和積・積和の公式はいつ使うの？使い方をわかりやすく解説！【入試問題つき】

和積の公式・積和の公式はいつ使うの？

使い方をわかりやすく解説してほしい！

こういった要望に応えます。

文系・理系に関わらず、三角関数の「和積の公式」「積和の公式」が使えるとラクに計算できることがよくあります。

今回は、使えると便利な「和積・積和の公式」の使い方をスッキリ解説します。

なお、「和積・積和の公式」の簡単な 覚え方 はこちら。

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和積・積和の公式の使い方【数学Ⅱ：三角関数】

和積・積和の公式をいつ使うのか、例題を通して見ていきましょう。

まずは、数学Ⅱ「三角関数」の問題から。

【例題1】$ \alpha = \displaystyle{2 \over 5} \pi $ のとき、$ \sin 3 \alpha + \sin 2 \alpha $ の値を求めよ。

「和積の公式」

を利用して解いてみます。

【解答】を見る

【解答】

和積の公式より

$ \sin 3 \alpha + \sin 2 \alpha $

$ \displaystyle{ = 2 \sin {3 \alpha + 2 \alpha \over 2} \cos {3 \alpha − 2 \alpha \over 2} } $

$ \displaystyle{ = 2 \sin {5 \over 2}\alpha \, \cos {1\over 2}\alpha } $

$ \require{cancel} \displaystyle{ = 2 \sin {\cancel{5} \over \bcancel{2} } \cdot {\bcancel{2} \over \cancel{5} } \pi \, \cos {1 \over \bcancel{2}} \cdot {\bcancel{2} \over 5} \pi } $　$ \displaystyle{ \left( \alpha = {2 \over 5} \pi \, を代入 \right) } $

$ \displaystyle{ = 2 \sin \pi \, \cos {1 \over 5} \pi } $

$ =0 $　$ \displaystyle{ \left( \sin \pi = 0 \, より \right) } $

もし「和積の公式」を使わずにやると、以下のような 別解 も考えられます。

【別解】を見る

【別解】

$ \sin 3 \alpha + \sin 2 \alpha $

$ \displaystyle{ = \sin 3 \cdot {2 \over 5} \pi + \sin 2 \cdot {2 \over 5} \pi } $　$ \displaystyle{ \left( \alpha = {2 \over 5} \pi \, を代入 \right) } $

$ \displaystyle{ = \sin {6 \over 5} \pi + \sin {4 \over 5} \pi } $

$ \displaystyle{ = \sin {6 \over 5} \pi + \sin \left( 2 \pi − {6 \over 5} \pi \right) } $

$ \displaystyle{ = \sin {6 \over 5} \pi − \sin {6 \over 5} \pi } $　・・・（注）

$ = 0 $

（注）$\sin \left( 2 \pi − \theta \right) = − \sin \theta $

和積・積和の公式の使い方【数学Ⅲ：積分法】

ここは理系の受験生向けです。

数学Ⅲ「積分法」でも「和積・積和の公式」が活躍します。

【例題2】$ \displaystyle{ \int_0^{\pi \over 2} \cos 3x \, \sin x \,dx } $ の値を求めよ。

$\cos 3x \, \sin x$ のような「三角比の積」の形は積分しにくいですよね。

こんなときは「積和の公式」

を使うとラクに解けます。

【解答】を見る

【解答】

$ \displaystyle{ \int_0^{\pi \over 2} \cos 3x \, \sin x \,dx } $

$ \displaystyle{ = {1 \over 2} \int_0^{\pi \over 2} \left( \sin 4x − \sin 2x \right) \,dx } $

$ \displaystyle{ = {1 \over 2} \left[ − {1 \over 4} \cos 4x − \left(−{1 \over 2} \cos 2x \right) \right]_0^{\pi \over 2} } $

$ \displaystyle{ = {1 \over 2} \left[ − {1 \over 4} \cos 4x + {1 \over 2} \cos 2x \right]_0^{\pi \over 2} } $

$ \displaystyle{ = {1 \over 2} \left\{ \left( − {1 \over 4} \cos 2\pi + {1 \over 2} \cos \pi \right) − \left( − {1 \over 4} \cos 0 + {1 \over 2} \cos 0 \right) \right\} } $

$ \require{cancel} \displaystyle{ = {1 \over 2} \left\{ \left( \cancel{− {1 \over 4}} − {1 \over 2} \right) − \left( \cancel{− {1 \over 4}} + {1 \over 2} \right) \right\} } $

$ \displaystyle{ = −{1 \over 2} } $

あるいは、積和の公式を使わず、3倍角の公式＋置換積分 で解く 別解 もあります。

【別解】を見る

【別解】

$ \displaystyle{ \int_0^{\pi \over 2} \cos 3x \, \sin x \,dx } $

$ \displaystyle{ = \int_0^{\pi \over 2} \left( 4 \cos^3 x − 3 \cos x \right) \, \sin x \,dx } $ ・・・（注1）

$ \cos x = t $ とおくと　・・・（注2）

$ x : 0 \rightarrow \displaystyle{\pi \over 2} $ のとき　$ t : 1 \rightarrow 0 $

また、$ \displaystyle{ {dt \over dx} = − \sin x } $ より　$ \displaystyle{ \sin x \, dx = − dt } $

∴ $ (与式) \, \displaystyle{ = − \int_1^0 \left( 4 t^3 − 3 t \right) dt } $

$ \displaystyle{ = \int_0^1 \left( 4 t^3 − 3 t \right) dt } $

$ \displaystyle{ = \left[ t^4 − {3 \over 2} t^2 \right]_0^1 } $

$ \displaystyle{ = 1 − {3 \over 2} } $

$ \displaystyle{ = − {1 \over 2} } $

（注1）3倍角の公式についてはこちら。

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（注2）「$ (\cos x \, の式)×\sin x $」の形のときは

$ $　$ \cos x = t $ と置換すれば、うまく積分できます。

和積・積和の公式を使って解こう！【入試問題】

最後に、「和積・積和の公式」を使って 入試問題 を解いてみましょう。

【問題】$ \triangle ABC $ の $ \angle A, \ \angle B, \ \angle C $ のそれぞれの大きさを $ A, \ B, \ C $ とするとき、$ \displaystyle{ \cos A + \cos B ≦ 2 \sin {C \over 2} } $ を示せ。また、等号が成り立つときを調べよ。（類 11 京都府大）

「和積の公式」

を利用できそうですね。

【解答】を見る

【解答】

$ A+B+C= \pi $ より　$A+B= \pi − C $

∴ $  \cos A + \cos B $

$ \displaystyle{ = 2 \cos {A+B \over 2} \cos {A−B \over 2} } $

$ \displaystyle{ = 2 \cos {\pi − C \over 2} \cos {A−B \over 2} } $

$ \displaystyle{ = 2 \cos \left( {\pi \over 2} − {C \over 2} \right) \cos {A−B \over 2} } $

$ \displaystyle{ = 2 \sin {C \over 2} \cos {A−B \over 2} } $　・・・（注1）

 

よって

$ \displaystyle{ 2 \sin {C \over 2} − ( \cos A + \cos B ) } $

$ \displaystyle{ = 2 \sin {C \over 2} − 2 \sin {C \over 2} \cos {A−B \over 2} } $

$ \displaystyle{ = 2 \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{ \sin {C \over 2} } \left( \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{1 − \cos {A−B \over 2} } \right) } $

 

$ 0 ＜ C ＜ \pi $ より　$ \displaystyle{ 0 ＜ {C \over 2}＜ {\pi \over 2} } $　∴ $ \displaystyle{ \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{\sin {C \over 2} }＞ 0 } $

$ \displaystyle{ −1 ＜ \cos {A−B \over 2} ≦ 1 } $ より　$ \displaystyle{ 0 ≦ \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{1 − \cos {A−B \over 2} } ＜ 2 } $

 

ゆえに

$ \displaystyle{ 2 \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{ \sin {C \over 2} } \left( \bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{1 − \cos {A−B \over 2} } \right) ≧ 0 } $

∴ $ \displaystyle{ 2 \sin {C \over 2} − ( \cos A + \cos B ) ≧ 0 } $

∴ $ \displaystyle{ \cos A + \cos B ≦ 2 \sin {C \over 2} } $　・・・（注2）

 

等号成立条件は

$ $　$ \displaystyle{ \cos {A−B \over 2} = 1 } $

∴ $ A = B $　　[終]

（注1）$ \displaystyle{ \cos \left( {\pi \over 2} − \theta \right) = \sin \theta } $

（注2）$ (右辺)−(左辺) ≧ 0 $より　$(左辺)≦(右辺)$

以上です。お疲れ様でした！

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