【中学数学】平方根（ルート○○）の整数部分、小数部分の求め方はこれだけ！【基本＆応用問題つき】

平方根√（ルート）の整数部分、小数部分の求め方がよく分からない

そもそも√の数の整数部分、小数部分って何？

わかりやすく解説してほしい！

こういった疑問・要望にこたえます。

このページを読めば、中学数学における平方根の

のようなパターンの問題を迷うことなくスラスラ解けるようになります。

平方根（ルート○○）の整数部分・小数部分【基本編】

まずは「平方根√（ルート）の数の整数部分・小数部分って何？」から解説します。

【例題1-1】$ \sqrt{7}$ の整数部分、小数部分を求めなさい。

もし $ \sqrt{7} = \color{red}{2}.\color{blue}{645 ⋯ } $ という近似値（きんじち）を覚えていれば、

・整数部分は $ \color{red}{2}$

・小数部分は $ \sqrt{7} − \color{red}{2}$

（$ = \color{red}{2}.\color{blue}{645 ⋯ } − \color{red}{2} = 0. \color{blue}{645 ⋯ } $）

であっさり終わりです。

ですが、例えば $ \sqrt{19} $ とかになると、ほとんどの人は覚えてないですよね？

なので、次のやり方をマスターしておきましょう。

まず「$ \sqrt{7}$」を2乗した形「$7$」で考えます。

$○^2＜7＜□^2$ となるような数ではさむと

$○＜\sqrt{7}＜□$ と分かりますね。

$ \sqrt{7}$ が $2$ と $3$ の間にあることが分かりました。

これを 数直線で表す と

こんな感じなので、

$ $　$ \sqrt{7} = \color{red}{2} . \color{blue}{⋯} $

というところまでは言えますね。

整数部分は、$\sqrt{7} $ を超えない最大の整数の「$\color{red}{2}$」です。

小数部分は、$\sqrt{7} $ から 整数部分の $\color{red}{2}$ を引いたものなので「$ \color{blue}{\sqrt{7} − 2} $」です。

小数部分の求め方は、次のように覚えておきましょう。

【例題1-2】$ \sqrt{10}$ の整数部分、小数部分を求めなさい。

さっきと同じように考えてみます。

ここまで理解できたら次に進みましょう。

平方根（ルート○○） の整数部分、小数部分を求める問題【基本編】

さっそく「平方根（ルート○○）の整数部分、小数部分を求める問題」をやってみましょう！

まずは 基本問題 からスタート！

【問題1】$ \sqrt{6}$ の整数部分、小数部分を求めなさい。

【解答・解説】を見る

【解答】整数部分 $ 2 $、小数部分 $ \sqrt{6}−2 $

【解説】

$4＜6＜9$ より

$ \sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9} $

$ \color{red}{2}＜\sqrt{6}＜3 $

数直線で表すと

よって、$\sqrt{6}$ の

・整数部分は $\color{red}{2}$

・小数部分は $\sqrt{6}−2 $

【問題2】$ 2 + \sqrt{2}$ の整数部分、小数部分を求めなさい。

まずは $ \sqrt{2} $ の整数部分を求めるところからスタートしましょう。

【解答・解説】を見る

【解答】整数部分 $ 3 $、小数部分 $ \sqrt{2}−1 $

【解説】

$1＜2＜4$ より

$ \sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4} $

$ 1＜\sqrt{2}＜2 $

それぞれの辺に $2$ を足して

$ 1+2＜2+ \sqrt{2}＜2+2 $

$ \color{red}{3}＜2+ \sqrt{2}＜4 $

数直線で表すと

よって、$ 2+ \sqrt{2}$ の

・整数部分は $\color{red}{3}$

・小数部分は $ \left( 2+ \sqrt{2} \right)−3 = \sqrt{2} −1 $

【問題3】$ \sqrt{5} $ の小数部分を $a$ とするとき、$ a^2 + a −2$ の値を求めなさい。

$ \sqrt{5} $ の小数部分を求めてから、$ a^2 + a −2 $ にそのまま代入すると計算が少し大変ですね。

【解答・解説】を見る

【解答】$ 5−3 \sqrt{5} $

【解説】

$4＜5＜9$ より

$ \sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9} $

∴ $ \color{red}{2}＜\sqrt{5}＜3 $

数直線で表すと

よって、$\sqrt{5}$ の

・整数部分は $ \color{red}{2} $

・小数部分は $ a= \sqrt{5}−2 $

 

ゆえに

$ a^2 +a −2$

$ = (a−1)(a+2)$ （因数分解）

$ = \left(\sqrt{5}−2−1 \right) \left(\sqrt{5}−2 + 2 \right) $ （$a$ を代入）

$ = \left(\sqrt{5}−3 \right) \sqrt{5} $

$ = 5−3 \sqrt{5} $

以上、基本編でした！

a√b の整数部分・小数部分の求め方【応用編】

ここからは、中学数学の「平方根の応用」に入ります。

まずは、a√b の整数部分・小数部分 の求め方です。

【例題2-1】$ 2 \sqrt{5}$ の整数部分、小数部分を求めなさい。

これは要注意！ まずはよくあるダメな例から。

「あれ？整数部分って $4$ と $5$ のどっちだ？」となってしまい、うまくいきません。

というわけで、正しいやり方はこちら。

となり、正しく求められました。

a√b の整数部分・小数部分 の求め方をまとめると

−√a の整数部分・小数部分の求め方【応用編】

続いて、−√a の整数部分・小数部分 の求め方です。

【例題3-1】$ 5−\sqrt{6}$ の整数部分、小数部分を求めなさい。

まずは「$ \sqrt{6} $ がどんな値か？」から考えます。

（注）不等式にマイナスの数をかけると、不等号の向きが逆になる（大小関係が逆になるってこと）

−√a の整数部分・小数部分 の求め方をまとめると

平方根（ルート○○） の整数部分、小数部分を求める問題【応用編】

それでは「平方根（ルート○○）の整数部分、小数部分を求める問題」（応用問題）にチャレンジしてみましょう！

【問題1】$ 2 \sqrt{5} − 2 $ の小数部分を $a$ とするとき、$ a^2+4a $ の値を求めなさい。

【解答・解説】を見る

【解答】$ 20 −8 \sqrt{5} $

【解説】

$ 2 \sqrt{5} = \sqrt{20} $

$16＜20＜25$より

$ $　$ \sqrt{16}＜\sqrt{20}＜\sqrt{25} $

$ $　$ 4＜\sqrt{20}＜5 $

$ $　$ 4＜2 \sqrt{5}＜5 $

それぞれの辺から $2$ を引いて

$ $　$ \color{red}{2}＜2 \sqrt{5} −2 ＜3 $

数直線で表すと

よって、$ 2 \sqrt{5} −2 $ の

・整数部分は $\color{red}{2}$

・小数部分は $ a = \left( 2 \sqrt{5} −2 \right) −\color{red}{2} = 2 \sqrt{5}−4 $

 

ゆえに

$ a^2 +4a $

$ = a(a+4) $（因数分解）

$ = \left( 2 \sqrt{5}−4 \right) \left( 2 \sqrt{5}−4 + 4 \right) $（$a$ を代入）

$ = \left( 2 \sqrt{5}−4 \right) × 2 \sqrt{5} $

$ = 20 −8 \sqrt{5} $

【問題2】$ 5 − \sqrt{2} $ の整数部分を $a$ 、小数部分を $b$ とするとき、$ \displaystyle{ b^2 + {1 \over 3} ab } $ の値を求めなさい。

【解答・解説】を見る

【解答】$ 8 − 5 \sqrt{2} $

【解説】

$1＜2＜4$ より

$ $　$ \sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4} $

$ $　$ 1＜\sqrt{2}＜2 $

それぞれの辺に $−1$ をかけて

$ $　$ −1＞− \sqrt{2}＞−2 $　←【例題3-1】参照

$ $　$ −2＜ − \sqrt{2}＜−1 $（左右を逆にした）

それぞれの辺に $5$ を足して

$ $　$ \color{red}{3}＜ 5 − \sqrt{2}＜4 $

数直線で表すと

よって、$ 5 − \sqrt{2} $ の

・整数部分は $ a = \color{red}{3}$

・小数部分は $ b = \left( 5 − \sqrt{2} \right) −\color{red}{3} = 2 − \sqrt{2} $

 

ゆえに

$ \displaystyle{ b^2 + {1 \over 3} ab } $

$ \displaystyle{ = b \left( b + {1 \over 3} a \right) } $

$ \displaystyle{ = \left( 2 − \sqrt{2} \right) \left( 2 − \sqrt{2} + {1 \over \require{cancel} \bcancel{3} } × \bcancel{3} \right) } $（$a, b$ を代入）

$ \displaystyle{ = \left( 2 − \sqrt{2} \right) \left( 3 − \sqrt{2} \right) } $

$ \displaystyle{ = 6 − 5 \sqrt{2} + 2 } $

$ \displaystyle{ = 8 − 5 \sqrt{2} } $

【問題3】$ \left( \sqrt{2} + \sqrt{3} \right)^2 $ の小数部分を $x$ とするとき、$ x^2 + 8x −20 $ の値を求めなさい。

まずは $ \left( \sqrt{2} + \sqrt{3} \right)^2 $ を展開してみましょう。

【解答・解説】を見る

【解答】$ −12 $

【解説】

$ \left( \sqrt{2} + \sqrt{3} \right)^2 $

$ = 2 + 2 \sqrt{6} + 3 $

$ = 5 + 2 \sqrt{6} $

$ = 5 +  \sqrt{24} $　←【例題2-1】参照

 

ここで

$ $　$16＜24＜25$

$ $　$ \sqrt{16} ＜ \sqrt{24} ＜ \sqrt{25} $

$ $　$ 4 ＜ \sqrt{24} ＜ 5 $

$ $　$ 4 ＜ 2 \sqrt{6} ＜ 5 $

それぞれの辺に $5$ を足して

$ $　$ \color{red}{9} ＜ 5 + 2 \sqrt{6} ＜ 10 $

数直線で表すと

よって、$ 5 + 2 \sqrt{6} $ の

・整数部分は $  \color{red}{9}$

・小数部分は $ x = \left( 5 + 2 \sqrt{6} \right) −\color{red}{9} = 2 \sqrt{6} −4 $

 

ゆえに

$ x^2 + 8x −20 $

$ = (x + 10) (x −2) $

$ = \left( 2 \sqrt{6} −4 + 10 \right) \left( 2 \sqrt{6} −4 −2 \right) $（$x$ を代入）

$ = \left( 2 \sqrt{6} + 6 \right) \left( 2 \sqrt{6} −6 \right) $

$ = \left( 2 \sqrt{6} \right)^2 −6^2 $　← 展開の公式 $ (x+y)(x−y) = x^2 − y^2 $ を利用

$ = 24 −36 $

$ = −12 $

【問題4】$ \sqrt{n} $ の整数部分が $3$ となるような自然数 $n$ の値は何個あるか答えなさい。

いよいよラストです。

もし整数部分で困ったら、とりあえず数直線をかいて考えましょう。

【解答・解説】を見る

【解答】$ 7 $ 個

【解説】

$ \sqrt{n} $ の整数部分が $3$ なので

$ $　$ \color{red}{3} ≦ \sqrt{n} ＜ 4 $

つまり

$ $　$ \sqrt{9} ≦ \sqrt{n} ＜ \sqrt{16} $

ルートの中身だけ見ると

$ $　$ 9 ≦ n ＜ 16 $

これを満たす $n$ の値は

$ $　$ n = 9, 10, 11, … 15 $

よって、その個数は

$ $　$ 15 − 9 + 1 = 7 $（個）

 

（注）整数 $A$〜$B$ までの個数は
「$ B− A + 1 $（個）」

おしり − 頭 + 1（個）

と覚える！

最後に

最後にまとめです。

「平方根（ルート○○）の整数部分、小数部分を求める問題」を解くときは

$ $　数直線をかく

のがオススメ！

「平方根（ルート○○）が自然数となるn」の求め方

のようなパターンの問題の解き方をマスターしたい人はこちら。

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