【中学数学】動く点Pの問題を簡単&スピーディーに解く裏ワザ【悪用厳禁】

一次関数の「動く点P」の問題がはっきり言って苦手だ

どうやって解いたらいいのか分からない、時間がすごくかかってしまう

グラフの描き方もイマイチ自信がない・・・

こんな悩みをお持ちの人でも、今回の記事を読めばスッキリ解消します。

ここで紹介するのは、教科書に書いてあるような面倒臭いやり方ではなく、目から鱗（うろこ）の「裏ワザ」と言えるものです。

この方法をマスターすれば、ライバルたちが「動く点Pの問題」を時間をかけて解いているのを横目に見ながら、自分だけ素早く・ミスなく解いてしまうことができます。

なお、教科書に載っているような「王道」の解き方をわかりやすく解説した記事はこちら。

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なぜ「動く点P」は難しく感じるの？

みんなを悩ませる、動く点Pの問題。

そもそも、なぜ「動く点Pは難しい」と感じてしまうのか？というと「三角形の面積 y を、いきなり x を使って表すから」です。

「え、ちょっと待って。教科書にはそうやって書いてあるよ！」という声が聞こえてきそうですが、そりゃあ学校の教科書には「真面目なやり方」しか書きませんよ。

ですが、教科書のやり方はハッキリ言って分かりづらく、そのせいで「動く点P」に苦手意識を持ってしまう学生が量産されているのも事実です。

そこで今回紹介するのは、教科書には書かれていないような、簡単・スピーディーに解くための完全なる「裏ワザ」です。

「動く点P」の解き方【点の座標→グラフ→式】

動く点Pの問題のポイントは、以下の通り。

この手順で解きましょう。

それでは、実際に問題を使って説明していきます。

動く点Pの問題を解いてみよう【裏ワザ】

まず、問題文の内容を整理すると、

となります。

教科書だと、ふつうに (1) から解いていきますが、もちろん今回はそんなことはしません。

この問題では、(2) → (1) の順番で解いていくのが賢いやり方です。

【ステップ1】点の座標を求める

まずは、【ステップ1】Pの動き方が変わる点の座標を求める です。

「Pの動き方が変わる点」は、この問題でいうと「頂点A、B、C、D」の4つです。

Pが頂点A にあるとき

Pが頂点Aにあるとき、

・スタート地点なので、$0$秒後　→　$x = 0$

・三角形APDは潰れてしまっているので、面積は $0cm^2$　→　$y = 0$

よって、

Pが頂点B にあるとき

Pが頂点Bにいるとき、

・$3cm$動いたので、$3$秒後　→　$x = 3$

・三角形APDの面積は、$4 × 3 ÷ 2 = 6 (cm^2)$　→　$y = 6$

よって、

Pが頂点C にあるとき

Pが頂点Cにあるとき、

・$3 + 4 = 7 (cm)$ 動いたので、$7$秒後　→　$x = 7$

・三角形APDの面積は、$4 × 3 ÷ 2 = 6 (cm^2)$　→　$y = 6$

よって、

Pが頂点D にあるとき

Pが頂点Dにあるとき、

・$3 + 4 + 3 = 10 (cm)$ 動いたので、$10$秒後。→　$x = 10$

・三角形APDは潰れてしまっているので、面積は $0cm^2$　→　$y = 0$

よって、

まとめ

点A、B、C、Dの座標をまとめると、

となります。

【ステップ2】グラフを描く

【ステップ1】の結果をもとにグラフを描きます。

まずは、点A、B、C、Dの座標をとります。

次に、A → B → C → D の順に直線を結びます。

これでグラフは完成です。

以上より、問題(2) の解答は以下のようになります。

(2) の解答

【ステップ3】式を求める

【ステップ2】で描いたグラフをもとに、直線の式を求めていきます。

直線の傾きについて復習したい人は、こちらを読んでください。

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問題(1)① 点Pが辺AB上にあるとき

点Pが辺ABにあるのは「0〜3秒後」。定義域で表すと「$0 ≦ x ≦ 3$」です。

このときのグラフは 直線AB です。

直線ABは、2点 A(0, 0)、B(3, 6)を通るので、

傾きは、$${6 \over 3} = 2$$ （右に3、上に6進む）

よって、$y = 2x$　($0 ≦ x ≦ 3$のとき)

問題(1)② 点Pが辺BC上にあるとき

点Pが辺BCにあるのは「3〜7秒後」。定義域で表すと「$3 ≦ x ≦ 7$」です。

このときのグラフは 直線BC です。

直線BCは、2点 B(3, 6)、C(7, 6）を通るので、（$y$の値は常に6）

$y = 6$　($3 ≦ x ≦ 7$のとき)

問題(1)③ 点Pが辺CD上にあるとき

点Pが辺CDにあるのは「7〜10秒後」。定義域で表すと「$7 ≦ x ≦ 10$」です。

このときのグラフは 直線CD です。

直線CDは、2点 C(7, 6）、D(10, 0)を通るので、

傾きは、$$-{6 \over 3} = -2$$ （右に3、下に6進む）

$y = -2x + b$ とおいて、D(10, 0) を代入すると、

$0 = -20 + b$

$b = 20$

よって、$y = -2x + 20$　($7 ≦ x ≦ 10$のとき)

これで、動く点Pの問題がすべて解けました。

【まとめ】「動く点P」の解き方

動く点Pの問題におけるポイントを、改めてまとめておきます。

この手順を守ることで、素早く・簡単に問題が解けるようになるはずです。

教科書や問題集を使って、慣れるまでたくさん問題を解いてみましょう！

質問・要望があれば気軽にコメントください👍

【発展】面積が○cm² になるのは 何秒後か？

もしこの問題の続きに、

とある場合、どう解いたらよいでしょうか？

問題(1)の①〜③ で場合分けをしてみましょう。

問題(1)① 点Pが辺AB上にあるとき

グラフの式は、

なので、$y = 4$ を代入すると、

$4 = 2x$

$x = 2$

よって、

問題(1)② 点Pが辺BC上にあるとき

グラフの式は、

なので、$y = 4$ となるような xの値 は存在しない。

問題(1)③ 点Pが辺CD上にあるとき

グラフの式は、

なので、$y = 4$ を代入すると、

$4 = -2x + 20$

$2x = 16$

$x = 8$

よって、

まとめ

以上をまとめると、

となります。