【中3数学】２次方程式の利用（文章問題）をわかりやすく解説！【テスト・入試によく出る問題つき】

２次方程式の利用（文章問題）をどうやって解いたらいいのか分からない・・・

自然数とか図形の文章題がニガテでうまく解けないよ〜！

テスト・高校入試によくでるパターンの問題をやっておきたい！

こんなお悩みを解決します。

このページを読めば、「２次方程式の利用（文章問題）」で テストや高校入試でよくでるパターンの問題 をマスターできます。

自然数や図形がからんでくる文章題を、しっかり解けるように練習しておきましょう！

【中3数学】２次方程式の利用（文章問題）のポイント

「２次方程式の利用（文章問題）」の解き方の手順は

この4ステップでやるとスムーズに解けます。

具体的なやり方は、実際の問題で解説していきます！

【中3数学】２次方程式の利用（文章問題）の解き方【自然数パターン】

まずは「自然数」について２次方程式を立てて解くパターンの例題を解いてみましょう。

例えば、こんな問題。

①求めたい数を文字でおく

求めたい数は「大小2つの自然数」です。

小さい方の数を「$\color{blue}{x} $」とおくと、大きい方の数はそれより $9$ 大きいので「$ \color{red}{x+9} $」とおけます。

②文章を読んで方程式を立てる

小「$ \color{blue}{x} $」、大「$ \color{red}{x+9} $」の2つの数を問題文に当てはめていきましょう。

これを方程式（等式）になおすと

$ $　$ \color{blue}{x}^2 -3 = \color{red}{x+9} $

になります。

③方程式を解く

②で立てた方程式を解きます。

$ $　$ x^2 -3 = x+9 $

$ $　$ x^2 -x -12 = 0 $

$ $　$ (x – 4)(x+3) = 0$

$ $　$ x = -3, \enspace 4$

④答えを書く

そんなの当たり前じゃないか！と思ったかもしれませんが、ここで大切なのは

「問題に合った答え」を書くということです。

今回は「大小2つの自然数」を答える必要があります。

③で求めた解 $ x = -3, 4$ のうち、自然数なのは $x=4$ だけ。

小さい方の数（$x$）が　$4$ なので

大きい方の数（$x+9$）は　$4+9 = 13$

よって

このような手順で解くと、スムーズに答えにたどり着きます。

【中3数学】２次方程式の利用（文章問題）の解き方【図形パターン】

もう1つ例題をやっておきましょう。

今度は「図形」について２次方程式を立てて解くパターンです。

①求めたい数を文字でおく

縦、横をそれぞれ $x  (m)$ のばしたとします。

②文章を読んで方程式を立てる

２次方程式に限らず、文章題では「図をかく」ということが一番のポイントです。

この問題では、縦、横をそれぞれ $x \enspace (m)$ のばすと、

縦 $6+x \enspace (m)$、横 $8+x \enspace (m)$ になります（下図）。

問題文の中に

とあるので、合計の面積は $48 + 72 = 120 \enspace (m^2)$ となります。

長さをのばした後の花だんの面積について、方程式を立てると

$ $　$ (6+x)(8+x) = 120$

③方程式を解く

②の方程式を解くと

$ $　$ 48 + 14x + x^2 = 120$

$ $　$ x^2 + 14x -72 = 0 $

$ $　$ (x + 18)(x – 4) = 0 $

$ $　$ x= -18, \enspace 4 $

④答えを書く

$x$ は「のばした長さ」なので正の数になりますね。

よって、２次方程式の解 $ x= -18, \enspace 4 $ のうち　$x = 4$ だけOK。

「何$m$ のばせばよいか？」を答えるので、

【中3数学】２次方程式の利用（文章問題）【練習問題】

ここまで学んだことを活かして「２次方程式の利用」の練習問題を解いてみましょう！

学校のテスト・高校入試で出やすいパターンの問題 を用意しました。

さっきの例題のような「自然数」「図形」パターン以外の問題も入れてあります。

問題1（自然数）

【解答・解説】を見る

【解答】$a = 6$

【解説】

問題文に沿って、方程式を作ります。

ある正の整数 $a$ を2乗（$^2$）してから3倍（$×3$）しなければならないのに、誤って3倍（$×3$）してから2乗（$^2$）したため、答えが $216$ 大きくなってしまった。

• 正しい計算：$ a^2 × 3 = \color{blue}{3a^2} $
• 誤った計算：$ (a × 3 )^2 = (3a)^2 = \color{red}{9a^2} $

問題文より

「（誤った計算）$=$（正しい計算）$+ \enspace 216$ 」なので

$ $　$ \color{red}{9a^2} = \color{blue}{3a^2} + 216 $

$ $　$ 6a^2 = 216 $

$ $　$ a^2 = 36 $

$ $　$ a = \pm 6 $

$a$ は正の整数なので　$a = 6$　が正しいですね。

問題2（自然数）

【解答・解説】を見る

【解答】$10, \enspace 11, \enspace 12$

【解説】

連続する3つの自然数とは、例えば $ 3, 4, 5 $ のような数ですね。

仮に真ん中の $4$ を「$x$」とおくと、

$ $　1つ小さい $\color{blue}{3}$ は「$\color{blue}{x-1}$」

$ $　1つ大きい $\color{red}{5}$ は「$\color{red}{x+1}$」

とおけます。

 

なので、連続する3つの自然数を $ \color{blue}{x-1} , \enspace x, \enspace  \color{red}{x+1} $ とおくと

それぞれの平方（2乗）の和が $365$ なので、

$ $　$(\color{blue}{x-1})^2 + x^2 +(\color{red}{x+1})^2 = 365 $

$ $　$ x^2 -2x +1 + x^2 + x^2 +2x + 1 = 365 $

$ $　$ 3x^2 = 363 $

$ $　$ x^2 = 121 $

$ $　$ x = \pm 11 $

ここで、$x$ は自然数なので

$ $　$ x = 11 $ （真ん中の数）

問題3（図形）

【解答・解説】を見る

【解答】$9cm$

【解説】

はじめの厚紙の縦の長さを「$x \enspace (cm)$」とおくと、横の長さは「$x+10 \enspace (cm)$」になります。

そこから分かる長さは以下の通り。

これを組み立てて、直方体を作ると

直方体の容積について 方程式を立てると

$ $　$ 2(x -4)(x+6) = 150 $

$ $　$ (x -4)(x+6) = 75 $

$ $　$ x^2 +2x -24 = 75 $

$ $　$ x^2 +2x -99 = 0 $

$ $　$ (x + 11)(x-9) = 0 $

$ $　$ x = -11, \enspace 9 $

厚紙の縦の長さ $x$ は正の数なので　$x=9$

問題4（損益算）

【解答・解説】を見る

【解答】(1) $ 500 + 5 x $　(2) $ x = 30 $

【解説】

(1) 損益算 の問題は 線分図 をかいて「比」で考えると分かりやすいです。

問題文の

Aの定価は、仕入れた値段に $x$% の利益を見込んでつけている。

から「比」を考えると

「定価 $=$ 仕入れ値 $+$ 利益」なので

$ $　仕入れ値：利益：定価 $\displaystyle{ = 1：{x \over 100}：\color{red} {  \left( 1 + {x \over 100} \right) } } $

よって、定価は

$ $　$ \displaystyle{ 500 \left( 1 + { x \over 100 } \right) } $

$ $　$ = 500 + 5 x $

と表せます。

※ ここの計算は、仕入れ値：定価 の「比例式」を解いてもOK

$ $　$\displaystyle{ 500 ： 定価 = 1：\left( 1 + {x \over 100} \right) }  $　より

$ $　 $\displaystyle{ 定価 = 500 \left( 1 + {x \over 100} \right) }  $

 

(2) 問題文の

ある日のセールで、Aを定価の $x$% 引きで売ることにした。

から「比」を考えると

「売り値 $=$ 定価 $−$ 値引き」なので

$ $　定価：値引き：売り値 $ \displaystyle{ = 1：{x \over 100} ：\color{red} { \left( 1 − {x \over 100} \right) } } $

よって、売り値 について方程式を立てると

$ $　$ \color{red} { 売り値 } = 455 $

$ $　$ 定価 × \displaystyle{ \left( 1 − {x \over 100} \right)  = 455 } $

$ $　$ \displaystyle{ (500 + 5 x) \left( 1 − {x \over 100} \right) = 455 } $

両辺に $100$ をかけて

$ $　$ \displaystyle{ (500 + 5 x) \left( 1 − {x \over 100} \right) ×100 = 45500 } $

$ $　$  (500 + 5 x) (100 − x) = 45500  $

$ $　$  5 (100 + x) (100 − x) = 45500  $

両辺を $5$ で割って

$ $　$ (100 + x) (100 − x) = 9100  $

$ $　$ 10000 − x^2 = 9100  $

$ $　$ x^2 = 900  $

$ $　$ x = \pm 30  $

$x$ は正の数より　$x = 30$

【まとめ】２次方程式の利用（文章問題）の解き方

最後に「２次方程式の利用（文章問題）」の解き方のおさらいです。

図形や損益算などの文章問題は「図をかく」ということを覚えておきましょう！

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