【高校数学】絶対値のついた等式・不等式の解き方をわかりやすく解説【場合分けもバッチリ】

この記事では、絶対値記号のついた等式・不等式の解き方 を解説します。

絶対値の問題は等式・不等式で解き方が変わったり、場合分け が必要になったりするので意外とつまづく生徒が多いです。

|x| = 5 を解くと、どうして x = ± 5 みたいに解が2つ出てくるの?

|x2| < 5 だと場合分けしないのに、どうして |x2| < 3x だと場合分けするの?

そもそも場合分けのやり方とか意味がよくわからない!

こういった疑問をお持ちであれば、ぜひこのページを最後まで読んでみてください。

スッキリ解消されて、絶対値の問題 を悩むことなく解けるようになります。

丁寧に書いているので、人によっては回りくどく感じる部分もあるかもしれません。

分かるところは飛ばしながら読んでいただいても大丈夫です。

絶対値とは?

さて、まずは絶対値のおさらいです。

絶対値 とは、ひとことで言えば

 原点Oからの距離

です。

ポイントは、「距離」なのでその値は 必ず「0以上(0またはプラス)になる ということです。

(例えば「家から学校までの距離がマイナス500m」なんて言わないですよね?なので、距離は常に0以上です)

絶対値の計算では、絶対値の中身が「0以上(0・正)」か「マイナス(負)」かによって、2通りに分けられます。

 

まずは絶対値の中身が「0以上」の場合を見てみましょう。

【例題0-1】 |5| の値を求めよ。

|5| は「絶対値5」とか「5の絶対値」とか言います。

原点Oからどれだけ離れているか(距離)が絶対値なので、

 $|5| = 5$

となります。

数直線で表すと、

緑色の部分が「原点Oから5までの距離」を表しています。

つまり、絶対値の中身が「0以上」のときは、符号そのままで絶対値を外す!

$x \color{red}{≧ 0} $ のとき $|x| = x$

【補足】

5ってプラスの値だから  $x$ $>$ $0$($0$より大きい)はわかるけど、
$x$ $≧$ $0$($0$以上)ってイコールついてるのはどういう意味?
と思ったあなた、細かいところまで見れていて素晴らしい!
実際その通りで、本来なら $x \color{red}{=} 0$ のときは別で考える必要があります。

 

では、$x = 0$ のとき、つまり $|0|$ を考えてみましょう。
原点Oから $0$(ゼロ、つまり原点O 自身)までの距離は $0$ なので
 $|0| = 0$
よって、次のことが言えます。
 $x = 0$ のとき $|x| = 0$ (つまり $|x| = x$)

 

ここで、$x$ がプラスの場合の
 $x > 0$ のとき $|x| = x$
と合わせて書くと、先ほどの
$x \color{red}{≧ 0}$ のとき $|x| = x$
になります。

【例題0-2】 |5| の値を求めよ。

次に、|5| を考えます。

|5| は、原点Oから5までの距離なので、

 $|−5| = 5$

になります。

絶対値の中身がマイナス(負の数)のときは、絶対値を外すときに符号を変えてプラス(正の数)にします。

つまり、符号をにして絶対値を外す!

$x \color{blue}{< 0} $ のとき $|x| = −x$

まとめ

ここまでの内容をまとめましょう。

[1] $x \color{red}{≧ 0} $ のとき $|x| = x$ (符号そのまま)
[2] $x \color{blue}{< 0} $ のとき $|x| = −x$ (符号を逆に)

ここまで理解できたら準備はOKです。

さっそく次に進みましょう!

【パターン1】絶対値の等式 |x| = 5 の解き方

ここから本題に入ります。

まずは、絶対値のついた等式 の問題から見ていきましょう。

【例題1-1】 $|x| = 5$ を解け。

絶対値の中身 $x$ が「0以上」か「マイナス」かで 2つに場合分けします。
絶対値の外し方がわからないという方は 1個上のステップに戻って読みましょう。
[1] $x \color{red}{≧ 0}$ のとき
 $|x| = x$ (符号そのまま)
 ∴ $x = 5$
[2] $x \color{blue}{< 0}$ のとき
 $|x| = −x$ (符号を逆に)
 ∴ $−x = 5$
 ∴ $x = −5$

解答は以下のようにまとめて書いて大丈夫です。

【解答】 $x = \pm 5$
このパターンは、次のように一般化されています。
$a$: 定数、$a > 0$ として、
$|x| = a$ を解くと $x = \pm a$

【例題1-2】 $|x−2| = 5$ を解け。

ここで1点注意です。
絶対値の中身が「$x − 2$」のようになっている場合、中身全体をかたまりと見て
 $| \color{red} { ( } x − 2 \color{red} { ) } | = 5$
のように 括弧( )をつけて考えましょう。
あえて場合分けすると次のようになります。
[1] $x − 2 \color{red}{≧ 0} $ すなわち $x ≧ 2$ のとき
 $|x − 2| = x − 2$ (符号そのまま)
 ∴ $x − 2 = 5$
 ∴ $x = 7$
[2] $x − 2 \color{blue}{< 0} $ すなわち $x < 2$ のとき
 $|x − 2| = − \color{red} {(} x − 2 \color{red} {)}$ (符号を逆に)
 ∴ $−(x − 2) = 5$
 ∴ $x − 2 = −5$
 ∴ $x = −3$
[1]、[2]より、解答は以下のようになります。
【解答】 $x = −3,$ $7$
また、先ほどの例題1-1「まとめ(簡便法)」を使って次のように解くと早いです。
 $|x − 2| = 5$
 ∴ $x − 2 = \pm 5$
 ∴ $x = 2 \pm 5$
 ∴ $x = −3,$ $7$

【パターン2】絶対値の不等式 |x| < 5 の解き方

次に、絶対値のついた不等式(<, >, ≦, ≧)の解き方を説明します。

【例題2-1】 $|x| < 5$ を解け。

まずは、「小なり(<)」や「小なりイコール(≦)」がついた不等式です。

[1] $x \color{red}{≧ 0}$ のとき
 $|x| = x$ (符号そのまま)
 ∴ $x < 5$
 $x ≧ 0$ と合わせて
 $0 ≦ x < 5$ (共通範囲をとる)
[2] $x \color{blue}{< 0} $ のとき
 $|x| = −x$ (符号を逆に)
 ∴ $−x < 5$
 ∴ $x > −5$
 $x < 0$ と合わせて
 $−5 < x < 0$ (共通範囲をとる)
[1]、[2]より、
 $−5 < x < 5$ (範囲を合体)

となります。

解答は以下だけでOK。

【解答】$−5 < x < 5$

 

$|x| < 5$ を言い換えると「原点Oからの距離が 5未満になる $x$の範囲」という意味です。
なので、$x$軸上で −5から5 の範囲になります。
数直線で見るとこうなります。
また、もしこれが「$|x|$ $5$ を解け」という問題でも
 $−5$ $x$ $5$
になるだけです。

 

例題2-1をまとめましょう。
$a$: 定数, $a > 0$ として、
$|x| < a$ を解くと $−a < x < a$
$|x| ≦ a$ を解くと $−a ≦ x ≦ a$

【例題2-2】 $|x| ≧ 5$ を解け。

今度は、「大なり(>)」や「大なりイコール(≧)」の場合です。

[1] $x \color{red}{≧ 0}$ のとき
 $|x| = x$ (符号そのまま)
 ∴ $x ≧ 5$
 $x ≧ 0$ と合わせて
 $x ≧ 5$ (共通範囲をとる)
[2] $x \color{blue}{< 0} $ のとき
 $|x| = −x$ (符号を逆に)
 ∴ $−x ≧ 5$
 ∴ $x ≦ −5$
 $x < 0$ と合わせて
 $x ≦ −5$ (共通範囲をとる)
[1]、[2]より、 $x ≦ −5$ または $5 ≦ x$ (範囲を合体)
【解答】$x ≦ −5, \enspace 5 ≦ x$

 

例題2-2をまとめると次のようになります。
$a$: 定数, $a > 0$ として、
$|x| > a$ を解くと $x<−a, \enspace a < x$
$|x| ≧ a$ を解くと $x≦−a, \enspace a ≦ x$

【例題2-3】 $|x − 2| ≦ 5$ を解け。

では、絶対値の中身が「$x − 2$」のようになった場合はどうなるでしょうか?

やはり、

 $| \color{red} {(} x − 2 \color{red} {)} | ≦ 5$

のように、絶対値の中身をかたまりと見なします。

例題2-1の「まとめ(簡便法)」より、

 $-5 ≦ x − 2 ≦ 5$
それぞれの辺に 2 を足して
 $−3 ≦ x ≦ 7$
となり完了です。
【解答】$−3 ≦ x ≦ 7$

【例題2-4】 $|x − 2| ≧ 5$ を解け。

例題2-2の「まとめ(簡便法)」より、

 $x − 2 ≦ −5$ または $5 ≦ x − 2$
先ほどと同様に、それぞれの辺に 2 を足せば
 $x ≦ −3$ または $7 ≦ x$
となります。
【解答】 $x ≦ −3, \enspace 7 ≦ x$

【パターン3】絶対値の等式 |x2| = 3x の解き方

次は「絶対値の 外に変数($x$など)がある」「等式」のパターンです。

(変数は、ここでいうと右辺の $3x$)

このパターンでは原則 場合分けが必要 になります。

記述式であれば、場合分けは解答としてしっかり書きましょう。

【例題3】 $|x − 2| = 3x$ を解け。

絶対値の中身($x − 2$)が「0以上」か「マイナス」かで 2つに場合分けします。

【解答】
[1] $x − 2 \color{red}{≧ 0} $  すなわち $x ≧ 2$ のとき
 $|x − 2| = x − 2$ なので、
  $x − 2 = 3x$
 を解けばよい。
 ∴ $x = −1$
 これは $x ≧ 2$ を満たさない。・・・(注)

 

[2] $x − 2 \color{blue}{< 0} $ すなわち $ x < 2$ のとき
 $|x − 2| = −(x − 2)$ なので、
  $−(x − 2) = 3x$
 を解けばよい。
 ∴ $\displaystyle {x = {1\over2}}$
 これは $ x < 2$ を満たす。

 

[1]、[2]より、$\displaystyle {x = {1\over2}}$

(注)出てきた解が条件を満たすか、必ず確かめること!(確かめがないと減点されます)

条件を満たしていれば
 $\displaystyle {x = {1\over2}}$適する

逆に条件を満たさなければ

 $x = −1$不適

と書くとスッキリしておすすめ。

【別解】簡便法

さて、このパターンは上記のように原則として場合分けをしますが、実は以下のように 簡便法 を使うこともできます。

【別解】を見る

【別解】

$(左辺)= |x − 2| \color{red}{≧ 0} $ より

$ $ $ (右辺)= 3x \color{red}{≧ 0} $

∴ $ x ≧ 0 $

このとき

$ $ $ x − 2 = \pm 3x $

∴ $ 2x = − 2 \ または \ 4x = 2 $

∴ $ x = − 1 \ または \ \displaystyle {x = {1\over2}} $

$ x ≧ 0 $ より $\displaystyle {x = {1\over2}} $

こちらの【別解】の方がスッキリ書けますが、後々「絶対値を含む関数(例:$y = |x^2 + 3x + 2| – 5x+3$ )」を扱う際に、場合分けをする必要があるので、【解答】のやり方もできるようにしておきましょう!

【パターン4】絶対値の不等式 |x2| < 3x の解き方

「絶対値の 外に変数($x$など)がある」「不等式」のパターンです。

このパターンでも原則として場合分けが必要です。

先ほどの問題は等式だったので、解がズバリ「値」で出てきましたが、今回は不等式のため「範囲」が答えになります。

【例題4】 $|x − 2| < 3x$ を解け。

【解答】
[1] $x − 2 \color{red}{≧ 0} $ すなわち $x ≧ 2$ のとき
 $|x − 2| = x − 2$ なので、
  $x − 2 < 3x$
 を解けばよい。
 ∴ $x > −1$
 $x ≧ 2$ と合わせて
  $x ≧ 2$ ・・・(注1)

 

[2] $x − 2 \color{blue}{< 0} $ すなわち $x < 2$ のとき
 $|x − 2| = −(x − 2)$ なので、
  $−(x − 2) < 3x$
 を解けばよい。
 ∴ $\displaystyle {x > {1\over2}}$
 $x < 2$ と合わせて
  $\displaystyle {{1\over2} < x < 2}$ ・・・(注2)

 

[1]、[2]より、$\displaystyle {x > {1\over2}}$ ・・・(注3)

(注1)共通範囲をとる

(注2)共通範囲をとる

(注3)[1]と[2]の範囲を合体する(つなげる)

※ [1]または[2] と考える

【参考】共通範囲のカンタンな取り方

例: $−4 ≦ x ≦ 6$  かつ  $x > 3$  かつ  $x < −2$

① 数直線を描く

② 境界値をとる(左から小さい順に並べるだけ)

※ 間隔はテキトーでOK

③ <, >なら白丸(○)、≦, ≧なら黒丸(●)を描く

※ 大きくハッキリと

④ <, >ならナナメに、≦, ≧なら真上に線を描きはじめる(高さを少しずつズラす)

⑤ 範囲の方向に横線を引く

⑥ 範囲が重なる部分に斜線を描く

【解答】$−4 ≦ x < −2$ または $3 < x ≦ 6$

【別解】簡便法

参考として、この【例題4】「$|x − 2| < 3x$ を解け。」も 簡便法 を使って解いてみます。

【別解】を見る

【別解】

$\color{red}{0≦} |x − 2| < 3x$ より

$ $ $ \color{red}{0≦} 3x $

∴ $ x ≧ 0 $

このとき

$ $ $ − 3x < x − 2 < 3x $ ・・・(注)

∴ $ − 3x < x − 2  \ \color{red}{かつ} \ x − 2 < 3x $

∴ $ \displaystyle {x>{1\over2}\ \color{red}{かつ} \ x>−1} $

∴ $ \displaystyle {x>{1\over2}} $

$ x ≧ 0 $ より $ \displaystyle {x>{1\over2}} $

(注)この不等式は、左の2辺、右の2辺に分けて解きますが、その2式は「$\color{red}{かつ}$」の条件であることに注意!

【パターン5】絶対値の等式 |x| + |x − 2| = 4 の解き方

いよいよラストです。

絶対値つきの変数が2つ以上ある」パターンです。

【例題5】 $|x| + |x − 2| = 4$ を解け。

今回も絶対値の中身が「0以上」か「マイナス」かで場合分けをします。

絶対値の中身が「$x$」と「$x − 2$」の2種類あるので、本来なら以下の4つの場合分けがありますが、

$x$ $x − 2$
 −
 −  −

$x > x − 2$ より、

③「$x$:マイナス、$x − 2$:0以上」の場合はありえません。

なので、①、②、④の3つの場合分けで済みます。

【解答】
[1] 「$x \color{red}{≧ 0} $ かつ $x − 2 \color{red}{≧ 0} $」すなわち
「$x ≧ 2$」のとき
 $x + (x − 2) = 4$
 ∴ $x = 3$
 これは $x ≧ 2$ を満たす。

 

[2] 「$x \color{red}{≧ 0} $ かつ $x − 2 \color{blue}{< 0} $」すなわち
「$0 ≦ x < 2$」のとき
 $x − (x − 2) = 4$
 ∴ $2 = 4$ となるので、解なし

 

[3] 「$x \color{blue}{< 0} $ かつ $x − 2 \color{blue}{< 0} $」すなわち
「$x < 0$」のとき
 $−x − (x − 2) = 4$
 ∴ $x = −2$
 これは $x < 0$ を満たす。

 

[1]〜[3]より、$x = −2, 3$

【応用問題】絶対値のついた等式・不等式

ちょっと難しめの問題を解きたい人は、次の2問にチャレンジしてみましょう!

ここまでの内容が理解できていれば、なんとか解けるはずです。

【問題1】方程式 $|2x + 2| − |x − 3| = 2x$ を解け。

この問題を見て「あれ?$2x + 2$ と $x−3$ はどっちが大きいの?」と思ったキミ、いいところに気がつきました。

$2x + 2$ と $x−3$ はこの形のままでは比べられませんね。

ですが、$ |2x + 2| = |2(x +1)| $ と変形していくと・・・

【解答・解説】を見る

【解答】

$|2x + 2| − |x − 3| = 2x$ より

$|2(x + 1)| − |x − 3| = 2x$

∴ $ 2| x + 1 | − | x − 3 | = 2x $ ・・・(注1)

 

$ x + 1 > x − 3 $ より、以下の3つに場合分けできる。 ・・・(注2)

$ $[1] 「$ x + 1 \color{red}{≧ 0} $ かつ $ x − 3 \color{red}{≧ 0} $」すなわち「$ x≧3 $」のとき

$ $ $ 2( x + 1 ) − ( x − 3 ) = 2x $

$ $ ∴ $ x = 5 $ ($ x≧3 $ を満たす)

 

[2] 「$ x + 1 \color{red}{≧ 0} $ かつ $ x − 3 \color{blue}{< 0} $」すなわち「$ −1≦x<3 $」のとき

$ $ $ 2( x + 1 ) + ( x − 3 ) = 2x $

$ $ ∴ $ x = 1 $ ($ −1≦x<3 $ を満たす)

 

[3] 「$ x + 1 \color{blue}{< 0} $ かつ $ x − 3 \color{blue}{< 0} $」すなわち「$ x<−1 $」のとき

$ $ $ −2( x + 1 ) + ( x − 3 ) = 2x $

$ $ ∴ $ \displaystyle { x = −{ 3 \over 5 } } $ ($ x<−1 $ を満たす)

 

[1]〜[3]より、$ \displaystyle { x = −{ 3 \over 5 }, \enspace 1, \enspace 5 } $

(注1)$ |2x + 2| = |2(x +1)| = 2| x + 1 | $ と変形できます。

ちなみに、例えば $|−x + 3 | = |−(x − 3) | = | x−3 | $ などの変形もOK。

 

(注2)$ x + 1 > x − 3 $ なので、「$x + 1$:マイナス、$x − 3$:0以上」の場合はあり得ないので、考えなくて大丈夫。

【問題2】不等式 $\displaystyle { |x − 5| ≦{2 \over 3}|x| + 1 }$ を解け。

絶対値つきの変数が2つ以上ある 不等式」のパターンです。やり方は今までと同じです。

【解答・解説】を見る

【解答】

$ x − 5 < x $ より、以下の3つに場合分けできる。

$ $[1] 「$ x − 5 \color{red}{≧ 0} $ かつ $ x \color{red}{≧ 0} $」
すなわち「$ x≧5 $」のとき

$ $ $\displaystyle { x − 5 ≦{2 \over 3} x + 1 }$

$ $ ∴ $ x ≦ 18 $

$ $ $ x≧5 $ より $ 5≦x≦18 $

絶対値 範囲1

 

[2]  「$ x − 5 \color{blue}{< 0} $ かつ $ x \color{red}{≧ 0} $」
すなわち「$ 0 ≦x<5 $」のとき

$ $ $\displaystyle { −( x − 5 ) ≦{2 \over 3} x + 1 }$

$ $ ∴ $\displaystyle { x ≧ {12 \over 5} } $

$ $ $ 0 ≦x<5 $ より $ \displaystyle { {12 \over 5} ≦ x < 5 } $

絶対値 範囲2

 

[3] 「$ x − 5 \color{blue}{< 0} $ かつ $ x \color{blue}{< 0} $」
すなわち「$ x<0 $」のとき

$ $ $\displaystyle { −( x − 5 ) ≦− {2 \over 3} x + 1 }$

$ $ ∴ $ x ≧ 12 $

$ $ $ x<0 $ より 解なし(不適)

絶対値 範囲3

 

[1]〜[3]より、$ \displaystyle { {12 \over 5} ≦ x ≦18 } $ ・・・(注)

(注)[1]〜[3]の範囲を合体する(つなげる)

絶対値 合体

最後に

今回は「絶対値のついた等式・不等式の解き方」を解説しました。
特に場合分けの考え方は、今後どんどん使っていくので非常に大切です。
何度も解いてしっかりマスターしましょう!
質問・要望があれば気軽にコメントください👍