二項定理の応用で（ ）の中が3つのときの係数や定数項を求める問題はどうすればいいの？
「多項定理の公式」の使い方をわかりやすく教えてほしい！
多項定理を使う応用・入試問題を解説してほしい！
こういった要望に応えます。
例えば
こんな問題でコツコツ展開するのは大変ですよね？
そんなときに役立つのが、展開式の裏ワザ「多項定理の公式」です。
今回は
- 多項定理の公式
- 多項定理で「係数」を求める問題（基本〜応用）
- 多項定理で「定数項」を求める問題（基本〜応用）
をマスターしましょう！
なお、多項定理の前に、二項定理をしっかり理解していないという人はこちらも読んでおきましょう。
二項定理の公式・一般項がなかなか覚えられない 二項定理の使い方、応用問題の解き方をわかりやすく教えてほしい！ こういったお悩みを解消します。 「二項定理の公式」を使って解く応用問題は、国公立大・私立大 に関[…]
多項定理の公式
多項定理の公式（一般項）は次の通り。
$ (a + b + c)^n $ の展開式の一般項は
$ $ $ \displaystyle{ {n! \over p! \ q! \ r!} \ a^p \ b^q \ c^r } $
ただし、$p, \ q, \ r$ は
$ \begin{cases}
p + q + r = n \\
\\
p≧0 \\
\\
q≧0 \\
\\
r≧0 \\
\end{cases}$
をみたす整数。
※ $ \begin{cases}
p≧0 \\
\\
q≧0 \\
\\
r≧0 \\
\end{cases}$ は
「$ p, \ q, \ r ≧0 $」
と表記してもOK。
例えば
$ (x + 2y + 3z)^5 $ の展開式の一般項は
$ $ $ \displaystyle{ {n! \over p! \ q! \ r!} \ x^p \cdot (2y)^q \cdot (3z)^r } $
ただし $ \begin{cases}
p + q + r = 5 \\
\\
p≧0 \\
\\
q≧0 \\
\\
r≧0 \\
\end{cases}$
という感じです。
文字が多くて一見複雑に見えますが、ただ公式に当てはめればOKです。
まずはこの「多項定理の公式（一般項）」を何も見ずに書けるようにしてください。
ちゃんと覚えられたら次に進みましょう！
多項定理で「係数」を求める問題【基本】
さっそく 多項定理の公式 で「係数」を求める問題 を解いてみましょう。
まずは基本問題からスタート！
【例題1】$ ( 2x −y + z )^8 $ の展開式における $ x^2 \ y^3 \ z^3 $ の項の係数を求めよ。
（ ）の中に3つ項があるので、多項定理の公式（一般項）を使います。
【解答】
$ ( 2x −y + z )^8 $ の展開式の一般項は
$ $ $ \displaystyle{ {8! \over p! \ q! \ r!} \cdot (2x)^p \cdot (−y)^q \cdot z^r } $
$ $ $ \displaystyle{ = {8! \over p! \ q! \ r!} \cdot 2^p \cdot x^p \cdot (−1)^q \cdot y^q \cdot z^r } $
$ $ $ \displaystyle{ = \underbrace{ \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{ {8! \over p! \ q! \ r!} \cdot 2^p \cdot (−1)^q } }_{係数} \cdot \underbrace{ \bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{ x^p \ y^q \ z^r } }_{文字 \\ (変数) } } $
ただし $ \begin{cases}
p + q + r = 8 \\
\\
p≧0 \\
\\
q≧0 \\
\\
r≧0 \\
\end{cases}$ ・・・①
こんな感じで $\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{係数}$ と $\bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{文字（変数）}$を分けておくのがコツです。
求める条件より
$\bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{文字（変数）}$ について、「$x^p \ y^q \ z^r$」と「$ x^2 \ y^3 \ z^3 $」が一致するはずなので
$ $ $ \bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{ x^\color{red}{p} \ y^\color{blue}{q} \ z^\color{green}{r} } = \bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{ x^\color{red}{2} \ y^\color{blue}{3} \ z^\color{green}{3} } $
より
$ \begin{cases}
\color{red}{p} = \color{red}{2} \\
\\
\color{blue}{q} = \color{blue}{3} \\
\\
\color{green}{r} = \color{green}{3} \\
\end{cases}$
これらは ① をみたす。
よって、$p=2, \ q=3, \ r=3$ のとき
$ x^2 \ y^3 \ z^3 $ の項の $\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{係数}$ は
$ $ $ \displaystyle{ \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{ {8! \over p! \ q! \ r!} \cdot 2^p \cdot (−1)^q } } $
$ $ $ \displaystyle{ = {8! \over 2! \ 3! \ 3!} \cdot 2^2 \cdot (−1)^3 } $
$ $ $ \displaystyle{ = { \require{cancel} 8 \cdot 7 \cdot \cancel{6} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \bcancel{3 \cdot 2} \over \bcancel{2!} \ \cancel{3!} \ \bcancel{3!} } \cdot \displaystyle{ \mathop{ \bcancel{4} }^2 } \cdot (−1) } $
$ $ $ = − 2240 $
この流れでやると上手く解けますね。
多項定理で「係数」を求める問題【応用】
次はちょっとだけ難しくなります。
多項定理の公式 で「係数」を求める応用問題（入試問題）です。
【例題2】$ \left( x^2 + x + 1 \right)^6 $ の展開式における $x^{10}$ の項の係数を求めよ。 [14 慶應大]
多項定理の公式（一般項）を使ってみましょう。
【解答】
$ \left( x^2 + x + 1 \right)^6 $ の展開式の一般項は
$ $ $ \displaystyle{ {6! \over p! \ q! \ r!} \cdot \left(x^2 \right)^p \cdot x^q \cdot 1^r } $
$ $ $ \displaystyle{ = {6! \over p! \ q! \ r!} \cdot x^{2p} \cdot x^q } $
$ $ $ \displaystyle{ = \underbrace{ \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{ {6! \over p! \ q! \ r!} } }_{係数} \cdot \underbrace{ \bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{ x^{2p+q} } }_{文字 \\ (変数) } } $
ただし $ \begin{cases}
p + q + r = 6 \\
\\
p≧0 \\
\\
q≧0 \\
\\
r≧0 \\
\end{cases}$ ・・・①
$\bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{文字（変数）}$ について、「$ x^{2p+q} $」と「$ x^{10} $」が一致するので
$ $ $ \bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{ x^\color{red}{2p+q} } = \bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{ x^\color{red}{10} } $
より
$ \color{red}{2p+q} = \color{red}{10} $
∴ $ q = 10 − 2p $ ・・・②
①、② を使って、まずは $p $ の条件（値）を絞り込んでいきましょう。
②、$ q≧0 $ より
$ $ $ 10 − 2p ≧0 $
∴ $ p ≦ 5 $ ・・・③
② を $ p + q + r = 6 $ に代入して
$ $ $ p + (10 − 2p) + r = 6 $
∴ $ r = p −4 $
$ r≧0 $ より
$ $ $ p −4 ≧0 $
∴ $ p ≧4 $ ・・・④
③、④ より
$ $ $ 4 ≦ p ≦ 5 $
∴ $ p =4, \ 5 $
$ p $ の値が決定したので、①、② に代入して $ q , \ r $ も出しておきます。
∴ $ ( p, \ q , \ r ) = ( 4, \ 2 , \ 0 ), \ ( 5, \ 0 , \ 1 ) $
あとは、これらの値を $\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{係数}$ の式に代入すれば Finish！
$ x^{10} $ の項の $\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{係数} \displaystyle{ \left( {6! \over p! \ q! \ r!} \right) } $ は
$ $ $ \displaystyle{ {6! \over 4! \ 2! \ 0!} + {6! \over 5! \ 0! \ 1!} } $
$ $ $ \displaystyle{ = { \require{cancel} \displaystyle{ \mathop{ \cancel{6} }^3 } \cdot 5 \cdot \bcancel{4!} \over \bcancel{4!} \cdot \cancel{2} } + {6 \cdot \cancel{5!} \over \cancel{5!} } } $ ・・・（注）
$ $ $ =21$
（注）$ 0! = 1 $
多項定理で「定数項」を求める問題【基本】
続いて、多項定理の公式 で「定数項」を求める問題（基本）です。
「定数項」を求めると言っても、やることは「係数」の問題と同じ。
【例題3】$ \displaystyle{ \left(x + 1 + {1 \over x} \right)^7 } $ の展開式における定数項を求めよ。 [大分大]
いつも通り、多項定理を使ってみましょう。
【解答】
$ \displaystyle{ \left(x + 1 + {1 \over x} \right)^7 } $ の展開式の一般項は
$ $ $ \displaystyle{ {7! \over p! \ q! \ r!} \cdot x^p \cdot 1^q \cdot \left( {1 \over x} \right)^r } $
$ $ $ \displaystyle{ = {7! \over p! \ q! \ r!} \cdot x^p \cdot x^{-r} } $
$ $ $ \displaystyle{ = \underbrace{ \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{ {7! \over p! \ q! \ r!} } }_{係数} \cdot \underbrace{ \bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{ x^{p-r} } }_{文字 \\ (変数) } } $
ただし $ \begin{cases}
p + q + r = 7 \\
\\
p≧0 \\
\\
q≧0 \\
\\
r≧0 \\
\end{cases}$ ・・・①
これが「定数項」になるとき
$\bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{文字（変数）}$ の部分が消えて（$1$ になって）
$\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{係数}$ だけになるので
$ $ $ x^\color{red}{p-r}= 1 $
∴ $ x^\color{red}{p-r}= x^\color{red}{0} $
より
$ \color{red}{p-r}= \color{red}{0} $
∴ $ p = r $ ・・・②
①、② から、まずは $ p $ の値を絞り込みます。
② を $ p + q + r = 7 $ に代入して
$ $ $ p + q + p = 7 $
∴ $ q = 7 − 2p $ ・・・③
$ q ≧ 0 $ より
$ $ $ 7 − 2p ≧ 0 $
∴ $ \displaystyle{ p ≦ {7 \over 2} = 3{1 \over 2} } $
$ p ≧ 0 $ より
$ $ $ 0 ≦ p ≦ 3 $
∴ $ p = 0, \ 1, \ 2, \ 3 $
$ p $ の値が出たので、②、③ に代入して $ q , \ r $ の値も出しておきます。
∴ $ ( p, \ q , \ r ) = $ $ ( 0, \ 7 , \ 0 ), \ ( 1, \ 5 , \ 1 ) , \ ( 2, \ 3 , \ 2 ) , \\ ( 3, \ 1 , \ 3 ) $
仕上げに、これらの値を $\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{係数}$ の式に代入すれば Finish！
定数項 $ \left( \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{ \displaystyle{ {7! \over p! \ q! \ r!} } } \right) $ は
$ $ $ \displaystyle{ {7! \over 0! \ 7! \ 0!} + {7! \over 1! \ 5! \ 1!} + {7! \over 2! \ 3! \ 2!} + {7! \over 3! \ 1! \ 3!} } $
$ \displaystyle{ = {7! \over 7! } + {7! \over 5! } + {7! \over 2! \ 3! \ 2!} + {7! \over 3! \ 3!} } $
$ \displaystyle{ = \require{cancel} { \bcancel{7!} \over \bcancel{7!} } + {7 \cdot 6 \cdot \cancel{5!} \over \cancel{5!} } + {7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cancel{4} \cdot \bcancel{3!} \over \cancel{2} \cdot \bcancel{3!} \cdot \cancel{2} } \\ \enspace + {7 \cdot \cancel{6} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \bcancel{3!} \over \cancel{3!} \ \bcancel{3!} } } $
$ = 1 + 42 + 210 + 140 $
$ = 393 $
$ ( p, \ q , \ r ) $ の組を絞り込んでいくやり方は、整数問題でもよく使います。
しっかり慣れておきましょう。
多項定理で「定数項」を求める問題【応用】
いよいよラスト、多項定理の公式 で「定数項」を求める応用問題 です。
これが解けたら、多項定理の問題は怖いものなしです！
【例題4】$ \displaystyle{ \left(a + b + {1 \over a} + {1 \over b} \right)^6 } $ の展開式における定数項を求めよ。 [類 関西学院大]
（ ）の中に4つ項がありますが、心配無用！
たとえいくつ項があっても 多項定理の公式 は使えます。
- 【解答】を見る
-
【解答】
$ \displaystyle{ \left(a + b + {1 \over a} + {1 \over b} \right)^6 } $ の展開式の一般項は
$ $ $ \displaystyle{ {6! \over p! \ q! \ r! \ s! } \cdot a^p \cdot b^q \cdot \left( {1 \over a} \right)^r \cdot \left( {1 \over a} \right)^s } $
$ $ $ \displaystyle{ = {6! \over p! \ q! \ r! \ s! } \cdot a^p \cdot b^q \cdot a^{-r} \cdot b^{-s} } $
$ $ $ \displaystyle{ = {6! \over p! \ q! \ r! \ s! } \cdot a^{p-r} \cdot b^{q-s} } $
$ $ $ \displaystyle{ = \underbrace{ \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{ {6! \over p! \ q! \ r! \ s! } } }_{係数} \cdot \underbrace{ \bbox[#FFF2CC, 2pt, border:]{ a^{p-r} \cdot b^{q-s} } }_{文字 \\ (変数) } } $
ただし $ \begin{cases}
p + q + r + s = 6 \\
\\
p≧0 \\
\\
q≧0 \\
\\
r≧0 \\
\\
s≧0 \\
\end{cases}$これが定数項になるとき
$ $ $ \begin{cases}
p-r = 0 \\
\\
q-s = 0 \\
\end{cases}$∴ $ \begin{cases}
p = r \\
\\
q = s \\
\end{cases}$ ・・・①① を $ p + q + r + s = 6 $ に代入して
$ $ $ p + q + p + q = 6 $
∴ $ 2p + 2q = 6 $
∴ $ q = 3 − p $
$ q≧0 $ より
$ $ $ 3 − p ≧0 $
∴ $ p ≦ 3 $
$ p≧0 $ より
$ $ $ 0 ≦ p ≦ 3 $
∴ $ p = 0, \ 1, \ 2, \ 3 $
よって
$ $ $ ( p, \ q , \ r , \ s ) =$ $ ( 0, \ 3 , \ 0 , \ 3 ), \ ( 1, \ 2 , \ 1 , \ 2 ), \\ ( 2, \ 1 , \ 2 , \ 1 ), \ ( 3, \ 0 , \ 3 , \ 0 ) $
したがって、定数項 $ \left( \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{ \displaystyle{ { 6! \over p! \ q! \ r! \ s! } } } \right) $ は
$ \displaystyle{ { 6! \over 0! \ 3! \ 0! \ 3! } + { 6! \over 1! \ 2! \ 1! \ 2! } + { 6! \over 2! \ 1! \ 2! \ 1! } \\ + { 6! \over 3! \ 0! \ 3! \ 0! } } $
$ \displaystyle{ = { 6! \over 3! \cdot 3! } \cdot 2 \ + { 6! \over 2 \cdot 2 } \cdot 2 } $
$ \displaystyle{ = \require{cancel} { \bcancel{6} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cancel{3!} \over \bcancel{3!} \cdot \cancel{3!} } \cdot 2 \ + { 6 \cdot 5 \cdot \bcancel{4} \cdot 3 \cdot 2 \over \bcancel{2 \cdot 2} } \cdot 2 } $
$ = 400 $
以上です。お疲れ様でした！
【まとめ】多項定理の公式
最後に、多項定理の公式（一般項）をまとめておきます。
$ (a + b + c)^n $ の展開式の一般項は
$ $ $ \displaystyle{ {n! \over p! \ q! \ r!} \ a^p \ b^q \ c^r } $
ただし、$p, \ q, \ r$ は
$ \begin{cases}
p + q + r = n \\
\\
p≧0 \\
\\
q≧0 \\
\\
r≧0 \\
\end{cases}$
をみたす整数。
もし
$ $ $ (a + b + c + d)^n $
$ $ $ (a + b + c + d + e)^n $
$ $ $ \vdots $
こんな感じで（ ）の中にいくつ項が含まれていても「多項定理の公式」を使うことができます！
参考：二項定理の公式
「二項定理の公式」についておさらいしたい人はこちら。
二項定理の公式・一般項がなかなか覚えられない 二項定理の使い方、応用問題の解き方をわかりやすく教えてほしい！ こういったお悩みを解消します。 「二項定理の公式」を使って解く応用問題は、国公立大・私立大 に関[…]
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