【中学数学】動く点Pの問題を簡単&スピーディーに解く裏ワザ【悪用厳禁】

一次関数の「動く点P」の問題がはっきり言って苦手だ

どうやって解いたらいいのか分からない、時間がすごくかかってしまう

グラフの描き方もイマイチ自信がない・・・

こんな悩みをお持ちの人でも、今回の記事を読めばスッキリ解消します。

ここで紹介するのは、教科書に書いてあるような面倒臭いやり方ではなく、目から鱗(うろこ)の「裏ワザ」と言えるものです。

この方法をマスターすれば、ライバルたちが「動く点Pの問題」を時間をかけて解いているのを横目に見ながら、自分だけ素早く・ミスなく解いてしまうことができます。

なぜ「動く点P」は難しく感じるの?

なぜ「動く点P」は難しく感じるの?

みんなを悩ませる、動く点Pの問題。

そもそも、なぜ「動く点Pは難しい」と感じてしまうのか?というと「三角形の面積 y を、いきなり x を使って表すから」です。

「え、ちょっと待って。教科書にはそうやって書いてあるよ!」という声が聞こえてきそうですが、そりゃあ学校の教科書には「真面目なやり方」しか書きませんよ。

ですが、教科書のやり方はハッキリ言って分かりづらく、そのせいで「動く点P」に苦手意識を持ってしまう学生が量産されているのも事実です。

そこで今回紹介するのは、教科書には書かれていないような、簡単・スピーディーに解くための完全なる「裏ワザ」です。

「動く点P」の解き方【点の座標→グラフ→式】

動く点Pの問題のポイントは、以下の通り。

  1. Pの動き方が変わる点の座標を求める
  2. ①の座標をもとにグラフを描く
  3. ②のグラフをもとにを求める

この手順で解きましょう。

それでは、実際に問題を使って説明していきます。

動く点Pの問題を解いてみよう

【例題】

長方形ABCD

上図のような長方形ABCDの辺上を、1秒に1cmの速さで、頂点Aを出発してから、B、Cを通って、Dまで動く点Pがある。

点Pが頂点Aを出発してから x秒後の三角形APDの面積を ycm² とする。

(1) 次のそれぞれの場合について、y を x を使った式で表せ。

①点Pが辺ABにあるとき

②点Pが辺BCにあるとき

③点Pが辺CDにあるとき

(2) x, y の関係を表すグラフをかけ。

 

まず、問題文の内容を整理すると、

  • 点Pは秒速1cmで進む
  • A → B → C → D の順に動く
  • x秒後の三角形APDの面積が ycm²

となります。

 

教科書だと、ふつうに (1) から解いていきますが、もちろん僕たちはそんなことはしません。

この問題では、(2) → (1) の順番で解いていくのが賢いやり方です。

【ステップ1】点の座標を求める

まずは、【ステップ1】Pの動き方が変わる点の座標を求める です。

Pの動き方が変わる点」は、この問題でいうと「頂点A、B、C、D」の4つです。

Pが頂点A にあるとき

Pが頂点Aにある

Pが頂点Aにあるとき、

・スタート地点なので、0秒後 → x = 0

・三角形APDは潰れてしまっているので、面積は 0cm² → y = 0

よって、

A(0, 0)

Pが頂点B にあるとき

Pが頂点Bにある

Pが頂点Bにいるとき、

・3cm動いたので、3秒後 → x = 3

・三角形APDの面積は、4 × 3 ÷ 2 = 6 (cm²) → y = 6

よって、

B(3, 6)

Pが頂点C にあるとき

Pが頂点Cにある

Pが頂点Cにあるとき、

・3 + 4 = 7 (cm) 動いたので、7秒後 → x = 7

・三角形APDの面積は、4 × 3 ÷ 2 = 6 (cm²) → y = 6

よって、

C(7, 6)

Pが頂点D にあるとき

Pが頂点Dにある

Pが頂点Dにあるとき、

・3 + 4 + 3 = 10 (cm) 動いたので、10秒後。→ x = 10

・三角形APDは潰れてしまっているので、面積は 0cm²。 → y = 0

よって、

D(10, 0)

まとめ

点A、B、C、Dの座標をまとめると、

A(0, 0)

B(3, 6)

C(7, 6)

D(10, 0)

となります。

【ステップ2】グラフを描く

【ステップ1】の結果をもとにグラフを描きます。

まずは、点A、B、C、Dの座標をとります。

動く点Pのグラフ1

 

次に、A → B → C → D の順に直線を結びます。

動く点Pのグラフ2

これでグラフは完成です。

 

以上より、問題(2) の解答は以下のようになります。

(2) の解答
動く点Pのグラフ3
※ 解答欄には、A、B、C、Dの記号は書かないこと!

【ステップ3】式を求める

【ステップ2】で描いたグラフをもとに、直線の式を求めていきます。

直線の傾きについて復習したい人は、こちらを読んでください。

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問題(1)① 点Pが辺ABにあるとき

直線AB

点Pが辺ABにあるのは「0〜3秒後」。定義域で表すと「0 ≦ x ≦ 3」です。

このときのグラフは 直線AB です。

 

直線ABは、2点 A(0, 0)、B(3, 6)を通るので、

傾きは、6 / 3 = 2 (右に3、上に6進む)。

よって、y = 2x (0 ≦ x ≦ 3のとき)

(1)① の解答

y = 2x

問題(1)② 点Pが辺BCにあるとき

直線BC

点Pが辺BCにあるのは「3〜7秒後」。定義域で表すと「3 ≦ x ≦ 7」です。

このときのグラフは 直線BC です。

 

直線BCは、2点 B(3, 6)、C(7, 6)を通るので、(yの値は常に6)

y = 6 (3 ≦ x ≦ 7のとき)

(1)② の解答

y = 6

問題(1)③ 点Pが辺CDにあるとき

直線CD

点Pが辺CDにあるのは「7〜10秒後」。定義域で表すと「7 ≦ x ≦ 10」です。

このときのグラフは 直線CD です。

 

直線CDは、2点 C(7, 6)、D(10, 0)を通るので、

傾きは、-6 / 3 = -2 (右に3、下に6進む)。

y = -2x + b とおいて、D(10, 0) を代入すると、

0 = -20 + b

b = 20

よって、y = -2x + 20 (7 ≦ x ≦ 10のとき)

(1)③ の解答

y = -2x + 20

これで、動く点Pの問題がすべて解けました。

【まとめ】「動く点P」の解き方

動く点Pの問題におけるポイントを、改めてまとめておきます。

  1. Pの動き方が変わる点の座標を求める
  2. ①の座標をもとにグラフを描く
  3. ②のグラフをもとにを求める

この手順を守ることで、素早く・簡単に問題が解けるようになるはずです。

教科書や問題集を使って、慣れるまでたくさん問題を解いてみましょう。

【発展】面積が○cm² になるのは 何秒後か?

もしこの問題の続きに、

(3) 三角形APDの面積が 4cm² になるのは、点Pが頂点Aを出発してから何秒後か。

とある場合、どう解いたらよいでしょうか?

問題(1)の①〜③ で場合分けをしてみましょう。

問題(1)① 点Pが辺ABにあるとき

グラフの式は、

y = 2x (0 ≦ x ≦ 3のとき)

なので、y = 4 を代入すると、

4 = 2x

x = 2

よって、

2秒後

問題(1)② 点Pが辺BCにあるとき

グラフの式は、

y = 6 (3 ≦ x ≦ 7のとき)

なので、y = 4 となるような xの値 は存在しない。

問題(1)③ 点Pが辺CDにあるとき

グラフの式は、

y = -2x + 20 (7 ≦ x ≦ 10のとき)

なので、y = 4 を代入すると、

4 = -2x + 20

2x = 16

x = 8

よって、

8秒後

まとめ

以上をまとめると、

(3) の解答

2秒後、8秒後

となります。