【相加・相乗平均の関係】最小値がなぜ求められるの?公式の意味を図でわかりやすく解説&証明

「相加・相乗平均の関係」で最小値がなぜ求められるの?

そもそも「相加平均・相乗平均」ってどういう意味なの?

図を使ってわかりやすく証明してほしい!

こういった要望に答えます。

相加・相乗平均の関係とは?

相加・相乗平均の関係」は次の通り。

$ a>0, \ b>0 $ のとき

$ $  $ \displaystyle{ {a + b \over 2} ≧ \sqrt{ ab } } $

$ $ $ \Leftrightarrow \displaystyle{ a + b ≧ 2 \sqrt{ ab } } $

等号成立条件は $ a=b $

(等号成立は $ a=b $ のとき)

もうちょっとシンプルに言えば

2つの正の数について

$ $ $ \displaystyle{ {和 \over 2} ≧ \sqrt{ 積 } } $

$ \Leftrightarrow \displaystyle{ 和 ≧ 2 \sqrt{ 積 } } $

等号成立は、2つの数が等しいとき

このように理解してもOK!

相加平均(そうかへいきん)

左辺の $ \displaystyle{ {a + b \over 2} \ \left( {和 \over 2} \right) } $ は「相加平均」と言います。

足して2で割るという、いわゆる「平均」のことですね。

相乗平均(そうじょうへいきん)

右辺の $ \sqrt{ ab } \ \left( \sqrt{ 積 } \right) $ は「相乗平均(幾何平均)」と言います。

あまり聞き慣れないワードですが、人口増加率や経済成長率などの「変化率の平均」を計算するときに使います。

【相加・相乗平均の関係】最小値がなぜ求められるの?

【例】$ a>0, \ b>0 , ab = 3 $ のとき、$ a+b $ の最小値を求めよ。

例えば、このような問題で「相加・相乗平均の関係最小値 がなぜ求められるのか?」というと

$ $ $ a + b ≧2 \sqrt{ ab } = 2 \sqrt{3} $(定数

という形になってくれるからです。

この「定数」こそが 最小値 になる(かもしれない)というわけです。

 

かもしれない」と言った理由は

最小値 $2 \sqrt{3} $ をとるような $a,\, b$ の値が本当に存在するか、まだ分からないからです。

なので、必ず

等号成立条件 は $a=b$

と書くのを忘れずに!

「相加・相乗平均の関係」の意味は?図で証明します

「そもそも 相加・相乗平均の関係 ってどういう意味?」という本質を理解するために、図形的に証明してみます。

相加相乗平均の意味1

上図のような、直径 $a+b$ の円を用意します($ a>0, \ b>0 $)。

 

相加相乗平均の意味2

赤色 の長さは、円の半径なので

$ $ $ \displaystyle{ {a + b \over 2} } $(相加平均)

 

相加相乗平均の意味3

青色 の長さを $x$ とおいて

$x$ を、$a, \ b $ を使って表します。

 

相加相乗平均の意味4

方べきの定理より

$ $ $ x \cdot x = a \cdot b $

∴ $ x^2 = ab $

$a>0, \ b>0$ より

$ $ $ x = \sqrt{ ab } $(相乗平均)

 

相加相乗平均の意味5

図より

$ $ $ \displaystyle{ \color{red}{a + b \over 2} ≧ \color{blue}{ \sqrt{ ab } } } $

$ $ $ \color{red}{(相加平均)}≧\color{blue}{ (相乗平均)} $

 

相加相乗平均の意味6

等号成立条件は、上図のようなときなので

$ $ $ a=b$(半径)

 

以上をまとめると

$ a>0, \ b>0 $ のとき

$ $ $ \displaystyle{ {a + b \over 2} ≧ \sqrt{ ab } } $

等号成立条件は $ a=b $

こんな感じで図形的に証明できました。

参考:「相加・相乗平均の関係」の証明

参考までに、図を使わない一般的なやり方でも証明しておきます。

$ a>0, \ b>0 $ のとき

$ $ $ a + b  ≧ 2 \sqrt{ ab } $

等号成立条件は $ a=b $

これを証明します。

【証明】

$ (左辺)^2−(右辺)^2 $

$ = ( a + b )^2−\left( 2 \sqrt{ ab } \right)^2 $

$ = a^2 +2ab + b^2−4ab $

$ = a^2 −2ab + b^2 $

$ = (a−b)^2 ≧ 0 $

∴ $ (左辺)^2≧(右辺)^2 $

$ (左辺)>0, \ (右辺)>0 $ より

$ $ $ (左辺)≧(右辺) $

等号成立条件は

$ $ $ (a−b)^2 = 0 $

∴ $ a=b $ [終]

【まとめ】「相加・相乗平均の関係」の意味

今回は「相加・相乗平均の関係」の 意味 を図形的に説明してみました。

公式の意味をしっかり理解したうえで

たくさん問題を解いて「相加・相乗平均の関係」をサクッと使えるようにしておきましょう!

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