【高校数学】絶対値のついた等式・不等式の解き方をわかりやすく解説【場合分けもバッチリ】

この記事では、絶対値記号のついた等式・不等式の解き方を解説します。

絶対値の問題は等式・不等式で解き方が変わったり、場合分けが必要になったりするので意外とつまづく生徒が多いです。

|x| = 5 を解くと、どうして x = ± 5 みたいに解が2つ出てくるの?

|x2| < 5 だと場合分けしないのに、どうして |x2| < 3x だと場合分けするの?

そもそも場合分けのやり方とか意味がよくわからない!

こういった疑問をお持ちであれば、ぜひこのページを最後まで読んでみてください。

スッキリ解消されて、絶対値の問題を悩むことなく解けるようになります。

ていねいに書いているので、ひとによっては回りくどく感じる部分もあるかもしれません。わかるところは飛ばしながら読んでいただいて大丈夫です。

絶対値とは

さて、まずは絶対値のおさらいです。

絶対値とは、ひとことで言えば

原点Oからの距離

です。

ポイントは、「距離」なのでその値は 必ずプラス(正の数)になる ということです。

(例えば、「家から学校までの距離がマイナス500m」なんて言わないですよね?なので、距離は常にプラスです。)

絶対値の計算では、絶対値の中身がプラス(正)かマイナス(負)かによって、2通りに分けられます。

まずは絶対値の中身がプラスの場合を見てみましょう。

【例題0-1】 |5| の値を求めよ。

|5| は「絶対値5」とか「5の絶対値」とか言います。

原点Oからどれだけ離れているか(距離)が絶対値なので、

 |5| = 5

となります。

数直線で表すと、

緑色の部分が「原点Oから5までの距離」を表しています。

つまり、絶対値の中身がプラス(正)のときは、符号そのままで絶対値を外す!

x ≧ 0 のとき |x| = x

【補足】

x がプラスのときだから x 0  じゃなくて x 0 じゃないの?
と思ったあなた、細かいところまで見れていて素晴らしい!
実際その通りで、本来なら x = 0 のときは別で考える必要があります。
では、x = 0 のとき、つまり |0| を考えてみましょう。
原点Oから0(つまり原点O 自身)までの距離は 0 なので
 |0| = 0
よって、次のことが言えます。
x = 0 のとき  |x| = 0 (つまり x に等しい)
ここで、x がプラスの場合の
x > 0 のとき |x| = x
と合わせて書くと、先ほどの
x ≧ 0 のとき |x| = x
になります。
このページでは、分かりやすく「x が 0以上のとき」のことを 「x がプラスのとき」と表現しています。

【例題0-2】 |5| の値を求めよ。

次に、|5| を考えます。

|5| は、原点Oから5までの距離なので、

 |5| = 5

になります。

絶対値の中身がマイナス(負の数)のときは、絶対値を外すときに符号を変えてプラス(正の数)にします。

つまり、符号をにして絶対値を外す!

x < 0 のとき |x| = −x

まとめ

ここまでの内容をまとめましょう。

[1] x ≧ 0 のとき |x| = x (符号そのまま)
[2] x < 0 のとき |x| = −x (符号を逆に)

ここまで理解できたら準備はOKです。

さっそく次に進みましょう!

【パターン1】絶対値の等式 |x| = 5 の解き方

ここから本題に入ります。

まずは基本的な問題から見ていきましょう。

【例題1-1】 |x| = 5 を解け。

絶対値の中身 x がプラスかマイナスかで 2つに場合分けします。
絶対値の外し方がわからないという方は 1個上のステップに戻って読みましょう。
[1] x ≧ 0 のとき
 |x| = x (符号そのまま)
 ∴ x = 5
[2] x < 0 のとき
 |x| = −x (符号を逆に)
 ∴ −x = 5
 ∴ x = −5

解答は以下のようにまとめて書いて大丈夫です。

【解答】 x = ±5
このパターンは、次のように一般化されています。
a: 定数、a > 0として、
|x| = a を解くと x = ±a

【例題1-2】 |x − 2| = 5 を解け。

ここで1点注意です。
絶対値の中身が x − 2 のようになっている場合、中身全体をかたまりと見て
 |(x − 2)| = 5
のように括弧をつけて考えましょう。
あえて場分けすると次のようになります。
[1] x − 2 ≧ 0 すなわち x ≧ 2 のとき
 |x − 2| = x − 2 (符号そのまま)
 ∴ x − 2 = 5
 ∴ x = 7
[2] x − 2 < 0 すなわち x < 2 のとき
 |x − 2| = −(x − 2) (符号を逆に)
 ∴ − (x − 2) = 5
 ∴ x − 2 = −5
 ∴ x = −3
[1]、[2]より、解答は以下のようになります。
【解答】 x = −3, 7
また、先ほどの例題1-1「まとめ」を使って次のように解くと早いです。
 |x − 2| = 5
 ∴ x − 2 = ±5
 ∴ x = 2 ±5
 ∴ x = −3, 7

【パターン2】絶対値の不等式 |x| < 5 の解き方

次に、絶対値のついた不等式(<, >, ≦, ≧)の解き方を説明します。

【例題2-1】 |x| < 5 を解け。

まずは、「小なり(<)」や「小なりイコール(≦)」がついた不等式です。

[1] x ≧ 0 のとき
 |x| = x (符号そのまま)
 ∴ x < 5
 x ≧ 0 と合わせて
 0 ≦ x < 5 (共通範囲をとる)
[2] x < 0 のとき
 |x| = −x (符号を逆に)
 ∴ −x < 5
 ∴ x > −5
 x < 0 と合わせて
 −5 < x < 0 (共通範囲をとる)
[1]、[2]より、
 −5 < x < 5 (範囲を合体)

となります。

解答は以下だけでOK。

【解答】−5 < x < 5
|x| < 5 を言い換えると「原点Oからの距離が 5未満になる xの範囲」という意味です。
なので、x軸上で −5から5の範囲になります。
数直線で見るとこうなります。
また、もしこれが「|x| 5 を解け」という問題でも
 −5 x 5
になるだけです。
例題2-1をまとめましょう。
a: 定数, a > 0 として、
|x| < a を解くと −a < x < a
|x| ≦ a を解くと −a ≦ x ≦ a

【例題2-2】 |x| ≧ 5 を解け。

今度は、「大なり(>)」や「大なりイコール(≧)」の場合です。

[1] x ≧ 0 のとき
 |x| = x (符号そのまま)
 ∴ x ≧ 5
 x ≧ 0 と合わせて
 x ≧ 5 (共通範囲をとる)
[2] x < 0 のとき
 |x| = −x (符号を逆に)
 ∴ −x ≧ 5
 ∴ x ≦ −5
 x < 0 と合わせて
 x ≦ −5 (共通範囲をとる)
[1]、[2]より、 x ≦ −5 または 5 ≦ x (範囲を合体)
【解答】x ≦ −5, 5 ≦ x
例題2-2をまとめると次のようになります。
a: 定数, a > 0 として、
|x| > a を解くと x < −a, a < x
|x| ≧ a を解くと x ≦ −a, a ≦ x

【例題2-3】 |x − 2| ≦ 5 を解け。

では、絶対値の中身が x − 2 のようになった場合はどうなるでしょうか?

やはり、

 |(x − 2)| ≦ 5

のように、絶対値の中身をかたまりと見なします。

例題2-1のまとめより、

 −5 ≦ x − 2 ≦ 5
それぞれの辺に 2 を足して
 −3 ≦ x ≦ 7
となり完了です。
【解答】−3 ≦ x ≦ 7

【例題2-4】 |x − 2| ≧ 5 を解け。

例題2-2のまとめより、

 x − 2 ≦ −5 または 5 ≦ x − 2
先ほどと同様に、それぞれの辺に 2 を足せば
 x ≦ −3 または 7 ≦ x
となります。
【解答】 x ≦ −3, 7 ≦ x

【パターン3】絶対値の等式 |x2| = 3x の解き方

次は「絶対値の外に変数(x)がある」「等式」のパターンです。

(ここでいうと右辺の 3x)

このパターンでは必ず場合分けが必要になります。

記述式の場合、場合分けは解答としてしっかり書きましょう。

【例題3】 |x − 2| = 3x を解け。

絶対値の中身がプラス(正の数)かマイナス(負の数)かで 2つに場合分けします。

【解答】
[1] x − 2 ≧ 0 すなわち x ≧ 2 のとき
 |x − 2| = x − 2 なので、
 x − 2 = 3x
 を解けばよい。
 ∴ x = −1
 これは x ≧ 2 を満たさない。・・・(注1)
[2] x − 2 < 0 すなわち x < 2 のとき
 |x − 2| = −(x − 2) なので、
 −(x − 2) = 3x
 を解けばよい。
 ∴ x = 1/2
 これは x < 2 を満たす。
[1]、[2]より、x = 1/2

(注1)出てきた解が条件を満たすか必ず確かめること!(確かめがないと減点されます)

条件を満たしていれば
 x = 1/2(適する

逆に条件を満たさなければ

 x = −1(不適)

と書くとスッキリしておすすめ。

【パターン4】絶対値の不等式 |x2| < 3x の解き方

「絶対値の外に変数(x)がある」「不等式」のパターンです。

このパターンでも場合分けが必要です。

先ほどの問題は等式だったので、解がズバリ「値」で出てきましたが、今回は不等式のため「範囲」が答えになります。

【例題4】 |x − 2| < 3x を解け。

【解答】
[1] x − 2 ≧ 0 すなわち x ≧ 2 のとき
 |x − 2| = x − 2 なので、
 x − 2 < 3x
 を解けばよい。
 ∴ x > −1
 x ≧ 2 と合わせて
 x ≧ 2 ・・・(注2)
[2] x − 2 < 0 すなわち x < 2 のとき
 |x − 2| = −(x − 2) なので、
 −(x − 2) < 3x
 を解けばよい。
 ∴ x > 1/2
 x < 2 と合わせて
 1/2 < x < 2 ・・・(注3)
[1]、[2]より、x > 1/2 ・・・(注4)

(注2)共通範囲をとる

(注3)共通範囲をとる

(注4)[1]と[2]の範囲を合体する(つなげる)

【参考】共通範囲のカンタンな取り方

例: −4 ≦ x ≦ 6 かつ x > 3 かつ x < −2

① 数直線を描く

② 境界値をとる(左から小さい順に並べるだけ)

※ 間隔はテキトーでOK

③ <, >なら白丸(○)、≦, ≧なら黒丸(●)を描く

※ 大きくハッキリと

④ <, >ならナナメに、≦, ≧なら真上に線を描きはじめる(高さを少しずつズラす)

⑤ 範囲の方向に横線を引く

⑥ 範囲が重なる部分に斜線を描く

【解答】−4 ≦ x < −2 または 3 < x ≦ 6

【パターン5】絶対値の等式 |x| + |x − 2| = 4 の解き方

いよいよラストです。

「絶対値つきの変数が2つ以上ある」パターンです。

【例題5】 |x| + |x − 2| = 4 を解け。

今回も絶対値の中身がプラスかマイナスかで場合分けをします。

絶対値の変数が x と x − 2 の2種類あるので、本来なら以下の4つの場合分けがありますが、

x x − 2
 −
 −  −

x > x − 2 より、

③「x: マイナス、x − 2: プラス」の場合はありえません。

なので、①、②、④の3つの場合分けで済みます。

【解答】
[1] 「x ≧ 0 かつ x − 2 ≧ 0」 すなわち x ≧ 2 のとき
 x + (x − 2) = 4
 ∴ x = 3
 これは x ≧ 2 を満たす。
[2] 「x ≧ 0 かつ x − 2 < 0」 すなわち 0 ≦ x < 2 のとき
 x − (x − 2) = 4
 ∴ 2 = 4 となるので、解なし
[3] 「x < 0 かつ x − 2 < 0」 すなわち x < 0 のとき
 −x − (x − 2) = 4
 ∴ x = −2
 これは x < 0 を満たす。
[1]〜[3]より、x = −2, 3

最後に

今回は、絶対値のついた等式・不等式の解き方を解説しました。
特に場合分けの考え方は、今後どんどん使っていくので非常に大切です。
何度も解いてしっかりマスターしましょう!