right) } \\
\\
軸： \displaystyle { x = −2 }  \\
\\
下に凸
\end{cases}$　の放物線。

$ $　$ 0≦x≦2 $ より、$y$ は

$ $　$ \begin{cases}
x = 2 \enspace で \color{red}{最大値 \enspace 11} \\
\\
x = 0 \enspace で \color{blue}{最小値 \enspace−1} \\
\end{cases}$

$ $　をとる。

 

(4) $ \displaystyle { y = −{1 \over 2}x^2 + 2 x + {3 \over 2} } $

$ $　　$\displaystyle { = −{1 \over 2}(x^2 −4 x) + {3 \over 2} } $

$ $　　$\displaystyle { = −{1 \over 2}(x −2)^2 −4 \cdot \left( −{1 \over 2} \right) + {3 \over 2} } $

$ $　　$\displaystyle { = −{1 \over 2}(x −2)^2 + {7 \over 2} } $

∴ $ \begin{cases}
頂点 \displaystyle { \left( 2 , {7 \over 2} \right) } \\
\\
軸： \displaystyle { x = 2 }  \\
\\
上に凸
\end{cases}$　の放物線。

$ $　$ −1 ≦x≦3 $ より、$y$ は

$ $　$ \begin{cases}
x = 2 \enspace で \color{red}{最大値 \enspace \displaystyle {7 \over 2} } \\
\\
x = −1 \enspace で \color{blue}{最小値 \enspace −1 } \\
\end{cases}$

$ $　をとる。

 

(5) $ y = −x^2 + 6 x −7 $　$(2＜x＜5)$

$ $　　$ = −(x^2 −6 x) −7 $

$ $　　$ = −(x −3)^2 −9 \cdot (−1) −7 $

$ $　　$ = −(x −3)^2 + 2 $

∴ $ \begin{cases}
頂点 \displaystyle { \left( 3 , 2 \right) } \\
\\
軸： \displaystyle { x = 3 }  \\
\\
上に凸
\end{cases}$　の放物線。

$ $　$ 2＜x＜5 $ より、$y$ は

$ $　$ \begin{cases}
x = 3 \enspace で \color{red}{最大値 \enspace 2} \\
\\
\color{blue}{最小値 \enspace なし } \\
\end{cases}$　　　・・・（注）

（注）$ 2＜x＜5 $ なので、端っこの点はグラフ上に○で書いています（端っこを含まない）。ゆえに、最小値をとるような $x$の値も存在しません。

【まとめ】２次関数の最大値・最小値の求め方

最後に「２次関数の最大値・最小値を 手抜きグラフで速答 する方法」をまとめておきます。

たくさん問題を解いて、２次関数の最大値・最小値の求め方に慣れていきましょう！

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