【微分法】接線の方程式の求め方はこれだけ！【パターン別にわかりやすく丁寧に解説】

微分法の「接線の方程式」の求め方がイマイチ分からない

色んな解き方のパターンがあって、どれで解いたらいいのか混乱してしまう

わかりやすく整理して教えてほしい！

こういった要望に応えます。

高校生の中にも、微分の計算はできるのに 接線の方程式を求める問題 でつまづく人は結構多いです。

「どの問題にどの解き方をしたらいいのか？」つまり「問題パターン＆解き方」が整理できていないと、いざ問題を解こうとしても上手く解けずに困ってしまいます。

ですが、安心してください。

微分法 における「接線の方程式を求める問題」はたったの 3パターン！

ポイントさえ押さえれば、迷うことなくサクサク解けるようになります。

このページを読めば

• 微分法における「接線の方程式」のポイント
• 微分で「接線の方程式」を求める問題の解き方（3パターン）

を完全マスターできます。

微分 で「接線の方程式を求める問題」を解くのがニガテな人にも、図・グラフを使いながら 分かりやすく丁寧に解説 していきます！

【微分法】接線の方程式（公式）

いきなり質問です。

そもそも「微分」って何でしょうか？

まずは自分なりに考えてみてください。

・

・

・

どうですか？思い浮かびましたか？

微分 とは、ひとことで言えば「接線の傾き」です。

接線の傾きを知りたければ、とりあえず微分せよ！

ということですね。

接線の方程式（公式）

微分法における「接線の方程式」の公式として、以下をガッチリ覚えておきましょう。

Point：「$\bbox[#E2F0D9, 2pt , border:]{傾き}$」と「接点（通る点）」が分かれば「接線の方程式」を求められる！

公式の意味・理由

この「接線の方程式」は、以下の2つを組み合わせることで簡単に作れます。

$ f'(x) $（関数 $f(x)$ を微分したもの）に $x=a$ を代入すると

$ $　$f'(a)$：接線の傾き

が分かります。

さらに、数学Ⅱ「図形と方程式」より

これらを合わせて考えると、

関数 $ y = f(x) $ 上の接点 $ ( a, \ f(a) ) $ における接線の方程式は

$ \begin{cases}
傾き：f'(a) \\
\\
接点（通る点）：  ( a, \ f(a) )  \\
\end{cases}$

の直線なので

と導くことができます。

【微分法】接線の方程式の求め方 3パターン

微分法において「接線の方程式」を求める問題は、以下の3パターンに分けられます。

これらの問題パターンのうち、どれに当てはまるのか？が判断できれば、基本的に微分の問題は解くことができます。

それぞれ見ていきましょう！

【パターン1】接点が分かる問題

まずは「パターン1：接点が分かっている問題」です。

【例題1】曲線 $ y= x^3 − 5x $ 上の点 $(1, −4)$ における接線の方程式を求めよ。

接点 $( 1 , −4)$ が分かっているので、あとは「接線の傾き」を求めれば 接線の方程式が求められますね。

解答の流れとしては、以下の通り。

① 微分する

まずは「$ f(x) = \ldots $ 」とおいて微分します。

② 接点の $x$座標を代入して「接線の傾き」を求める

③ 接線の方程式を求める

これで接線の方程式が求められました。

ここまでの解答をまとめると以下になります。

【解答】を見る

【解答】

$ f(x) = x^3 − 5x $ とおくと

$ $　$ f'(x) = 3x^2 − 5x $

これに 接点の $x$座標（$x=\color{red}{1}$）を代入すると

$ $　$ f'(\color{red}{1}) = 3 \cdot \color{red}{1}^2 − 5 \cdot \color{red}{1} $

$ $　　　$ = \bbox[#E2F0D9, 2pt , border:]{−2} $（接線の傾き）

 

よって、求める接線の方程式は

$ \begin{cases}
傾き：\bbox[#E2F0D9, 2pt , border:]{−2} \\
\\
接点（通る点）：( \color{red}{1}, \ \color{red}{−4} ) \\
\end{cases}$

の直線なので

$ $　$ y − (\color{red}{−4}) = \bbox[#E2F0D9, 2pt , border:]{−2} ( x − \color{red}{1} ) $

∴ $ y = −2 x − 2 $

以上、「接点が分かっている問題」のパターンでした。

【パターン2】傾きが分かる問題

次は「パターン2：傾きが分かっている問題」の解き方です。

【例題2】曲線 $ y= x^3 − 2x + 5 $ において、傾きが $10$ である接線の方程式を求めよ。また、そのときの接点の座標を求めよ。

「接線の傾き」が分かっている（$10$）ので、あとは「接点（通る点）」を求めれば 接線の方程式が求められますね。

解答の流れとしては、以下の通り。

① 微分する

まずは「$ f(x) = \ldots $ 」とおいて微分します。

② 接点を $( t, \ f(t) )$ とおいて「接線の傾き」を $t$ で表す

かの有名な（？）接点 tぃぃっ！の登場です。

③ 接線の方程式を $t$ で表す

④「接線の傾き $=10$ 」を解く（$t$ を求める）

「接線の傾き $=10$ 」とおいて、解いてあげると $t$ の値が求められます。

$t =−2, \ 2$ の2つ出てきましたが、心配せずに次に進みましょう。

⑤ 接線の方程式を求める

求めた $t$ の値を

$ $　接線 $ y = 10 x + t^3 − 12t + 5 $ ・・・①

の式に代入すれば Finish！

接線の方程式と同時に、接点の座標も計算しておきました。

接線の方程式が2つ出てきましたね。

傾きが $10$ の接線は、次のように 2本引けるイメージです。

ここまでの解答をまとめておきます。

【解答】を見る

【解答】

$ f(x) = x^3 − 2x + 5 $ とおくと

$ $　$ f'(x) = 3x^2 − 2 $

また、接点を $( t, \ f(t) )$ とおくと

接線の傾きは

$ $　$ f'(t) = 3t^2 − 2 $

と表せる。

 

接点 $( t, \ f(t) )$ における 接線の方程式は

$ \begin{cases}
傾き：\bbox[#E2F0D9, 2pt , border:]{ 10 } \\
\\
接点（通る点）：( \color{red}{t}, \ \color{red}{f(t)} ) \\
\end{cases}$

の直線なので

$ $　$ y−\color{red}{f(t)} = \bbox[#E2F0D9, 2pt , border:]{10} ( x − \color{red}{t} ) $

∴ $ y −( t^3 − 2t + 5 ) = 10 ( x − t ) $

∴ $ y = 10 (x − t) + ( t^3 − 2t + 5 ) $

∴ $ y = 10 x + t^3 − 12t + 5 $ ・・・①

 

ここで、接線の傾きが $10$ なので

$ $　$ f'(t) = 10 $

∴ $ 3t^2 − 2 = 10 $

∴ $ t^2 = 4 $

∴ $ t = \pm 2 $

 

これらの $t$ を 接線① に代入して

$ $[1]  $t=−2$ のとき

$ $　接線の方程式は

$ $　　$ y = 10 x + (−2)^3 − 12 \cdot (−2) + 5 $

$ $　∴ $ y = 10x + 21 $

$ $　接点は $(−2 , f(−2) )$　∴ $(−2 , 1)$

$ $[2]  $t=2$ のとき

$ $　接線の方程式は

$ $　　$ y = 10 x + 2^3 − 12 \cdot 2 + 5 $

$ $　∴ $ y = 10x −11  $

$ $　接点は $(2 , f(2) )$　∴ $(2 , 9)$

補足：手順③〜⑤ の別解

手順③〜⑤ は以下のような別解もあります。

③’「接線の傾き $=10$ 」を解く（$t$ を求める）

ここはさっきの手順④と同じです。

④’ 接点の座標を求める

2つの $ t $ の値（ $ t = \pm 2 $ ）について、それぞれ接点の座標を求めます。

⑤’ 接線の方程式を求める

2つの接点について、それぞれ接線の方程式を求めます。

（注1）$ \begin{cases}
傾き：\bbox[#E2F0D9, 2pt , border:]{10} \\
\\
通る点（接点）：( \color{red}{−2}, \ \color{red}{1} ) \\
\end{cases}$　の直線

（注2）$ \begin{cases}
傾き：\bbox[#E2F0D9, 2pt , border:]{10} \\
\\
通る点（接点）：( \color{red}{2}, \ \color{red}{9} ) \\
\end{cases}$　の直線

解き方にこだわらなくても「接線の傾き」と「通る点（接点）」が分かれば、接線の方程式はとりあえず求められるということですね。

以上、「傾きが分かっている問題」のパターンでした。

【パターン3】接点も傾きも分からない問題

最後は「パターン3：接点も傾きも分からない問題」です。

【例題3】点$(1, \ 1)$ を通り、曲線 $ y= x^3 − 4x + 5 $ に接する直線の方程式を求めよ。[12 愛媛大]

接点も傾きも分からないけど、求める直線（接線）の 通る点 $(1, \ 1)$ が分かっているので、

あとは「接線の傾き」が分かれば 接線の方程式が求められますね。

解答の流れとしては、以下の通り。

手順①〜③ までの流れは「パターン2」と同じですね。

① 微分する

まずは「$ f(x) = \ldots $ 」とおいて微分します。

② 接点を $( t, \ f(t) )$ とおいて「接線の傾き」を $t$ で表す

③ 接線の方程式を $t$ で表す

④ ③で求めた接線に、通る点 $(1, 1)$ を代入する（$t$ を求める）

これを $t$ の 3次方程式と見て解きます。（$t$ を求める）

共通因数 $t^2$ があるのでくくり出すと

⑤ 接線の方程式を求める

求めた $t$ の値を

$ $　接線 $ y = \left( 3t^2 − 4 \right) x − 2t^3 + 5 $ ・・・①

の式に代入すれば Finish！

今回も接線の方程式が2つ出てきましたね。

点 $(1, 1)$ から 曲線 $y=f(x)$ に、接線が2本引けるわけです。

解答をまとめると、次の通り。

【解答】を見る

【解答】

$ f(x) = x^3 − 4x + 5 $ とおくと

$ $　$ f'(x) = 3x^2 − 4 $

また、接点を $( t, \ f(t) )$ とおくと

接線の傾きは

$ $　$ f'(t) = 3t^2 − 4 $

と表せる。

 

接点 $( t, \ f(t) )$ における 接線の方程式は

$ \begin{cases}
傾き：\bbox[#E2F0D9, 2pt , border:]{ f'(t) } \\
\\
接点（通る点）：( \color{red}{t}, \ \color{red}{f(t)} ) \\
\end{cases}$

の直線なので

$ $　$ y−\color{red}{f(t)} = \bbox[#E2F0D9, 2pt , border:]{f'(t)} ( x − \color{red}{t} ) $

∴ $ y−\left( \color{red}{t^3 − 4t + 5} \right) = \left( \bbox[#E2F0D9, 2pt , border:]{ 3t^2 − 4 } \right) ( x − \color{red}{t} ) $

∴ $ y = \left( 3t^2 − 4 \right) ( x − t ) + \left( t^3 − 4t + 5 \right) $

$ $　　$ = \left( 3t^2 − 4 \right) x − t \left( 3t^2 − 4 \right) + \left( t^3 − 4t + 5 \right) $

$ $　　$ = \left( 3t^2 − 4 \right) x − 2t^3 + 5 $ ・・・①

 

直線 ① は 点 $(1, \ 1)$ を通るので

$ $　$ 1 = \left( 3t^2 − 4 \right) \cdot 1 − 2t^3 + 5 $

∴ $ 1 = 3t^2 − 4 − 2t^3 + 5 $

∴ $ 2t^3 − 3t^2 = 0 $

∴ $ t^2 (2t − 3) = 0 $

∴ $ \displaystyle{ t = 0, \ {3 \over 2} } $

 

これらの $t$ を 接線 ① の式に代入して

$ $[1]  $t=0$ のとき

$ $　$ y = \left( 3 \cdot 0^2 − 4 \right) x − 2 \cdot 0^3 + 5 $

$ $　　$ = − 4x + 5 $

$ $[2]  $\displaystyle{ t = {3 \over 2} } $ のとき

$ $　$ \displaystyle{ y = \left\{ 3 \cdot \left( {3 \over 2} \right)^2 − 4 \right\} x − 2 \cdot \left( {3 \over 2} \right)^3 + 5 } $

$ $　　$ \displaystyle{ = {11 \over 4} x − {7 \over 4} } $

 

よって、求める接線の方程式は

$ $　$ y = − 4x + 5 , \ \displaystyle{ y = {11 \over 4} x − {7 \over 4} } $

補足：手順⑤ の別解

手順⑤「接線の方程式を求める」は、次のように 接線① の式をあえて使わずに求める別解もあります。

以上、「接点も傾きも分からない問題」のパターンでした。

【まとめ】微分「接線の方程式」の求め方

最後にまとめです。

微分法における「接線の方程式」の公式は、以下の通り。

Point：「$\bbox[#E2F0D9, 2pt , border:]{傾き}$」と「接点（通る点）」が分かれば「接線の方程式」を求められる！

微分で「接線の方程式」を求める問題は、学校のテストでも大学入試でもよく出ます。

たくさん問題を解いてスラスラ解けるようにしておきましょう！

質問・要望があれば気軽にコメントください👍