【隣接3項間の漸化式】解法をわかりやすく丁寧に解説!【特性方程式パターン3つ+αを完全理解】

「隣接3項間の漸化式」の解法パターンを完璧にしたい!

特性方程式が重解をもつ or もたないか?で解法がどう変わるの?

具体的な解法ステップをわかりやすく丁寧に教えてほしい!

こういった要望に応えます。

 

隣接3項間の漸化式($ a_{n+2} + p a_{n+1} + q a_n = 0 $)」は、国公立大難関私立大 の入試でよく出る問題のひとつです。

このページでは「隣接3項間の漸化式」の 主要な解法パターン3つ を整理してまとめました。

数列があまり得意ではないという人も理解しやすいように、わかりやすく丁寧に解説してあります。

「数列は得意分野だ!」という自信のある人も、最後まで読んで入試の基礎をしっかり固めましょう。

目次

【隣接3項間の漸化式】解法パターンは主に3つ

隣接3項間の漸化式($ $$ a_{n+2} + p a_{n+1} + q a_n = 0 $)」の 解法パターン は 主に3つあります。

  • 解法1:特性方程式が重解をもたない & 解が1でない
  • 解法2:特性方程式が重解をもたない & 解が1
  • 解法3:特性方程式が重解をもつ

隣接3項間の漸化式

$ $ $ a_{n+2} + p a_{n+1} + q a_n = 0 $

の特性方程式 $ x^{2} + p x + q = 0 $ の 2解が $ \alpha, \, \beta $ のとき

$ $ $ \begin{cases}
a_{n+2} −\alpha a_{n+1} = \beta \left( a_{n+1} −\alpha a_n \right) \\
\\
a_{n+2} −\beta a_{n+1} = \alpha \left( a_{n+1} −\beta a_n \right) \\
\end{cases} $

と変形できる。

隣接3項間漸化式の「特性方程式」とは?

隣接3項間の漸化式 $ a_{n+2} + p a_{n+1} + q a_n = 0 $ において

$ $ $ \begin{cases}
a_{n+2} \, → \, x^2 \\
\\
a_{n+1} \, → \, x \\
\\
a_{n} \, \, → \, 1 \\
\end{cases} $

に置き換えると

$ $ $ x^2 + p x + q = 0 $

これを「特性方程式」と言います。

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【隣接3項間の漸化式】特性方程式でなぜ解けるの?サクッと証明&使い方を解説!

この特性方程式の解 $ \alpha, \, \beta $ を利用することで、隣接3項間の漸化式を解くことができます。

【隣接3項間の漸化式】解法1:特性方程式が重解をもたない&解が1でない

まずは「隣接3項間の漸化式 解法1特性方程式が重解をもたない 解が1でないパターン」です。

解答の流れ

  1. 特性方程式の解 $ \alpha , \ \beta $ を求める($ \alpha \ne \beta \ かつ \ \alpha , \beta \ne 1 $)
  2. 隣接3項間の漸化式を変形する(2通り)
  3. 数列 $ \{ a_{n+1} −\alpha a_{n} \}$, $ \{ a_{n+1} −\beta a_{n} \}$ の一般項を求める
  4. 手順③で求めた一般項の辺々を引く

このパターンの漸化式は、特性方程式を解くと「異なる2解(1以外)」が出てくるので

$ $ $ \begin{cases}
a_{n+2} −\alpha a_{n+1} = \beta \left( a_{n+1} −\alpha a_n \right) \\
\\
a_{n+2} −\beta a_{n+1} = \alpha \left( a_{n+1} −\beta a_n \right) \\
\end{cases} $

の2通りに変形できます。

そこから 数列 $ \{ a_{n+1} −\alpha a_{n} \}$, $ \{ a_{n+1} −\beta a_{n} \}$ の一般項をそれぞれ求めて、辺々を引くと $ a_{n+1} $ がキレイに消去できて $ a_{n} $ が求められるというわけです。

【例題1】条件 $ a_1 = 1,$  $ a_2 = 6,$  $ a_{n+2} −5 a_{n+1} + 6 a_n = 0 $ によって定められる数列 $ \{ a_n \} $ の一般項を求めよ。

【手順①】特性方程式の解 $ \alpha , \ \beta $ を求める($ \alpha \ne \beta \ かつ \ \alpha , \beta \ne 1 $)

【解答】

隣接3項間の漸化式

$ $ $ a_{n+2} −5 a_{n+1} + 6 a_n = 0 $ ・・・①

の特性方程式 $ x^2 −5x + 6 = 0 $ を解くと

$ $ $ x = 2, \ 3 $

【手順②】隣接3項間の漸化式を変形する(2通り)

なので、漸化式① は次の2通りに変形できる。

$ $ $ \begin{cases}
a_{n+2} −2 a_{n+1} = 3 \left( a_{n+1} −2 a_n \right) \, ・・・② \\
\\
a_{n+2} −3 a_{n+1} = 2 \left( a_{n+1} −3 a_n \right) \, ・・・③ \\
\end{cases} $

【手順③】数列 $ \{ a_{n+1} −\alpha a_{n} \}$, $ \{ a_{n+1} −\beta a_{n} \}$ の一般項を求める

② より、$ \{ a_{n+1} −2 a_{n} \}$ は

$ $ $ \begin{cases}
初項 \, a_{2} −2 a_{1} = 4 \\
\\
公比 \, 3  \\
\end{cases} $

の等比数列。

③ より、$ \{ a_{n+1} −3 a_{n} \}$ は

$ $ $ \begin{cases}
初項 \, a_{2} −3 a_{1} = 3 \\
\\
公比 \, 2  \\
\end{cases} $

の等比数列。

よって

$ $ $ \begin{cases}
a_{n+1} −2 a_{n} = 4 \cdot 3^{n-1} \, ・・・④ \\
\\
a_{n+1} −3 a_{n} = 3 \cdot 2^{n-1} \, ・・・⑤ \\
\end{cases} $

(注)初項 $a$, 公比 $r$ の等比数列 $ \{a_n\} $ の一般項は $ ar^{n-1}$

【手順④】手順③で求めた一般項の辺々を引く

④ $−$ ⑤ より

$ $ $ a_{n} = 4 \cdot 3^{n-1} − 3 \cdot 2^{n-1} $

④、⑤ の辺々を引くと $ a_{n+1} $ がキレイに消えてくれますね。

こんな流れで「隣接3項間の漸化式」の一般項 $ a_{n} $ が求められます。

【隣接3項間の漸化式】解法2:特性方程式が重解をもたない&解が1

次は「隣接3項間の漸化式 解法2特性方程式が重解をもたない 解が1 のパターン」です。

解答の流れ

  1. 特性方程式の解 $ \alpha , \ \beta $ を求める($ \alpha = 1 $)
  2. 隣接3項間の漸化式を変形する
  3. $ \{ a_{n+1} − a_{n} \}$を階差数列と見る or 隣接2項間の漸化式「$ a_{n+1} −\beta a_{n} = (定数)$」を解く

このパターンの漸化式は、特性方程式を解くと「異なる2解(少なくとも一方は1)」が出てきます。

仮に $\alpha = 1$ とすると

$ $ $ \begin{cases}
a_{n+2} − a_{n+1} = \beta \left( a_{n+1} − a_n \right) \\
\\
a_{n+2} −\beta a_{n+1} =  a_{n+1} −\beta a_n \\
\end{cases} $

に変形できます。

そこから先は 2通りのやり方があって

  • 上の式を利用:数列 $\{ a_{n+1} − a_{n} \}$ は $ \{ a_{n} \} $ の階差数列なので、$\displaystyle {
    a_n = a_1 +
    \sum_{ \substack{k = 1} }^{n-1}
    { \left( a_{k+1} − a_{k} \right) } }$
  • 下の式を利用:$ a_{n+1} −\beta a_n = \cdots = a_{2} −\beta a_1 $(定数)より、隣接2項間の漸化式として解く

どちらの解法でも答えが出せます!

【例題2】条件 $ a_1 = 1,$  $ a_2 = 5,$  $ a_{n+2} −4 a_{n+1} + 3 a_n = 0 $ によって定められる数列 $ \{ a_n \} $ の一般項を求めよ。

【手順①】特性方程式の解 $ \alpha , \ \beta $ を求める($ \alpha = 1 $)

【解答】

隣接3項間の漸化式

$ $ $ a_{n+2} −4 a_{n+1} + 3 a_n = 0 $ ・・・①

の特性方程式 $ x^2 −4x + 3 = 0 $ を解くと

$ $ $ x = 1, \ 3 $

【手順②】隣接3項間の漸化式を変形する

なので、漸化式① は次の2通りに変形できる。

$ $ $ \begin{cases}
a_{n+2} − a_{n+1} = 3 \left( a_{n+1} − a_n \right) \, ・・・② \\
\\
a_{n+2} −3 a_{n+1} =  a_{n+1} −3 a_n \, ・・・③ \\
\end{cases} $

【手順③−A】$ \{ a_{n+1} − a_{n} \}$を階差数列と見る

このステップは 2通りの解法があります。

まずは、上の式② を利用する方法から。

② より、$\{ a_{n+1} − a_{n} \}$ は

$ $ $ \begin{cases}
初項 \, a_{2} − a_{1} = 4 \\
\\
公比 \, 3  \\
\end{cases} $

の等比数列なので

$ $ $ a_{n+1} − a_{n} = 4 \cdot 3^{n-1} $

 

また、$\{ a_{n+1} − a_{n} \}$ は $ \{ a_{n} \} $ の階差数列なので

$ n ≧ 2 $ のとき

$ $ $\displaystyle {
a_n = a_1 +
\sum_{ \substack{k = 1} }^{n-1}
{ \left( a_{k+1} − a_{k} \right) } }$ ・・・(注1)

$ $  $\displaystyle {
= 1 +
\sum_{ \substack{k = 1} }^{n-1}
{ \left( 4 \cdot 3^{k-1} \right) } }$

$ $  $\displaystyle {
= 1 +
4 \sum_{ \substack{k = 1} }^{n-1}
{ 3^{k-1} } }$

$ $  $\displaystyle {
= 1 +
4 \cdot \displaystyle { { 3^{n-1}−1 \over 3−1 } } }$ ・・・(注2)

$ $  $ = 2 \cdot 3^{n-1} −1 $

 

$ n=1$ のとき

$ $ $a_1 = 1 = 2 \cdot 3^{1-1} −1 $

より、成り立つ。

 

したがって

$ $ $ a_n = 2 \cdot 3^{n-1} −1 \enspace (n ≧ 1)$

(注1)階差数列の公式

$ $ $\displaystyle {
a_n = a_1 +
\sum_{ \substack{k =\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{ 1}} }^{\bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{n-1}}
{ \left( a_{k+1} − a_{k} \right) } }$

を使うときは「$ n ≧ 2 $」という条件を必ず書いておきましょう。

なぜかというと、このシグマは $k = \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{1}$ 〜 $\bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{n-1}$ 番目までの和なので

$ $ $\bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{n-1} ≧ \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{1} $ より $ n ≧ 2 $

じゃないといけないからです。

 

(注2)$\displaystyle { \sum_{ \substack{k = 1} }^{n-1} { 3^{k-1} } }$ は

$ $ $ \begin{cases}
初項 \, 3^{1-1} = 1 \\
\\
公比 \, 3  \\
\\
項数 \, n−1  \\
\end{cases} $

の等比数列の和なので

$ $ $\displaystyle { \sum_{ \substack{k = 1} }^{n-1} { 3^{k-1} } } = \displaystyle { { 1 \cdot \left( 3^{n-1}−1 \right) \over 3−1} } $

【手順③−B】隣接2項間の漸化式「$ a_{n+1} −\beta a_{n} = (定数)$」を解く

あるいは、下の式③ を利用する方法もあります。

③ より

$ $ $ a_{n+1} −3 a_n = \cdots = a_{2} −3 a_1 = 2 $

よって、漸化式 $ a_{n+1} −3 a_n = 2 $ の

特性方程式 $ x −3 x = 2 $ を解くと

$ $ $ x = −1 $

より

$ $ $ a_{n+1} + 1 = 3 ( a_{n} + 1 ) $

 

$ \{ a_{n} + 1 \} $ は

$ $ $ \begin{cases}
初項 \, a_{1} + 1 = 2 \\
\\
公比 \, 3  \\
\end{cases} $

の等比数列なので

$ $ $ a_{n} + 1 = 2 \cdot 3^{n-1} $

∴ $ a_{n} = 2 \cdot 3^{n-1} −1 $

こんな感じで2通りのやり方で求められます。

どちらかと言えば、【手順③−A】は階差数列を使うときに「$ n ≧ 2 $」と「$n=1$」で分ける必要があるので若干手間がかかります。

というわけで、個人的には【手順③−B】の方が好きですね。

【隣接3項間の漸化式】解法3:特性方程式が重解をもつ

最後は「隣接3項間の漸化式 解法3特性方程式が重解をもつパターン」です。

解答の流れ

  1. 特性方程式の解 $ \alpha $ を求める(重解)
  2. 隣接3項間の漸化式を変形する(1通り)
  3. 数列 $ \{ a_{n+1} −\alpha a_{n} \}$ の一般項を求める
  4. 手順③で求めた一般項を $ \alpha^{n+1} $ で割る ← Point!
  5. 数列 $ \displaystyle{ \left\{ { a_{n} \over \alpha^{n} } \right\} } $ の一般項を求める
  6. 数列 $ \{ a_{n} \}$ の一般項を求める

このパターンの漸化式は、特性方程式を解くと「重解」が出てくる($ \alpha = \beta $)ので、隣接3項間の漸化式が 1通りにしか変形できません。

じゃあどうすればいいのか?というと、一番のポイントは「手順④ $ $$ \alpha^{n+1} $ で割る」ということです。

すると、数列 $ \displaystyle{ \left\{ { a_{n} \over \alpha^{n} } \right\} } $ の一般項から、$a_{n}$ が求められるという流れです。

【例題3】条件 $a_1 = 1 ,$  $ a_2 = 5 ,$  $ a_{n+2} − 4 a_{n+1} + 4 a_n = 0 $ によって定められる数列 $ \{ a_n \} $ の一般項を求めよ。

【手順①】特性方程式の解 $ \alpha $ を求める(重解)

【解答】

隣接3項間の漸化式

$ $ $ a_{n+2} −4 a_{n+1} + 4 a_n = 0 $ ・・・①

の特性方程式 $ x^2 −4x + 4 = 0 $ を解くと

$ $ $ x = 2 $(重解)

【手順②】隣接3項間の漸化式を変形する(1通り)

なので、漸化式① は次のように変形できる。

$ $ $ a_{n+2} − 2 a_{n+1} = 2 \left( a_{n+1} −2 a_n \right) $

【手順③】数列 $ \{ a_{n+1} −\alpha a_{n} \}$ の一般項を求める

② より、$\{ a_{n+1} − 2 a_{n} \}$ は

$ $ $ \begin{cases}
初項 \, a_{2} − 2 a_{1} = 3 \\
\\
公比 \, 2  \\
\end{cases} $

の等比数列なので

$ $ $ a_{n+1} − 2 a_{n} = 3 \cdot 2^{n-1} $

【手順④】手順③で求めた一般項を $ \alpha^{n+1} $ で割る

両辺を $ 2^{n+1} $ で割ると

$ $ $ \displaystyle{ { a_{n+1} \over 2^{n+1} }−{ 2 a_{n} \over 2^{n+1} } = { 3 \cdot 2^{n-1} \over 2^{n+1} } } $

∴ $ \displaystyle{ { a_{n+1} \over 2^{n+1} }−{ a_{n} \over 2^{n} } = { 3 \over 4 } } $

【手順⑤】数列 $ \displaystyle{ \left\{ { a_{n} \over \alpha^{n} } \right\} } $ の一般項を求める

$ \displaystyle{ \left\{ { a_{n+1} \over 2^{n+1} }−{ a_{n} \over 2^{n} } \right\} } $ は、数列 $ \displaystyle{ \left\{ { a_{n} \over 2^{n} } \right\} } $ の階差数列なので

$ $ $\displaystyle {
{ a_{n} \over 2^{n} } = { a_{1} \over 2^{1} } +
\sum_{ \substack{k = 1} }^{n-1}
{ \left( { a_{n+1} \over 2^{n+1} }−{ a_{n} \over 2^{n} } \right) } }$

$ $   $\displaystyle {
= { 1 \over 2 } +
\sum_{ \substack{k = 1} }^{n-1}
{ \left( { 3 \over 4 } \right) } } $

$ $   $\displaystyle { = { 1 \over 2 } + { 3 \over 4 }(n−1) } $

$ $   $\displaystyle { = { 3 \over 4 }n−{ 1 \over 4 } } $

$ $   $\displaystyle { = { 1 \over 4 } (3n−1) } $

【手順⑥】数列 $ \{ a_{n} \}$ の一般項を求める

両辺に $ 2^{n} $ をかけて

$ $ $\displaystyle { a_n = { 1 \over 4 } (3n−1) \cdot 2^n } $

$ $  $\displaystyle { = { 1 \over 2^2 } (3n−1) \cdot 2^n } $

$ $  $\displaystyle { = 2^{n-2} \cdot (3n−1) } $

以上です。お疲れ様でした!

【まとめ】隣接3項間の漸化式 解法パターン

最後にまとめです。

隣接3項間の漸化式」の 解法パターン は 主に3つ。

  • 解法1:特性方程式が重解をもたない & 解が1でない
  • 解法2:特性方程式が重解をもたない & 解が1
  • 解法3:特性方程式が重解をもつ

隣接3項間の漸化式

$ $ $ a_{n+2} + p a_{n+1} + q a_n = 0 $

の特性方程式 $ x^{2} + p x + q = 0 $ の2解が $ \alpha, \, \beta $ のとき

$ $ $ \begin{cases}
a_{n+2} −\alpha a_{n+1} = \beta \left( a_{n+1} −\alpha a_n \right) \\
\\
a_{n+2} −\beta a_{n+1} = \alpha \left( a_{n+1} −\beta a_n \right) \\
\end{cases} $

と変形できる。

特性方程式の2解 $ \alpha, \, \beta $ によって解法パターンが3つに分かれるので、これらをしっかり整理しておきましょう!

【隣接3項間漸化式の応用】0以外の定数項を含むパターンの解法

さらに応用、隣接3項間の漸化式が $ a_{n+2} + p a_{n+1} + q a_n = \color{red}{r} $ のように「0以外の定数項を含む」パターンもあります。

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