「隣接3項間の漸化式」の解法パターンを完璧にしたい！
特性方程式が重解をもつ or もたないか？で解法がどう変わるの？
具体的な解法ステップをわかりやすく丁寧に教えてほしい！
こういった要望に応えます。
「隣接3項間の漸化式（$ a_{n+2} + p a_{n+1} + q a_n = 0 $）」は、国公立大・難関私立大 の入試でよく出る問題のひとつです。
このページでは「隣接3項間の漸化式」の 主要な解法パターン3つ を整理してまとめました。
数列があまり得意ではないという人も理解しやすいように、わかりやすく丁寧に解説してあります。
「数列は得意分野だ！」という自信のある人も、最後まで読んで入試の基礎をしっかり固めましょう。
- 1 【隣接3項間の漸化式】解法パターンは主に3つ
- 2 【隣接3項間の漸化式】解法1：特性方程式が重解をもたない＆解が1でない
- 3 【隣接3項間の漸化式】解法2：特性方程式が重解をもたない＆解が1
- 4 【隣接3項間の漸化式】解法3：特性方程式が重解をもつ
- 5 【まとめ】隣接3項間の漸化式 解法パターン
- 6 【隣接3項間漸化式の応用】0以外の定数項を含むパターンの解法
【隣接3項間の漸化式】解法パターンは主に3つ
「隣接3項間の漸化式（$ $$ a_{n+2} + p a_{n+1} + q a_n = 0 $）」の 解法パターン は 主に3つあります。
- 解法1：特性方程式が重解をもたない ＆ 解が1でない
- 解法2：特性方程式が重解をもたない ＆ 解が1
- 解法3：特性方程式が重解をもつ
隣接3項間の漸化式
$ $ $ a_{n+2} + p a_{n+1} + q a_n = 0 $
の特性方程式 $ x^{2} + p x + q = 0 $ の 2解が $ \alpha, \, \beta $ のとき
$ $ $ \begin{cases}
a_{n+2} −\alpha a_{n+1} = \beta \left( a_{n+1} −\alpha a_n \right) \\
\\
a_{n+2} −\beta a_{n+1} = \alpha \left( a_{n+1} −\beta a_n \right) \\
\end{cases} $
と変形できる。
隣接3項間漸化式の「特性方程式」とは？
隣接3項間の漸化式 $ a_{n+2} + p a_{n+1} + q a_n = 0 $ において
$ $ $ \begin{cases}
a_{n+2} \, → \, x^2 \\
\\
a_{n+1} \, → \, x \\
\\
a_{n} \, \, → \, 1 \\
\end{cases} $
に置き換えると
$ $ $ x^2 + p x + q = 0 $
これを「特性方程式」と言います。
このページを読めば 「隣接3項間の漸化式」の特性方程式で なぜ一般項が求められる のか？ 「隣接3項間の漸化式」の特性方程式で一般項を求める 流れ・手順 「隣接3項間の漸化式」の特性方程式の 証明 をサクッと学ぶ[…]
この特性方程式の解 $ \alpha, \, \beta $ を利用することで、隣接3項間の漸化式を解くことができます。
【隣接3項間の漸化式】解法1：特性方程式が重解をもたない＆解が1でない
まずは「隣接3項間の漸化式 解法1：特性方程式が重解をもたない ＆ 解が1でないパターン」です。
解答の流れ
- 特性方程式の解 $ \alpha , \ \beta $ を求める（$ \alpha \ne \beta \ かつ \ \alpha , \beta \ne 1 $）
- 隣接3項間の漸化式を変形する（2通り）
- 数列 $ \{ a_{n+1} −\alpha a_{n} \}$, $ \{ a_{n+1} −\beta a_{n} \}$ の一般項を求める
- 手順③で求めた一般項の辺々を引く
このパターンの漸化式は、特性方程式を解くと「異なる2解（1以外）」が出てくるので
$ $ $ \begin{cases}
a_{n+2} −\alpha a_{n+1} = \beta \left( a_{n+1} −\alpha a_n \right) \\
\\
a_{n+2} −\beta a_{n+1} = \alpha \left( a_{n+1} −\beta a_n \right) \\
\end{cases} $
の2通りに変形できます。
そこから 数列 $ \{ a_{n+1} −\alpha a_{n} \}$, $ \{ a_{n+1} −\beta a_{n} \}$ の一般項をそれぞれ求めて、辺々を引くと $ a_{n+1} $ がキレイに消去できて $ a_{n} $ が求められるというわけです。
【例題1】条件 $ a_1 = 1,$ $ a_2 = 6,$ $ a_{n+2} −5 a_{n+1} + 6 a_n = 0 $ によって定められる数列 $ \{ a_n \} $ の一般項を求めよ。
【手順①】特性方程式の解 $ \alpha , \ \beta $ を求める（$ \alpha \ne \beta \ かつ \ \alpha , \beta \ne 1 $）
【解答】
隣接3項間の漸化式
$ $ $ a_{n+2} −5 a_{n+1} + 6 a_n = 0 $ ・・・①
の特性方程式 $ x^2 −5x + 6 = 0 $ を解くと
$ $ $ x = 2, \ 3 $
【手順②】隣接3項間の漸化式を変形する（2通り）
なので、漸化式① は次の2通りに変形できる。
$ $ $ \begin{cases}
a_{n+2} −2 a_{n+1} = 3 \left( a_{n+1} −2 a_n \right) \, ・・・② \\
\\
a_{n+2} −3 a_{n+1} = 2 \left( a_{n+1} −3 a_n \right) \, ・・・③ \\
\end{cases} $
【手順③】数列 $ \{ a_{n+1} −\alpha a_{n} \}$, $ \{ a_{n+1} −\beta a_{n} \}$ の一般項を求める
② より、$ \{ a_{n+1} −2 a_{n} \}$ は
$ $ $ \begin{cases}
初項 \, a_{2} −2 a_{1} = 4 \\
\\
公比 \, 3 \\
\end{cases} $
の等比数列。
③ より、$ \{ a_{n+1} −3 a_{n} \}$ は
$ $ $ \begin{cases}
初項 \, a_{2} −3 a_{1} = 3 \\
\\
公比 \, 2 \\
\end{cases} $
の等比数列。
よって
$ $ $ \begin{cases}
a_{n+1} −2 a_{n} = 4 \cdot 3^{n-1} \, ・・・④ \\
\\
a_{n+1} −3 a_{n} = 3 \cdot 2^{n-1} \, ・・・⑤ \\
\end{cases} $
（注）初項 $a$, 公比 $r$ の等比数列 $ \{a_n\} $ の一般項は $ ar^{n-1}$
【手順④】手順③で求めた一般項の辺々を引く
④ $−$ ⑤ より
$ $ $ a_{n} = 4 \cdot 3^{n-1} − 3 \cdot 2^{n-1} $
④、⑤ の辺々を引くと $ a_{n+1} $ がキレイに消えてくれますね。
こんな流れで「隣接3項間の漸化式」の一般項 $ a_{n} $ が求められます。
【隣接3項間の漸化式】解法2：特性方程式が重解をもたない＆解が1
次は「隣接3項間の漸化式 解法2：特性方程式が重解をもたない ＆ 解が1 のパターン」です。
解答の流れ
- 特性方程式の解 $ \alpha , \ \beta $ を求める（$ \alpha = 1 $）
- 隣接3項間の漸化式を変形する
- $ \{ a_{n+1} − a_{n} \}$を階差数列と見る or 隣接2項間の漸化式「$ a_{n+1} −\beta a_{n} = (定数)$」を解く
このパターンの漸化式は、特性方程式を解くと「異なる2解（少なくとも一方は1）」が出てきます。
仮に $\alpha = 1$ とすると
$ $ $ \begin{cases}
a_{n+2} − a_{n+1} = \beta \left( a_{n+1} − a_n \right) \\
\\
a_{n+2} −\beta a_{n+1} = a_{n+1} −\beta a_n \\
\end{cases} $
に変形できます。
そこから先は 2通りのやり方があって
- 上の式を利用：数列 $\{ a_{n+1} − a_{n} \}$ は $ \{ a_{n} \} $ の階差数列なので、$\displaystyle {
a_n = a_1 +
\sum_{ \substack{k = 1} }^{n-1}
{ \left( a_{k+1} − a_{k} \right) } }$ - 下の式を利用：$ a_{n+1} −\beta a_n = \cdots = a_{2} −\beta a_1 $（定数）より、隣接2項間の漸化式として解く
どちらの解法でも答えが出せます！
【例題2】条件 $ a_1 = 1,$ $ a_2 = 5,$ $ a_{n+2} −4 a_{n+1} + 3 a_n = 0 $ によって定められる数列 $ \{ a_n \} $ の一般項を求めよ。
【手順①】特性方程式の解 $ \alpha , \ \beta $ を求める（$ \alpha = 1 $）
【解答】
隣接3項間の漸化式
$ $ $ a_{n+2} −4 a_{n+1} + 3 a_n = 0 $ ・・・①
の特性方程式 $ x^2 −4x + 3 = 0 $ を解くと
$ $ $ x = 1, \ 3 $
【手順②】隣接3項間の漸化式を変形する
なので、漸化式① は次の2通りに変形できる。
$ $ $ \begin{cases}
a_{n+2} − a_{n+1} = 3 \left( a_{n+1} − a_n \right) \, ・・・② \\
\\
a_{n+2} −3 a_{n+1} = a_{n+1} −3 a_n \, ・・・③ \\
\end{cases} $
【手順③−A】$ \{ a_{n+1} − a_{n} \}$を階差数列と見る
このステップは 2通りの解法があります。
まずは、上の式② を利用する方法から。
② より、$\{ a_{n+1} − a_{n} \}$ は
$ $ $ \begin{cases}
初項 \, a_{2} − a_{1} = 4 \\
\\
公比 \, 3 \\
\end{cases} $
の等比数列なので
$ $ $ a_{n+1} − a_{n} = 4 \cdot 3^{n-1} $
また、$\{ a_{n+1} − a_{n} \}$ は $ \{ a_{n} \} $ の階差数列なので
$ n ≧ 2 $ のとき
$ $ $\displaystyle {
a_n = a_1 +
\sum_{ \substack{k = 1} }^{n-1}
{ \left( a_{k+1} − a_{k} \right) } }$ ・・・（注1）
$ $ $\displaystyle {
= 1 +
\sum_{ \substack{k = 1} }^{n-1}
{ \left( 4 \cdot 3^{k-1} \right) } }$
$ $ $\displaystyle {
= 1 +
4 \sum_{ \substack{k = 1} }^{n-1}
{ 3^{k-1} } }$
$ $ $\displaystyle {
= 1 +
4 \cdot \displaystyle { { 3^{n-1}−1 \over 3−1 } } }$ ・・・（注2）
$ $ $ = 2 \cdot 3^{n-1} −1 $
$ n=1$ のとき
$ $ $a_1 = 1 = 2 \cdot 3^{1-1} −1 $
より、成り立つ。
したがって
$ $ $ a_n = 2 \cdot 3^{n-1} −1 \enspace (n ≧ 1)$
（注1）階差数列の公式
$ $ $\displaystyle {
a_n = a_1 +
\sum_{ \substack{k =\bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{ 1}} }^{\bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{n-1}}
{ \left( a_{k+1} − a_{k} \right) } }$
を使うときは「$ n ≧ 2 $」という条件を必ず書いておきましょう。
なぜかというと、このシグマは $k = \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{1}$ 〜 $\bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{n-1}$ 番目までの和なので
$ $ $\bbox[#E2F0D9, 2pt, border:]{n-1} ≧ \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{1} $ より $ n ≧ 2 $
じゃないといけないからです。
（注2）$\displaystyle { \sum_{ \substack{k = 1} }^{n-1} { 3^{k-1} } }$ は
$ $ $ \begin{cases}
初項 \, 3^{1-1} = 1 \\
\\
公比 \, 3 \\
\\
項数 \, n−1 \\
\end{cases} $
の等比数列の和なので
$ $ $\displaystyle { \sum_{ \substack{k = 1} }^{n-1} { 3^{k-1} } } = \displaystyle { { 1 \cdot \left( 3^{n-1}−1 \right) \over 3−1} } $
【手順③−B】隣接2項間の漸化式「$ a_{n+1} −\beta a_{n} = (定数)$」を解く
あるいは、下の式③ を利用する方法もあります。
③ より
$ $ $ a_{n+1} −3 a_n = \cdots = a_{2} −3 a_1 = 2 $
よって、漸化式 $ a_{n+1} −3 a_n = 2 $ の
特性方程式 $ x −3 x = 2 $ を解くと
$ $ $ x = −1 $
より
$ $ $ a_{n+1} + 1 = 3 ( a_{n} + 1 ) $
$ \{ a_{n} + 1 \} $ は
$ $ $ \begin{cases}
初項 \, a_{1} + 1 = 2 \\
\\
公比 \, 3 \\
\end{cases} $
の等比数列なので
$ $ $ a_{n} + 1 = 2 \cdot 3^{n-1} $
∴ $ a_{n} = 2 \cdot 3^{n-1} −1 $
こんな感じで2通りのやり方で求められます。
どちらかと言えば、【手順③−A】は階差数列を使うときに「$ n ≧ 2 $」と「$n=1$」で分ける必要があるので若干手間がかかります。
というわけで、個人的には【手順③−B】の方が好きですね。
【隣接3項間の漸化式】解法3：特性方程式が重解をもつ
最後は「隣接3項間の漸化式 解法3：特性方程式が重解をもつパターン」です。
解答の流れ
- 特性方程式の解 $ \alpha $ を求める（重解）
- 隣接3項間の漸化式を変形する（1通り）
- 数列 $ \{ a_{n+1} −\alpha a_{n} \}$ の一般項を求める
- 手順③で求めた一般項を $ \alpha^{n+1} $ で割る ← Point！
- 数列 $ \displaystyle{ \left\{ { a_{n} \over \alpha^{n} } \right\} } $ の一般項を求める
- 数列 $ \{ a_{n} \}$ の一般項を求める
このパターンの漸化式は、特性方程式を解くと「重解」が出てくる（$ \alpha = \beta $）ので、隣接3項間の漸化式が 1通りにしか変形できません。
じゃあどうすればいいのか？というと、一番のポイントは「手順④ $ $$ \alpha^{n+1} $ で割る」ということです。
すると、数列 $ \displaystyle{ \left\{ { a_{n} \over \alpha^{n} } \right\} } $ の一般項から、$a_{n}$ が求められるという流れです。
【例題3】条件 $a_1 = 1 ,$ $ a_2 = 5 ,$ $ a_{n+2} − 4 a_{n+1} + 4 a_n = 0 $ によって定められる数列 $ \{ a_n \} $ の一般項を求めよ。
【手順①】特性方程式の解 $ \alpha $ を求める（重解）
【解答】
隣接3項間の漸化式
$ $ $ a_{n+2} −4 a_{n+1} + 4 a_n = 0 $ ・・・①
の特性方程式 $ x^2 −4x + 4 = 0 $ を解くと
$ $ $ x = 2 $（重解）
【手順②】隣接3項間の漸化式を変形する（1通り）
なので、漸化式① は次のように変形できる。
$ $ $ a_{n+2} − 2 a_{n+1} = 2 \left( a_{n+1} −2 a_n \right) $
【手順③】数列 $ \{ a_{n+1} −\alpha a_{n} \}$ の一般項を求める
$\{ a_{n+1} − 2 a_{n} \}$ は
$ $ $ \begin{cases}
初項 \, a_{2} − 2 a_{1} = 3 \\
\\
公比 \, 2 \\
\end{cases} $
の等比数列なので
$ $ $ a_{n+1} − 2 a_{n} = 3 \cdot 2^{n-1} $
【手順④】手順③で求めた一般項を $ \alpha^{n+1} $ で割る
両辺を $ 2^{n+1} $ で割ると
$ $ $ \displaystyle{ { a_{n+1} \over 2^{n+1} }−{ 2 a_{n} \over 2^{n+1} } = { 3 \cdot 2^{n-1} \over 2^{n+1} } } $
∴ $ \displaystyle{ { a_{n+1} \over 2^{n+1} }−{ a_{n} \over 2^{n} } = { 3 \over 4 } } $
【手順⑤】数列 $ \displaystyle{ \left\{ { a_{n} \over \alpha^{n} } \right\} } $ の一般項を求める
$ \displaystyle{ \left\{ { a_{n+1} \over 2^{n+1} }−{ a_{n} \over 2^{n} } \right\} } $ は、数列 $ \displaystyle{ \left\{ { a_{n} \over 2^{n} } \right\} } $ の階差数列なので
$n ≧ 2$ のとき
$ $ $\displaystyle {
{ a_{n} \over 2^{n} } = { a_{1} \over 2^{1} } +
\sum_{ \substack{k = 1} }^{n-1}
{ \left( { a_{n+1} \over 2^{n+1} }−{ a_{n} \over 2^{n} } \right) } }$
$ $ $\displaystyle {
= { 1 \over 2 } +
\sum_{ \substack{k = 1} }^{n-1}
{ \left( { 3 \over 4 } \right) } } $
$ $ $\displaystyle { = { 1 \over 2 } + { 3 \over 4 }(n−1) } $
$ $ $\displaystyle { = { 3 \over 4 }n−{ 1 \over 4 } } $
$ $ $\displaystyle { = { 1 \over 4 } (3n−1) } $
$n=1$ のとき
$ $ $ \displaystyle { { a_{1} \over 2^{1} } = { 1 \over 2 } = { 1 \over 4 } (3 \cdot 1 −1) } $
より、成り立つ。
したがって
$ $ $ \displaystyle { { a_{n} \over 2^{n} } = { 1 \over 4 } (3n−1) } \enspace (n ≧ 1) $
【手順⑥】数列 $ \{ a_{n} \}$ の一般項を求める
両辺に $ 2^{n} $ をかけて
$ $ $\displaystyle { a_n = { 1 \over 4 } (3n−1) \cdot 2^n } $
$ $ $\displaystyle { = { 1 \over 2^2 } (3n−1) \cdot 2^n } $
$ $ $\displaystyle { = 2^{n-2} \cdot (3n−1) } $
以上です。お疲れ様でした！
【まとめ】隣接3項間の漸化式 解法パターン
最後にまとめです。
「隣接3項間の漸化式」の 解法パターン は 主に3つ。
- 解法1：特性方程式が重解をもたない ＆ 解が1でない
- 解法2：特性方程式が重解をもたない ＆ 解が1
- 解法3：特性方程式が重解をもつ
隣接3項間の漸化式
$ $ $ a_{n+2} + p a_{n+1} + q a_n = 0 $
の特性方程式 $ x^{2} + p x + q = 0 $ の2解が $ \alpha, \, \beta $ のとき
$ $ $ \begin{cases}
a_{n+2} −\alpha a_{n+1} = \beta \left( a_{n+1} −\alpha a_n \right) \\
\\
a_{n+2} −\beta a_{n+1} = \alpha \left( a_{n+1} −\beta a_n \right) \\
\end{cases} $
と変形できる。
特性方程式の2解 $ \alpha, \, \beta $ によって解法パターンが3つに分かれるので、これらをしっかり整理しておきましょう！
【隣接3項間漸化式の応用】0以外の定数項を含むパターンの解法
さらに応用、隣接3項間の漸化式が $ a_{n+2} + p a_{n+1} + q a_n = \color{red}{r} $ のように「0以外の定数項を含む」パターンもあります。
「隣接3項間の漸化式」に0以外の定数項が含まれるときってどうすればいいの？ 特性方程式の作り方、解法パターンをわかりやすく教えてほしい！ こんなお悩みを解決します。 「隣接3項間の漸化式」に 0以外の定数項[…]
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