【高校数学】部分分数分解を「5秒で」簡単に計算するやり方【本当の裏ワザを伝授します】

「部分分数分解」をいちいち係数比較するやり方は大変だなあ〜

数列とか極限の問題で「部分分数分解」の計算に手間取ってしまう・・・

一瞬で＆簡単に計算できる裏ワザみたいなやり方はないの？

こういった疑問・要望にこたえます。

部分分数分解 は、数学B「数列」や 数学Ⅲ「極限」「積分」などでよく出てくる計算です。

このページを読めば、例えばこんな問題

$ $　$ \displaystyle { 1 \over (3k-1)(3k+2) } = $ ？

$ $　$ \displaystyle { 1 \over k(k+2)(k+4) } = $ ？

の 部分分数分解 を たったの5秒で簡単に計算できる ようになります。

学校や塾、他のサイトなどでは「係数比較法」や「数値代入法」などが紹介されていますが、

そんなチマチマやらなくても、この 裏ワザ さえ知っていれば、上記のように「分子が1の部分分数分解」ならすぐに計算できてしまいます。

今回は「部分分数分解を一瞬で＆簡単に計算する方法」を伝授します。

この方法を学んで、ライバルたちが 1〜2分かかる問題を キミは「5秒で」解けるようになりましょう！

部分分数分解を5秒で簡単に計算するやり方【裏ワザ】

ズバリ結論からいきます。

「部分分数分解を 5秒で簡単に計算するやり方（裏ワザ）」は

この形で覚えましょう。

例えば、

$ $　$ \displaystyle { { 1 \over 3 \cdot 5} = { 1 \over \color{red}{2} } \left( { 1 \over 3 } −{ 1 \over 5 } \right)  } $

※ 差 $＝$ 大 $−$ 小 ＝ 5 $−$ 3 ＝ 2 ということ

確かに（右辺）を計算すると（左辺）の形に戻るので、この考え方が正しいことが分かりますね。

（右辺）$ \displaystyle { = { 1 \over 2 } \left( { 1 \over 3 } −{ 1 \over 5 } \right) } $

$ $　　　　$ \displaystyle { = { 1 \over 2 } \left( { 5 \over 3 \cdot 5 } −{ 3 \over 3 \cdot 5 } \right) } $

$ $　　　　$ \displaystyle {= { 1 \over \require{cancel} \bcancel{2} } \cdot { \bcancel{2} \over 3 \cdot 5 } } $

$ $　　　　$ \displaystyle { = { 1 \over 3 \cdot 5} } $

$ $　　　　$=$（左辺）

部分分数分解を5秒で簡単に計算するやり方【使い方＆例題】

「部分分数分解を 5秒で簡単に計算するやり方」の具体的な使い方を説明します。

【例1】$ \displaystyle { 1 \over k(k+1) } $

$ \displaystyle { { 1 \over k(k+1) } = { 1 \over \color{red}{1} } \left( { 1 \over k } −{ 1 \over k+1 } \right)  } $

$ $　　　　$ \displaystyle { = { 1 \over k } −{ 1 \over k+1 } } $

※ 差 $= (k+1) − k = \color{red}{1}$

【例2】$ \displaystyle { 1 \over (k-1)(k+2) } $

$\displaystyle { { 1 \over (k−1) (k+2) } = { 1 \over \color{red}{3} } \left( { 1 \over k−1 } −{ 1 \over k+2 } \right)  } $

※ 差 $= (k+2) − (k−1) = \color{red}{3}$

【例3】$ \displaystyle { 1 \over (3k−1)(3k+2) } $

$ \displaystyle { { 1 \over (3k−1)(3k+2) } = { 1 \over \color{red}{3} } \left( { 1 \over 3k−1 } −{ 1 \over 3k+2 } \right)  } $

※ 差 $= (3k+2) − (3k−1) = \color{red}{3}$

【例4】$ \displaystyle { 1 \over 3 \cdot 4 \cdot 5 } $

$ \displaystyle { { 1 \over 3 \cdot \color{blue}{4} \cdot 5 } = { 1 \over \color{red}{2} } \left( { 1 \over 3 \cdot \color{blue}{4} } −{ 1 \over \color{blue}{4} \cdot 5 } \right)  } $

3数の積の場合、真ん中の「$\color{blue}{4}$」をいったん無視して 差 を出して、あとで左右にくっつけます。

※ 差 $=$ 大 $−$ 小 $= 5 − 3 = \color{red}{2}$

さらに部分分数分解すると

$ $　・・・$ \displaystyle { = { 1 \over 2 } \left\{ \left( {1 \over 3}−{1 \over 4} \right) − \left( {1 \over 4}−{1 \over 5} \right) \right\}  } $

こんな感じ。

このパターンは数Ⅲ「積分」で役に立ちます。

【例5】$ \displaystyle { 1 \over k(k+2)(k+4) } $

$ \displaystyle { { 1 \over k(k+2)(k+4) } = { 1 \over \color{red}{4} } \left\{ { 1 \over k(k+2) } − { 1 \over (k+2)(k+4) } \right\}  } $

（※ 差 $= (k+4) − k = \color{red}{4}$）

$ $　・・・$ \displaystyle { = { 1 \over 4 } \left\{ { 1 \over 2 } \left( {1 \over k} − {1 \over k+2} \right) − { 1 \over 2 } \left( {1 \over k+2} − {1 \over k+4} \right) \right\}  } $

$ $　　　　$ \displaystyle { = { 1 \over 8 } \left\{ \left( {1 \over k} − {1 \over k+2} \right) − \left( {1 \over k+2} − {1 \over k+4} \right) \right\}  } $

部分分数分解を5秒で簡単に計算するやり方【注意点】

部分分数分解の裏ワザ を使うときの 注意点 としては

$ $　$ \displaystyle { { 1 \over (k+1)(k−1) } = } $ ？

こんな形で与えられているときも、必ず

の形に直してから計算しましょう。
⚠️ 「小 」が先にくる！

もし形を直さずにやってしまうと

$ $　×$ \displaystyle { { 1 \over (k+1)(k−1) } = { 1 \over 2 } \left( { 1 \over k+1 } − { 1 \over k−1 } \right) } $ ？？

符号（プラス・マイナス）が逆になって計算ミスをしてしまいます。

なので、必ず

$ $　$ \displaystyle { { 1 \over (k+1)(k−1) } = { 1 \over (k−1)(k+1) } } $

$ $　　　　　　　$ = \displaystyle { { 1 \over 2 } \left( { 1 \over k−1 } − { 1 \over k+1 } \right) } $

このように 「小」を先に持ってきてから計算すること をお忘れなく！

部分分数分解をやるメリット（数学B・数Ⅲ）

部分分数分解 がサクッとできるようになると、どんなイイことがあるか？というと、例えば・・・

部分分数分解：数学B「数列」

数学B「数列」で

$ $　$\displaystyle {
\sum_{ \substack{k = 1} }^n
{ 1 \over k(k+1) }
= }$ $\displaystyle {
\sum_{ \substack{k = 1} }^n
\left( { 1 \over k } −{ 1 \over k+1 } \right)
} $

$ $　　　　　　　$\displaystyle { = \left( {1 \over 1}\require{cancel} − \cancel{{1 \over 2} } \right) + \left( \cancel{ {1 \over 2} }−\bcancel{ {1 \over 3} } \right) + \cdot \cdot \cdot + \left( \cancel{ { 1 \over n−1 } }− \bcancel{ { 1 \over n } } \right) + \left( \bcancel{ { 1 \over n } }− { 1 \over n+1 } \right) }$

$ $　　　　　　　$\displaystyle { = 1−{ 1 \over n+1 } }$

のようなシグマの計算に使えます。

部分分数分解：数学Ⅲ「極限」

数学Ⅲ「極限」で

$ $　$\displaystyle {
\sum_{ \substack{k = 1} }^\infty
}
\displaystyle { 1 \over k(k+2) } = $ $ \displaystyle { { 1 \over 2 }
\sum_{ \substack{k = 1} }^\infty
}
\displaystyle { \left( { 1 \over k }−{ 1 \over k+2 } \right) }$

$ $　　　　　　 $\displaystyle { = { 1 \over 2 }
\lim_{n\rightarrow\infty}
\sum_{ \substack{k = 1} }^n
\left( { 1 \over k }−{ 1 \over k+2 } \right) }$

$ $　　　　　　 $\displaystyle { = { 1 \over 2 }
\lim_{n\rightarrow\infty}
\left( 1 + { 1 \over 2 } −{ 1 \over n+1 } −{ 1 \over n+2 } \right)
}$

$ $　　　　　　 $\displaystyle { = { 1 \over 2 } \cdot {3 \over 2} }$

$ $　　　　　　 $\displaystyle { = { 3 \over 4} }$

のような無限級数の計算が、素早くラクにできます。

部分分数分解：数学Ⅲ「積分」

あとは、数学Ⅲ「積分」でも

$ \displaystyle { \int { 1 \over x(x+1)(x+2) } \,dx } $

$ \displaystyle { = { 1 \over 2 } \int \left\{ { 1 \over x(x+1) } − { 1 \over (x+1)(x+2) } \right\} \,dx } $

$ \displaystyle { = { 1 \over 2 } \int \left\{ \left( { 1 \over x}−{1 \over x+1} \right) −\left( { 1 \over x+1} −{1 \over x+2 } \right) \right\} \,dx } $

$ \displaystyle { = { 1 \over 2 } \int \left( { 1 \over x}−{ 2 \over x+1} + {1 \over x+2 } \right) \,dx } $

$ \displaystyle { = { 1 \over 2 } \left( \log |x| − 2\log|x+1| + \log |x+2| \right) + C } $（$C$ は積分定数）

このように活躍します。

部分分数分解を5秒で簡単に計算するやり方【練習問題】

「部分分数分解を 5秒で簡単に計算するやり方」を練習問題でマスターしましょう！

【解答】を見る

【解答】

(1) $ \displaystyle { { 1 \over 2 } − { 1 \over 3 } } $

(2) $ \displaystyle { { 1 \over 6 } − { 1 \over 7 } } $

(3) $ \displaystyle { { 1 \over 4 } \left( { 1 \over 3 } − { 1 \over 7 } \right) } $

(4) $ \displaystyle { { 1 \over k } − { 1 \over k+1 } } $

(5) $ \displaystyle { { 1 \over k−1 } − { 1 \over k } } $

(6) $ \displaystyle { { 1 \over 5 } \left( { 1 \over m−2 } − { 1 \over m+3 } \right) } $

(7) $ \displaystyle { { 1 \over 3 } \left( { 1 \over 3k−2 } − { 1 \over 3k+1 } \right) } $

(8) $ \displaystyle { { 1 \over 4 } \left( { 1 \over 4n−1 } − { 1 \over 4n+3 } \right) } $

(9) $ \displaystyle { { 1 \over 2 } \left\{ \left( { 1 \over 3 }−{ 1 \over 4 } \right) − \left( { 1 \over 4 } −{ 1 \over 5 } \right) \right\} } $

(10) $ \displaystyle { { 1 \over 18 } \left\{ \left( { 1 \over 2 } − { 1 \over 5 } \right)− \left( { 1 \over 5 } − { 1 \over 8 } \right) \right\} } $

(11) $ \displaystyle { { 1 \over 2 } \left\{ \left( { 1 \over k}−{1 \over k+1} \right) −\left( { 1 \over k+1} −{1 \over k+2 } \right) \right\} } $

(12) $ \displaystyle { { 1 \over 8 } \left\{ \left( { 1 \over n−2}−{1 \over n} \right) − \left( { 1 \over n} −{1 \over n+2 } \right) \right\} } $

【解説（計算過程）】を見る

【解説】

(1)〜(8) 略

(9) $ \displaystyle { 1 \over 3 \cdot 4 \cdot 5 }$

$ $　$ \displaystyle { = { 1 \over 2 } \left( { 1 \over 3 \cdot 4 } − { 1 \over 4 \cdot 5 } \right) } $

$ $　$ \displaystyle { = { 1 \over 2 } \left\{ \left( { 1 \over 3 }−{ 1 \over 4 } \right) − \left( { 1 \over 4 } −{ 1 \over 5 } \right) \right\} } $

 

(10) $ \displaystyle { 1 \over 8 \cdot 5 \cdot 2 }$

$ $　$ \displaystyle { = { 1 \over 2 \cdot 5 \cdot 8 } }$

$ $　$ \displaystyle { = { 1 \over 6 } \left( { 1 \over 2 \cdot 5 } − { 1 \over 5 \cdot 8 } \right) } $

$ $　$ \displaystyle { = { 1 \over 6 } \left\{ { 1 \over 3 } \left( { 1 \over 2 } − { 1 \over 5 } \right)− { 1 \over 3 } \left( { 1 \over 5 } − { 1 \over 8 } \right) \right\} } $

$ $　$ \displaystyle { = { 1 \over 18 } \left\{ \left( { 1 \over 2 } − { 1 \over 5 } \right)− \left( { 1 \over 5 } − { 1 \over 8 } \right) \right\} } $

 

(11) $ \displaystyle { 1 \over k(k+1)(k+2) }$

$ $　$ \displaystyle { = { 1 \over 2 } \left\{ { 1 \over k(k+1) } − { 1 \over (k+1)(k+2) } \right\} } $

$ $　$ \displaystyle { = { 1 \over 2 } \left\{ \left( { 1 \over k}−{1 \over k+1} \right) −\left( { 1 \over k+1} −{1 \over k+2 } \right) \right\} } $

 

(12) $ \displaystyle { 1 \over (n+2)n(n−2) }$

$ $　$ \displaystyle { = { 1 \over (n−2)n(n+2) } }$

$ $　$ \displaystyle { = { 1 \over 4 } \left\{ { 1 \over (n−2)n } − { 1 \over n(n+2) } \right\} } $

$ $　$ \displaystyle { = { 1 \over 4 } \left\{ { 1 \over 2 } \left( { 1 \over n−2}−{1 \over n} \right) −{ 1 \over 2 } \left( { 1 \over n} −{1 \over n+2 } \right) \right\} } $

$ $　$ \displaystyle { = { 1 \over 8 } \left\{ \left( { 1 \over n−2}−{1 \over n} \right) − \left( { 1 \over n} −{1 \over n+2 } \right) \right\} } $

【まとめ】部分分数分解を5秒で簡単に計算するやり方

今回紹介した「部分分数分解を 5秒で簡単に計算するやり方」はマスターできましたか？

このやり方を知っているか知らないかで大きく差がつくので、

ぜひ何度も練習して自分のモノにしましょう！！

質問・要望があれば気軽にコメントください👍