二項定理の公式・一般項がなかなか覚えられない
二項定理の使い方、応用問題の解き方をわかりやすく教えてほしい！
こういったお悩みを解消します。
「二項定理の公式」を使って解く応用問題は、国公立大・私立大 に関わらず大学入試でよく出ます。
例えば
この問題を見て、どう考えてもまともに展開したくないですよね？
そんなときに登場するのが、展開式の裏ワザ「二項定理の公式」です。
$ (a + b)^n =$ $ \ _nC_0 a^n + \ _nC_1 a^{n-1} b + \ _nC_2 a^{n-2} b^2 \\ + \cdots + \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{_nC_r a^{n-r} b^r} \\ + \cdots + \ _nC_{n-1} a b^{n-1} + \ _nC_n b^n $
一般項（第 $r+1$ 項）：$ \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{_nC_r a^{n-r} b^r} $
このページを読めば
- 二項定理の公式の覚え方
- 二項定理で「係数」を求める問題
- 二項定理で「定数項」を求める問題
- 二項定理で「下○桁」を求める問題
- 二項定理で「割り算の余り」を求める問題
が完全にマスターできます。
二項定理の公式の覚え方【一般項 $_nC_r a^{n-r} b^{r}$】
教科書に載っている「二項定理の公式」の形だと覚えにくいので
わかりやすく少しだけアレンジを加えます。
$ (a + b)^n $ $=$ $ \ _n C_{\color{red}{0}} a^n b^{\color{red}{0}} + \ _nC_{\color{red}{1}} a^{n-{\color{red}{1}}} b^{\color{red}{1}} + \ _nC_{\color{red}{2}} a^{n-{\color{red}{2}}} b^{\color{red}{2}} \\ + \cdots + \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{_nC_{\color{red}{r}} a^{n-{\color{red}{r}}} b^{\color{red}{r}} } \\ + \cdots + \ _nC_{\color{red}{n-1}} a^1 b^{\color{red}{n-1}} + \ _nC_{\color{red}{n}} a^0 b^{\color{red}{n}} $
一般項（第 $r+1$ 項）：$ \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{_nC_{\color{red}{r}} a^{n-{\color{red}{r}}} b^{\color{red}{r}} } $
一般項とは、簡単に言うと「すべての項の代表」みたいなもの。
わざわざ展開しなくても、一般項の「$\color{red}{r}$」に $0$〜$n$ までの数字を選んで入れることで、どの項でもポンっと自由自在に出せる便利な道具です。
この長〜い公式を覚える前に、まず一般項「$ \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{_nC_{\color{red}{r}} a^{n-{\color{red}{r}}} b^{\color{red}{r}} } $」の形がどう変化していくか？に注目しましょう。
一般項：$ \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{_nC_{\color{red}{r}} a^{n-{\color{red}{r}}} b^{\color{red}{r}} } $
- 「$\color{red}{r}$」が $0$〜$n$ まで $1$ ずつ増える
- $a$ と $b$ の累乗の数字を足すと「$n$」になる
これらのポイントを踏まえて、二項定理の公式を整理すると
$ \begin{cases}
\bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{_nC_{\color{red}{r}} } \,：\ _nC_{\color{red}{0}}, \ _nC_{\color{red}{1}}, \ _nC_{\color{red}{2}}, \ \cdots \ , \ _nC_{\color{red}{n-1}}, \ _nC_{\color{red}{n}} \\
\\
\bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{ a^{n-{\color{red}{r}}} } \,：\ a^{n-{\color{red}{0}}}, \ a^{n-{\color{red}{1}}}, \ a^{n-{\color{red}{2}}}, \ \cdots \ , \ a^{n-{\color{red}{(n-1)}}}, \ a^{n-{\color{red}{n}}} \\
\\
\enspace \enspace \enspace \enspace \, → a^{n}, \ a^{n-{\color{red}{1}}}, \ a^{n-{\color{red}{2}}}, \ \cdots \ , \ a^{1}, \ a^{0}\\
\\
\bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{ b^{\color{red}{r}} } \,：\ b^{\color{red}{0}}, \ b^{\color{red}{1}}, \ b^{\color{red}{2}} , \ \cdots \ , \ b^{\color{red}{n-1}}, \ b^{\color{red}{n}} \\
\end{cases}$
となっているのがわかりますね。
紙かノートを用意して、上の流れをイメージしながら、何も見ずに「二項定理の公式・一般項」が書けるようになるまで練習しましょう。
二項定理で「係数」を求める問題【一般項】
それでは実際に、二項定理で「係数」を求める問題 をやってみましょう。
このパターンの問題では、一般項を利用します。
$ (a + b)^n $ の展開式の一般項は
$ $ $ \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{_nC_{\color{red}{r}} a^{n-{\color{red}{r}}} b^{\color{red}{r}} } $
【例題1-1】$ (x+3)^7 $ の展開式において、$x^4$ の項の係数を求めよ。
まず二項定理を使って、一般項を求めておきます。
【解答】
$ (x+3)^7 $ の展開式の一般項は
$ $ $ _7C_{r} \cdot x^{7-r} \cdot 3^{r} = \ \underbrace{ \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{_7C_{r} \cdot 3^{r} } }_{係数} \cdot \underbrace{ \bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{ x^{7-r} } }_{文字 \\ (変数) } $
こんな感じで $\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{係数}$ と $\bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{文字（変数）}$を分けておきましょう。
求める条件より
$\bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{文字（変数）}$ について、「$x^{7-r}$」と「$x^4$」が一致するはずなので
$ $ $ \bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{ x^{\color{red}{7-r} } } = \bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{ x^\color{red}{4} } $
より
$ \color{red}{7-r} = \color{red}{4} $
∴ $ r = 3 $
よって、$r=3$ のとき
$x^4$ の項の $\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{係数}$ は
$\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{_7C_{r} \cdot 3^{r} } = \ _7C_{3} \cdot 3^{3} $
$ $ $ = \displaystyle{ {7 \cdot \require{cancel} \bcancel{6} \cdot 5 \over \bcancel{3 \cdot 2} \cdot 1} \cdot 3^{3} } $
$ $ $ = 945 $
【例題1-2】$ (2x−3)^6 $ の展開式において、$x^3$ の項の係数を求めよ。
$ (2x−3)^6 = \{ (2x) + (−3) \}^6 $ と見て、二項定理を使うと・・・
【解答】
$ (2x−3)^6 $ の展開式の一般項は
$ $ $ _6C_{r} \cdot (2x)^{6-r} \cdot (−3)^{r} $
$ $ $ = \ \underbrace{ \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{_6C_{r} \cdot 2^{6-r} \cdot (−3)^{r} } }_{係数} \cdot \underbrace{ \bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{ x^{6-r} } }_{文字 \\ (変数)} $
$\bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{文字（変数）}$ の「$x^{6-r}$」と「$x^3$」が一致するので
$ $ $ \bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{ x^{\color{red}{6-r} } } = \bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{ x^\color{red}{3} } $
より
$ \color{red}{6-r} = \color{red}{3} $
∴ $ r = 3 $
よって、$r=3$ のとき
$x^3$ の項の $\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{係数}$ は
$ $ $\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{_6C_{r} \cdot 2^{6-r} \cdot (−3)^{r} } = \ _6C_{3} \cdot 2^{3} \cdot (−3)^{3} $
$ $ $ \displaystyle{ = { \require{cancel} \bcancel{6} \cdot 5 \cdot 4 \over \require{cancel} \bcancel{3 \cdot 2} \cdot 1} \cdot 8 \cdot (−27) } $
$ $ $ = −4320 $
【例題1-3】$ \displaystyle{ \left( x^2+{1 \over x} \right)^{10} } $ の展開式において、$x^{11}$ の項の係数を求めよ。
分数が入っていてイヤだな〜と思うかもしれませんが、やることはまったく同じです。
二項定理を使ってみましょう。
【解答】
$ \displaystyle{ \left( x^2+{1 \over x} \right)^{10} } $ の展開式の一般項は
$ $ $ \displaystyle{ _{10} C_{r} \cdot \left( x^2 \right)^{10-r} \cdot \left( {1 \over x} \right)^{r} } $
$ $ $ \displaystyle{ = \ _{10} C_{r} \cdot \left( x^2 \right)^{10-r} \cdot \left( x^{-1} \right)^{r} } $
$ $ $ \displaystyle{ = \ _{10} C_{r} \cdot x^{20-2r} \cdot x^{-r} } $
$ $ $ \displaystyle{ = \ \underbrace{ \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{_{10} C_{r} } }_{係数} \cdot \underbrace{ \bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{ x^{20-3r} } }_{文字 \\ (変数)} } $
$\bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{文字（変数）}$ について
$ $ $ \bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{ x^\color{red}{20-3r} } = \bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{ x^\color{red}{11} } $
より
$ \color{red}{20-3r} =\color{red}{11}$
∴ $ r = 3 $
よって、$r=3$ のとき
$x^{11}$ の項の $\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{係数}$ は
$ $ $\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{_{10} C_{r} } = \ _{10} C_{3}$
$ $ $ \displaystyle{ = {10 \cdot \require{cancel} \displaystyle{ \mathop{ \bcancel{9} }^3 } \cdot \displaystyle{ \mathop{ \cancel{8} }^4 } \over \bcancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 1} } $
$ $ $ = 120 $
【例題1-4】$ \displaystyle{ \left( x^3−{y^4 \over x^2} \right)^{5} } $ の展開式において、$x^5 y^8$ の項の係数を求めよ。
二項定理で「係数」を求める問題 のラストです。
ここまでの内容が理解できているかの確認も兼ねて、まずは自力でやってみましょう！
- 【解答】を見る
-
【解答】
$ \displaystyle{ \left( x^3−{y^4 \over x^2} \right)^{5} } $ の展開式の一般項は
$ $ $ \displaystyle{ _{5} C_{r} \cdot \left( x^3 \right)^{5-r} \cdot \left( −{y^4 \over x^2} \right)^{r} } $
$ $ $ \displaystyle{ = \ _{5} C_{r} \cdot \left( x^3 \right)^{5-r} \cdot \left( − \, x^{-2} \, y^4 \right)^{r} } $
$ $ $ \displaystyle{ = \ _{5} C_{r} \cdot x^{15-3r} \cdot (−1)^r \cdot x^{-2r} \cdot y^{4r} } $
$ $ $ \displaystyle{ = \, \underbrace{ \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{ _{5} C_{r} \cdot (−1)^r } }_{係数} \cdot \underbrace{ \bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{ x^{15-5r} \ y^{4r} } }_{文字} } $
$\bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{文字（変数）}$ について
$ $ $ \bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{ x^\color{red}{15-5r} \ y^\color{blue}{4r} } = \bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{ x^\color{red}{5} y^\color{blue}{8} } $
より
$ \begin{cases}
\color{red}{15-5r} = \color{red}{5} \\
\\
\color{blue}{4r} = \color{blue}{8} \\
\end{cases}$∴ $ r = 2 $
よって、$x^5 y^8$ の項の $\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{係数}$ は
$ $ $ \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{ _{5} C_{r} \cdot (−1)^r } = \ _{5} C_{2} \cdot (−1)^2 $
$ $ $ \displaystyle{ = {5 \cdot \require{cancel} \displaystyle{ \mathop{ \bcancel{4} }^2 } \over \bcancel{2} \cdot 1} \cdot 1 } $
$ $ $ \displaystyle{ = 10} $
以上、二項定理で「係数」を求める問題でした。
分数が入っていても、迷わず二項定理を使えばOKですね！
二項定理で「定数項」を求める問題【一般項】
次に、二項定理で「定数項」を求める問題 を解説します。
「定数項」を求めると言っても、やることは「係数」の問題と同じです。
【例題2】$ \displaystyle{ \left( 2x^4−{1 \over x} \right)^{10} } $ の展開式において、定数項を求めよ。
いつも通り、二項定理を使ってみると・・・
【解答】
$ \displaystyle{ \left( 2x^4−{1 \over x} \right)^{10} } $ の展開式の一般項は
$ $ $ \displaystyle{ _{10} C_{r} \cdot \left( 2x^4 \right)^{10-r} \cdot \left( −{1 \over x} \right)^{r} } $
$ $ $ \displaystyle{ = \ _{10} C_{r} \cdot \left( 2x^4 \right)^{10-r} \cdot \left( − \ x^{-1} \right)^{r} } $
$ $ $ \displaystyle{ = \ _{10} C_{r} \cdot 2^{10-r} \cdot x^{40-4r} \cdot (−1)^r \cdot x^{-r} } $
$ $ $ \displaystyle{ = \ \underbrace{ \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{ _{10} C_{r} \cdot 2^{10-r} \cdot (−1)^r } }_{係数} \cdot \underbrace{ \bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{ x^{40-5r} } }_{文字 \\ (変数)} } $
これが「定数項」になるということは
$\bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{文字（変数）}$ の部分が消えて（$1$ になって）
$\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{係数}$ だけになるということです。
つまり
$ $ $ x^\color{red}{40-5r}= 1 $
∴ $ x^\color{red}{40-5r}= x^\color{red}{0} $
より
$ \color{red}{40-5r}= \color{red}{0} $
∴ $ r = 8 $
よって、$ r = 8 $ のとき
定数項（$\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{係数}$）は
$ $ $ \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{ _{10} C_{r} \cdot 2^{10-r} \cdot (−1)^r } $
$ $ $ = \ _{10} C_{8} \cdot 2^{2} \cdot (−1)^8 $
$ $ $ = \ _{10} C_{2} \cdot 4 \cdot 1 $
$ $ $ \displaystyle{ = \ {10 \cdot 9 \over \require{cancel} \bcancel{2} \cdot 1} \cdot \displaystyle{ \mathop{ \bcancel{4} }^2 } } $
$ $ $ =180 $
以上、二項定理で「定数項」を求める問題の解き方でした。
二項定理で「下○桁」を求める問題【展開式】
続いて、二項定理で「下○桁」を求める問題 を解説します。
このパターンの問題では、二項定理の展開式を利用します。
$ (a + b)^n $ $=$ $ _n C_{\color{red}{0}} a^n b^{\color{red}{0}} + \ _nC_{\color{red}{1}} a^{n-{\color{red}{1}}} b^{\color{red}{1}} + \ _nC_{\color{red}{2}} a^{n-{\color{red}{2}}} b^{\color{red}{2}} \\ + \cdots + \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{_nC_{\color{red}{r}} a^{n-{\color{red}{r}}} b^{\color{red}{r}} } \\ + \cdots + \ _nC_{\color{red}{n-1}} a^1 b^{\color{red}{n-1}} + \ _nC_{\color{red}{n}} a^0 b^{\color{red}{n}} $
【例題3】次の数の下 $5$ 桁を求めよ。
(1) $101^{100}$
(2) $99^{100}$ [お茶の水大]
(1) $101^{100}$
一見、こんな問題に二項定理が使えるの？という感じですが、
$ $ $ 101^{100} = (1+100)^{100} $
に変形すると
$ $ $ (a+b)^n$
の形になってくれますね。
【解答】
$ 101^{100} = (1+100)^{100} $
$ $ $ = \ _{100} C_{0} \cdot 1^{100} + \ _{100} C_{1} \cdot 1^{99} \cdot 100^1 \\ \enspace + \ _{100} C_{2} \cdot 1^{98} \cdot 100^2 + \cdots \\ \enspace + \ _{100} C_{99} \cdot 1^{1} \cdot 100^{99} +\ _{100} C_{100} \cdot 100^{100} $
$ $ $ \displaystyle{ = 1 + 10000 + { \displaystyle{ \mathop{ \require{cancel} \bcancel{100} }^{50} } \cdot 99 \over \bcancel{2} } \cdot 10000 + \cdots \\ \enspace + \ _{100} C_{99} \cdot 100^{99} +\ _{100} C_{100} \cdot 100^{100} } $
$ $ $ \displaystyle{ = 1 + 10000 + \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{ 495 \cdot 10^5 + \cdots } \\ \enspace \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{ + \ _{100} C_{99} \cdot 100^{99} +\ _{100} C_{100} \cdot 100^{100} } } $
よく見てみると
$\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{ 495 \cdot 10^5 + \cdots + \ _{100} C_{99} \cdot 100^{99} +\ _{100} C_{100} \cdot 100^{100} }$
$ = 495 \cdot 10^5 + \cdots + \ _{100} C_{99} \cdot 10^{198} +\ _{100} C_{100} \cdot 10^{200} $
$ = \color{green}{10^5} \left( 495 + \cdots + \ _{100} C_{99} \cdot 10^{193} +\ _{100} C_{100} \cdot 10^{195} \right) $（共通因数 $\color{green}{10^5}$ をくくり出す）
$ = \color{green}{10^5} \cdot N $（$N$ は自然数）
とおけますね。（つまり、$\color{green}{10^5}$ の倍数）
$ $ $ \displaystyle{ = 1 + 10000 + \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{ 10^5 \cdot N } } $
$ $ $ \displaystyle{ = \color{red}{10001} + \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{ 10^5 \cdot N } } $（$N$ は自然数）
ここで、$\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{ 10^5 \cdot N }$ は 下 $5$ 桁に影響がないので
求める下 $5$ 桁は $\color{red}{10001}$
(2) $99^{100}$
(1) と同じように解いてみましょう。
【解答】
$99^{100}$
$= (−1+100)^{100} $
$ = \ _{100} C_{0} \cdot (−1)^{100} + \ _{100} C_{1} \cdot (−1)^{99} \cdot 100^1 \\ \enspace + \ _{100} C_{2} \cdot (−1)^{98} \cdot 100^2 + \ _{100} C_{3} \cdot (−1)^{97} \cdot 100^3 \\ \enspace + \cdots \\ \enspace + \ _{100} C_{99} \cdot (−1)^{1} \cdot 100^{99} +\ _{100} C_{100} \cdot 100^{100} $
$ \displaystyle{ = 1 − 10000 + { \displaystyle{ \mathop{ \require{cancel} \bcancel{100} }^{50} } \cdot 99 \over \bcancel{2} } \cdot 10000 − \ _{100} C_{3} \cdot 100^3 \\ \enspace + \cdots \\ \enspace − \ _{100} C_{99} \cdot 100^{99} +\ _{100} C_{100} \cdot 100^{100} } $
$ \displaystyle{ = 1 − 10000 + 49500000 − \ _{100} C_{3} \cdot 100^3 + \cdots \\ \enspace − \ _{100} C_{99} \cdot 100^{99} +\ _{100} C_{100} \cdot 100^{100} } $
$ $ ・・・（注）
$ \displaystyle{ = 49490001 \ \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{− \ _{100} C_{3} \cdot 100^3 + \cdots } \\ \enspace \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{ − \ _{100} C_{99} \cdot 100^{99} +\ _{100} C_{100} \cdot 100^{100} } } $
$ \displaystyle{ = 494 \color{red}{90001} + \ \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{10^5 \cdot M} } $（$M$ は整数）
ここで、$\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{ 10^5 \cdot M }$ は 下 $5$ 桁に影響がないので
求める下 $5$ 桁は $ \color{red}{90001} $
（注）第 $3$ 項（$ 49500000 $）も計算することに注意！
もしこれを計算せずに $10^5 \cdot M$ にまとめてしまうと
$ $ $ \displaystyle{ = 1 − 10000 + \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{ 495 \cdot 10^5 − \cdots } \\ \enspace \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{ − \ _{100} C_{99} \cdot 100^{99} +\ _{100} C_{100} \cdot 100^{100} } } $
$ $ $ \displaystyle{ = 1 − 10000 + \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{ 10^5 \cdot M } } $
$ $ $ \displaystyle{ = −9999 + \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{ 10^5 \cdot M } } $（$M$ は整数）？？
となって正しい答えが出ません。
二項定理で「割り算の余り」を求める問題【展開式】
いよいよラスト、二項定理で「割り算の余り」を求める問題 を解説します。
【例題4】$21^{21}$ を $400$ で割ったときの余りを求めよ。
やり方は「例題3」に似ています。
ここまで学んだことを活かして、自分なりに解答を作ってみましょう。
- 【解答】を見る
-
【解答】
$21^{21} = (1+20)^{21}$
$ $ $ = \ _{21} C_{0} \cdot 1^{21} + \ _{21} C_{1} \cdot 1^{20} \cdot 20^1 \\
\enspace + \ _{21} C_{2} \cdot 1^{19} \cdot 20^2 + \cdots \\
\enspace + \ _{21} C_{20} \cdot 1^{1} \cdot 20^{20} +\ _{21} C_{21} \cdot 20^{21} $$ $ $ \displaystyle{ = 1 + 420 + {21 \cdot { \displaystyle{ \mathop{ \require{cancel} \bcancel{20} }^{10} } } \over \bcancel{2} } \cdot 20^2 + \cdots \\
\enspace + \ _{21} C_{20} \cdot 20^{20} +\ _{21} C_{21} \cdot 20^{21} } $$ $ $ \displaystyle{ = 421 + 210 \cdot 20^2 + \cdots \\
\enspace + \ _{21} C_{20} \cdot 20^{20} +\ _{21} C_{21} \cdot 20^{21} } $$ $ $ \displaystyle{ = 21 + \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{ 400 + 210 \cdot 20^2 + \cdots } \\
\enspace \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{ + \ _{21} C_{20} \cdot 20^{20} +\ _{21} C_{21} \cdot 20^{21} } } $$ $ $ \displaystyle{ = 21 + \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{ 20^2 \cdot K } } $（$K$ は整数）
$ \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{ 20^2 \cdot K } $ は $400$ で割り切れるので、
求める余りは $ 21 $
どうでしたか？
二項定理の公式は使いこなせるようになりましたか？
【まとめ】二項定理の公式の覚え方
最後に、二項定理の公式 をまとめておきます。
$ (a + b)^n $ $=$ $ \ _n C_{\color{red}{0}} a^n b^{\color{red}{0}} + \ _nC_{\color{red}{1}} a^{n-{\color{red}{1}}} b^{\color{red}{1}} + \ _nC_{\color{red}{2}} a^{n-{\color{red}{2}}} b^{\color{red}{2}} \\ + \cdots + \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{_nC_{\color{red}{r}} a^{n-{\color{red}{r}}} b^{\color{red}{r}} } \\ + \cdots + \ _nC_{\color{red}{n-1}} a^1 b^{\color{red}{n-1}} + \ _nC_{\color{red}{n}} a^0 b^{\color{red}{n}} $
一般項（第 $r+1$ 項）：$ \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{_nC_{\color{red}{r}} a^{n-{\color{red}{r}}} b^{\color{red}{r}} } $
一般項：$ \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{_nC_{\color{red}{r}} a^{n-{\color{red}{r}}} b^{\color{red}{r}} } $
- 「$\color{red}{r}$」が $0$〜$n$ まで $1$ ずつ増える
- $a$ と $b$ の累乗の数字を足すと「$n$」になる
いつでも二項定理の公式・一般項が使えるように、しっかり復習しておきましょう！
【二項定理の応用】多項定理について
今回学んだ「二項定理の公式」は、（ ）の中が2つのときしか使えません。
例えば $ ( 2x −y + z )^8 $ のように、（ ）の中が3つ以上のときは「多項定理の公式」を使わなければいけません。
二項定理の応用で（ ）の中が3つのときの係数や定数項を求める問題はどうすればいいの？ 「多項定理の公式」の使い方をわかりやすく教えてほしい！ 多項定理を使う応用・入試問題を解説してほしい！ こういった要望に応えます。 &[…]
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