２次方程式の解を利用した応用問題がよくわからない・・・
２次方程式の解を使ってどう問題を解いたらいいの？
こんなお悩みに答えます。
２次方程式の解 を利用した応用問題、例えば
こんな問題の解き方を分かりやすく解説します。
このページを最後まで読めば、「２次方程式の解」の応用問題もスラスラ解けるようになります！
学校のテスト・高校入試に出やすい問題ばかりを載せているので、テスト対策としても利用できます。
【中3数学】「２次方程式の解」のポイント
まずはじめに大切なポイントを言います。
問題文に
「$\color{red}{x}$の２次方程式 〜〜 の解が○ であるとき・・・」
と書いてあったら、とりあえず
$ $ $\color{red}{x=}$○ を代入！
と覚えておきましょう。
【中3数学】「２次方程式の解」の解き方【例題】
例えば、こんな問題
$\color{red}{x}$の２次方程式 $x^2 +ax + 16 = 0$ の解の1つが $\color{red}{2}$ であるとき、$a$の値を求めなさい。
また、もう1つの解を求めなさい。
を見たら、反射的に「$ $$\color{red}{x=2}$ を代入だ！」と思えばOKということですね。
解き方1
実際にやってみましょう。
$\color{red}{x}^2 +a\color{red}{x} + 16 = 0$ に、$\color{red}{x}=2$ を代入すると
$\color{red}{2}^2 + \color{red}{2}a + 16 = 0$
$ 4 + 2a + 16 = 0$
$ 2a = −20$
$ a = −10$
$ a = −10$ を、$x^2 +ax + 16 = 0$ に代入すると
$ $ $x^2 −10x + 16 = 0$
これを解くと
$ $ $ (x−2) (x−8) = 0$
$ $ $x = 2, 8$
よって
こんな感じです。
解き方2
別の解き方もあります。
$x$の２次方程式 $x^2 +ax + 16 = 0$ の
解の1つが「$x=2$」なので、
もう1つの解を「$x=b$」とおくと
「$(x−2)(x−b) =0$」の形になるはずですね。
$(x−2)(x−b) =0$ を展開すると
$ $ $x^2 +(\color{red}{−2−b})x + \color{blue}{2b} = 0$
これと $x^2 +\color{red}{a}x + \color{blue}{16} = 0$ を比較すると
$ \begin{cases}
−2−b = a \\
\\
2b = 16 \\
\end{cases}$
これを解くと
$ $ $a = −10, b = 8$
よって
このようにも解けます。
問題によってはこの解き方をしないといけないこともある ので、しっかり覚えておきましょう。
【中3数学】「２次方程式の解」の問題を練習しよう！
さっそく「２次方程式の解」の練習問題を解いてみましょう！
最初は解けなくても大丈夫。少しづつ慣れていけばOK！
問題1
$x$の２次方程式 $x^2 +ax −6 = 0$ の解の1つが $3$ であるとき、$a$の値を求めなさい。
また、もう1つの解を求めなさい。
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【解答】$a=−1$ , もう1つの解 $x=−2$
【解説】
$\color{red}{x}^2 +a\color{red}{x} −6 = 0$ に、$\color{red}{x}=3$ を代入すると
$\color{red}{3}^2 + \color{red}{3}a −6 = 0$
$ 9 + 3a −6 = 0$
$ 3a = −3$
$ a = −1$
$ a = −1$ を、$x^2 +ax −6 = 0$ に代入すると
$ $ $x^2 −x −6 = 0$
これを解くと
$ $ $ (x+2) (x−3) = 0$
$ $ $x = −2, \enspace 3$
問題2
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【解答】$ a = −3, \enspace b = −2$
【解説】
$\color{red}{x}^2 −(a−b)\color{red}{x} + b = 0 $ に
$ $[1] $\color{red}{x}=−2$ を代入すると
$ $ $\color{red}{ (−2) }^2 −(a−b)× \color{red}{( −2) } + b = 0 $
$ $ $ 4 +2 (a−b) + b = 0 $
$ $ $ 4 + 2a−2b + b = 0 $
$ $ $ 2a −b = −4 $ ・・・①
[2] $\color{red}{x}=1 $ を代入すると$ $ $\color{red}{1}^2 −(a−b)× \color{red}{1} + b = 0 $
$ $ $ 1 − (a−b) + b = 0 $
$ $ $ 1 − a +b +b = 0 $
$ $ $ a −2b = 1 $ ・・・②
①、②の連立方程式を解くと
$ $ $ a = −3, \enspace b = −2$
問題3
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【解答】$a = −8, \enspace b = 16$【解説】さて、この問題は $x^2 +ax + b = 0$ に $x=4$ を代入しても、手詰まりで困ってしまいます。そこで、最初の例題で紹介した「解き方2」のやり方を試します。$x$の２次方程式 $x^2 +ax + b = 0$ の解が「$x=4$」の1つだけということは「$(x -4)^2=0$」の形になるはず。展開すると$ $ $x^2 \color{red}{-8}x +\color{blue}{16} =0 $これと $x^2 + \color{red}{a}x + \color{blue}{b} = 0$ を比較すると
$ \begin{cases}
−8 = a \\
\\
16 = b \\
\end{cases}$と分かります。
問題4
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【解答】$x = −7$【解説】
$\color{red}{x}^2 + 4 \color{red}{x} −a^2 − 12 = 0 $ に、$\color{red}{x}=a $ を代入すると
$ $ $\color{red}{a}^2 + 4 \color{red}{a} −a^2 − 12 = 0 $
$ $ $ 4a = 12 $
$ $ $ a = 3 $
$ a = 3 $ を、$x^2 + 4 x −a^2 − 12 = 0$ に代入すると
$ $ $x^2 + 4 x −3^2 − 12 = 0$
$ $ $x^2 + 4 x −21 = 0$
$ $ $ (x +7) (x−3)= 0$
$ $ $ x=−7, \enspace 3$
よって
$ $ $x = a( = 3)$ でない方の解は $x = −7$
問題5
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【解答】$a = -4, \enspace 0$
【解説】
$\color{red}{x}^2 +2a\color{red}{x} + a^2 −4 = 0$ に、$\color{red}{x}=2$ を代入すると
$\color{red}{2}^2 +2a × \color{red}{2} + a^2 −4 = 0$
$4 + 4a + a^2 −4 = 0$
$a^2 + 4a = 0$
$ a(a + 4) = 0$
$a = -4, \enspace 0$
問題6
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【解答】$n = 7, \enspace 8, \enspace 13$
【解説】
この問題も「解き方2」のやり方で解いてみましょう。
$ $ $x^2 −nx \color{red}{+ 12} = 0$
の $\color{red}{+ 12}$ の部分に注目します。
仮に因数分解しようとして、
「2つの解が、どちらも正の整数」ということも考慮すると
$ $ $(x-1)(x-12)=0$ ・・・① → 解 $x=1, 12$
$ $ $(x-2)(x-6)=0$ ・・・② → 解 $x=2, 6$
$ $ $(x-3)(x-4)=0$ ・・・③ → 解 $x=3, 4$
の3通りが考えられます。
それぞれ展開すると
①より $x^2 − \color{blue}{13}x + 12 = 0$
②より $x^2 − \color{blue}{8}x + 12 = 0$
③より $x^2 − \color{blue}{7}x + 12 = 0$
これらと $x^2 −\color{blue}{n}x + 12 = 0$ を比較すると
$ $ $n = 7, \enspace 8, \enspace 13$
【まとめ】「２次方程式の解」の応用問題の解き方
「２次方程式の解」を利用する問題は
まずは「解き方1」でやってみる
$ $ ↓
それでも解けなければ「解き方2」を試す
という流れでOKです！
２次方程式の解き方 3つのパターン
２次方程式の解き方「3つのパターン」 についてはこちら。
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