【中3数学】「平方根（ルート○○）が自然数となるn」を簡単に求める方法【基本＆応用問題つき】

平方根の「ルート○○が自然数となるn」の求め方がよく分からない

簡単に求める方法はないの？

テストや入試によく出る問題を解いておきたい！

こういった要望に応えます。

例えば、

のような

「平方根（ルート○○）が自然数となるn」を求める問題は、学校のテストや高校入試でもよく出るので、しっかりマスターしておきましょう。

できるだけ分かりやすく丁寧に解説していきます！

「平方根（ルート○○）が自然数となるn」を簡単に求める方法

「平方根（ルート○○）が自然数となるn」を簡単に求める方法（手順）はこちら。

次の問題を使って説明します。

① √の外に出せるだけ出す（√の中をできるだけ簡単な数にする）

$ $　「$28$」を素因数分解すると

$ $　$28 = 2^2 × 7 $ より

$ $　$ \sqrt{28n} = \sqrt{2^2 ×7 × n} = 2 \sqrt{7×n} $

② √が外（はず）れるような $n$ を考える

$ $　$ 2 \sqrt{7 × n} $

の√が外れるのは、

「$ \sqrt{□^2}$」の形になるときなので

$ n = \color{red}{7} $ のとき

「平方根（ルート○○）が自然数となるn」を求める問題 Lv.1【基本】

実際に「平方根（ルート○○）が自然数となるn」を求める問題を解いてみましょう。

まずは、学校の定期テストによく出る基本問題から。

【問題1】$ \sqrt{90n} $ が自然数となるような、最も小さい自然数 $n$ の値を求めなさい。

【解答・解説】を見る

【解答】$n=10$

【解説】

① √の外に出せるだけ出す

$ $　$ \sqrt{90n} = \sqrt{2×3^2×5 n} = 3 \sqrt{2×5×n} $

 

② √が外れるような $n$ を考える

$n = \color{red}{2} × \color{blue}{5} = 10 $ のとき

$ $　$ 3 \sqrt{2×5×n} $

$ $　$ = 3 \sqrt{ 2×5×\color{red}{2}×\color{blue}{5} } $

$ $　$ = 3 \sqrt{ 2^2×5^2 } $

$ $　$ = 3 ×2×5 $

$ $　$ = 30 $

となって、√がうまく外れました。

【問題2】$ \displaystyle{ \sqrt{ 75 \over n } } $ が自然数となるような、最も小さい自然数 $n$ の値を求めなさい。

【解答・解説】を見る

【解答】$n=3$

【解説】

① √の外に出せるだけ出す

$ $　$ \displaystyle{ \sqrt{ 75 \over n } = \sqrt{ 5^2×3 \over n } = 5 \sqrt{ 3 \over n } } $

 

② √が外れるような $n$ を考える

$ $　$n= \color{red}{3} $ のとき

$ $　$ \displaystyle{ 5 \sqrt{ 3 \over \color{red}{n} } } $

$ $　$ \displaystyle{ = 5 \sqrt{ 3 \over \color{red}{3} } } $

$ $　$ \displaystyle{ = 5 \sqrt{ \require{cancel} \cancel{3} \over \cancel{3} } } $

$ $　$ = 5$

【問題3】$ \displaystyle{ \sqrt{ 28n \over 3 } } $ が自然数となるような、最も小さい自然数 $n$ の値を求めなさい。

【解答・解説】を見る

【解答】$ n=21$

【解説】

① √の外に出せるだけ出す

$ $　$ \displaystyle{ \sqrt{ 28n \over 3 } = \sqrt{ 2^2 × 7n \over 3 } = 2 \sqrt{ 7×n \over 3 } } $

 

② √が外れるような $n$ を考える

$n = \color{red}{7}×\color{blue}{3} = 21 $ のとき

$ $　$ \displaystyle{ 2 \sqrt{ 7×n \over 3 } } $

$ $　$ \displaystyle{ = 2 \sqrt{ 7×\color{red}{7}×\color{blue}{3} \over 3 } } $

$ $　$ \displaystyle{ = 2 \sqrt{ 7^2 × \require{cancel} \bcancel{3} \over \bcancel{3} } } $

$ $　$ = 2×7 $

【問題4】$ \displaystyle{ { \sqrt{18n} \over 5 } } $ が自然数となるような、最も小さい自然数 $n$ の値を求めなさい。

【解答・解説】を見る

【解答】$n=50$

【解説】

① √の外に出せるだけ出す

$ \displaystyle{ { \sqrt{18n} \over 5 }  = { \sqrt{2×3^2×n} \over 5 } = { 3 \sqrt{2×n} \over 5 } } $

 

② √が外れるような $n$ を考える

この形のままだと考えにくいので

あえて「分母をルートの中に入れる」のがポイントです。

$ $　$ \displaystyle{ { 3 \sqrt{2×n} \over 5 } } $

$ $　$ \displaystyle{ = { 3 \sqrt{2×n} \over \sqrt{5^2} } } $

$ $　$ \displaystyle{ = { 3 \sqrt{2×n \over 5^2 } } } $

よって、$n=\color{red}{2}×\color{blue}{5^2} = 50 $ のとき

$ $　$ \displaystyle{ { 3 \sqrt{2×n \over 5^2 } } } $

$ $　$ \displaystyle{ = { 3 \sqrt{2×\color{red}{2}×\color{blue}{5^2} \over 5^2 } } } $

$ $　$ \displaystyle{ = { 3 \sqrt{2^2×\require{cancel} \cancel{5^2} \over \cancel{5^2} } } } $

$ $　$ \displaystyle{ = { 3 ×2 } } $

$ $　$ = 6 $

【問題5】$ \sqrt{11−n} $ が自然数となるような、自然数 $n$ の値をすべて求めなさい。

【解答・解説】を見る

【解答】$n=2, 7, 10$

【解説】

① √の外に出せるだけ出す

$ $　これ以上 √の外に出せないのでこのまま。

 

② √が外れるような $n$ を考える

$ $　$ \sqrt{11−n} = \sqrt{□^2} $

つまり

$ $　$ 11−n = □^2 $

となるような □（自然数） を考えると

✔︎ $□=1$ のとき

$ $　$ 11−n = □^2 $ に代入して

$ $　$11−n =1$

$ $　$n =10$

✔︎ $□=2$ のとき

$ $　$ 11−n = □^2 $ に代入して

$ $　$11−n =4$

$ $　$n =7$

✔︎ $□=3$ のとき

$ $　$ 11−n = □^2 $ に代入して

$ $　$11−n =9$

$ $　$n =2$

✔︎ $□=4$ のとき

$ $　$ 11−n = □^2 $ に代入して

$ $　$11−n =16$

$ $　$n =−5$　×（自然数でない）

ここまで解けるようなったら、学校の定期テストはひと安心です。

「平方根（ルート○○）が自然数となるn」を求める問題 Lv.2【応用】

次に「平方根（ルート○○）が自然数となるn」を求める応用問題を解いてみましょう。

学校のテストで90点以上をとりたい人は、これらの問題も解けるようにしておきましょう！

【問題1】$ \sqrt{11n} $ が自然数となるような $100$ 以下の自然数 $n$ の値をすべて求めなさい。

【解答・解説】を見る

【解答】$n=11, 44, 99$

【解説】

① √の外に出せるだけ出す

$ $　これ以上 √の外に出せないのでこのまま。

 

② √が外れるような $n$ を考える

$ n = \color{red}{11×□^2} $ のとき

$ $　$ \sqrt{11 \color{red}{n} } = \sqrt{11×\color{red}{11×□^2} } = \sqrt{11^2×□^2} = 11×□ $

となって、√が外れます。

 

「$ n = 11×□^2 $」の $□$（自然数） に $1$ から順に入れていくと

✔︎ $□=1$ のとき

$ $　$n = 11×1^2 = 11 $

※ $ \sqrt{11 \color{red}{n} } = \sqrt{11×\color{red}{11} } = \sqrt{11^2} = 11 $

✔︎ $□=2$ のとき

$ $　$n = 11×2^2 = 44 $

※ $ \sqrt{11n} = \sqrt{11× \color{red}{11×2^2} } = \sqrt{11^2×2^2} = 22 $

✔︎ $□=3$ のとき

$ $　$n = 11×3^2 = 99 $

※ $ \sqrt{11n} = \sqrt{11×\color{red}{11×3^2} } = \sqrt{11^2×3^2} = 33 $

✔︎ $□=4$ のとき

$ $　$n = 11×4^2 = 176 $　×（$100$ をこえる）

【問題2】$ \displaystyle{ \sqrt{ 84 \over 4n+1 } } $ が自然数となるような、最も小さい自然数 $n$ の値を求めなさい。

【解答・解説】を見る

【解答】$ n = 5 $

【解説】

① √の外に出せるだけ出す

$ $　$ \displaystyle{ \sqrt{ 84 \over 4n+1 } = \sqrt{ 2^2×3×7 \over 4n+1 } = 2 \sqrt{ 21 \over 4n+1 } } $

 

② √が外れるような $n$ を考える

$ 4n+1 = \color{red}{21} $ つまり $ n = 5 $ のとき

$ $　$ \displaystyle{ 2 \sqrt{ 21 \over \color{red}{4n+1} } = 2 \sqrt{ \require{cancel} \cancel{21} \over \cancel{ \color{red}{21} } } = 2 } $

となって、√ が外れますね。

【問題3】$ \sqrt{360−12n} $ が整数となるような、自然数 $n$ の値をすべて求めなさい。

【解答・解説】を見る

【解答】$n=3, 18, 27, 30$

【解説】

① √の外に出せるだけ出す

$ $　$ \sqrt{360−12n} = \sqrt{ 12(30−n) } = 2 \sqrt{ 3(30−n) } $

 

② √が外れるような $n$ を考える

$ 30−n = \color{red}{3×□^2} $ のとき

$ $　$ 2 \sqrt{ 3( \color{red}{ 30−n } ) } = 2 \sqrt{ 3×\color{red}{3×□^2} } = 2 \sqrt{ 3^2×□^2 } = 2×3×□ $

となって、√が外れます。

 

「$ 30−n = 3×□^2 $」の $□$（整数） に $0$ から順に入れていくと

✔︎ $□=0$ のとき

$ $　$ 30−n = 3×0^2 $

$ $　$ 30−n = 0 $

$ $　$ n = 30 $

※ $ 2 \sqrt{ 3( \color{red}{ 30−n } ) } = 2 \sqrt{ 3×\color{red}{3×0^2} } = 0 $ （整数なのでOK）

✔︎ $□=1$ のとき

$ $　$ 30−n = 3×1^2 $

$ $　$ 30−n = 3 $

$ $　$ n = 27 $

※ $ 2 \sqrt{ 3( \color{red}{ 30−n } ) } = 2 \sqrt{ 3×\color{red}{3×1^2} } = 2 \sqrt{ 3^2 } = 2×3 $

✔︎ $□=2$ のとき

$ $　$ 30−n = 3×2^2 $

$ $　$ 30−n = 12 $

$ $　$ n = 18 $

※ $ 2 \sqrt{ 3( \color{red}{ 30−n } ) } = 2 \sqrt{ 3×\color{red}{3×2^2} } = 2 \sqrt{ 3^2×2^2 }= 2×3×2 $

✔︎ $□=3$ のとき

$ $　$ 30−n = 3×3^2 $

$ $　$ 30−n = 27 $

$ $　$ n = 3 $

※ $ 2 \sqrt{ 3( \color{red}{ 30−n } ) } = 2 \sqrt{ 3×\color{red}{3×3^2} } = 2 \sqrt{ 3^2×3^2 }= 2×3×3 $

✔︎ $□=4$ のとき

$ $　$ 30−n = 3×4^2 $

$ $　$ 30−n = 48 $

$ $　$ n = −18 $　×（自然数でない）

【問題4】2けたの自然数 $a$ と3けたの自然数 $b$ について、$a:b=3:4$ であり、$ \sqrt{a+b} $ が自然数となるとき、$a, b$ の値を求めなさい。

$a:b=3:4$ ということを、自然数 $n$ を使って表してみましょう。

【解答・解説】を見る

【解答】$a= 84, \enspace b= 112$

【解説】

⓪ 準備

$a:b=3:4$ より

$ $　$a=3n, \enspace b=4n$ ( $n$ は自然数)

とおくと

$ $　$ \sqrt{a+b} = \sqrt{3n+4n} = \sqrt{7n} $

 

① √の外に出せるだけ出す

$ $　これ以上 √の外に出せないのでこのまま。

 

② √が外れるような $n$ を考える

$ n = \color{red}{7×□^2} $ のとき

$ $　$ \sqrt{7 \color{red}{n} } = \sqrt{7×\color{red}{7×□^2} } = \sqrt{7^2×□^2} = 7×□ $

となって、√が外れます。

 

「$ n = 7×□^2 $」の $□$（自然数） に $1$ から順に入れていくと

✔︎ $□=1$ のとき

$ $　$ n = 7×1^2 = 7 $ より

$ $　$a=3×7 = 21, \enspace b=4×7 = 28$　×（$b$ が2けた）

✔︎ $□=2$ のとき

$ $　$ n = 7×2^2 = 28 $ より

$ $　$a=3×28 = 84, \enspace b=4×28 = 112$　○

✔︎ $□=3$ のとき

$ $　$ n = 7×3^2 = 63 $ より

$ $　$a=3×63 = 189, \enspace b=4×63 = 252$　×（$a$ が3けた）

【問題5】$ \left( 3 + \sqrt{2} \right) \left( a−4 \sqrt{2} \right) $ が有理数となるような $a$ の値を求めなさい。ただし、$a$ は有理数とします。

この問題は今までとパターンが違いますね。まずは展開してみましょう。

【解答・解説】を見る

【解答】$ a=12 $

【解説】

$ \left( 3 + \sqrt{2} \right) \left( a−4 \sqrt{2} \right) $

$ = 3a −12 \sqrt{2} +  \sqrt{2} a −8 $

$ = ( 3a −8 ) + ( a−12 ) \sqrt{2} $

これが有理数になるためには、

$ ( 3a −8 ) $ は有理数なので

$ ( a−12 ) \sqrt{2} = 0 $ （有理数）となればOK。

よって、$ a=12 $

※ このとき、確かに $ ( 3a −8 ) + ( a−12 ) \sqrt{2} = 28 $ （有理数）

以上です。お疲れ様でした！

【まとめ】「平方根（ルート○○）が自然数となるn」の求め方

最後に、「平方根（ルート○○）が自然数となるn」の求め方をまとめておきます。

たくさん問題を解いて慣れておきましょう！

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