大学入試でよく出る 整数問題 のひとつに「分数式・不等式による絞り込み」を行うパターンがあります。
実際の入試問題を見ながら、わかりやすく細かく解説をしていきます。
大学入試でよく出る整数問題【分数式・不等式による絞り込み】
【問題1】$ 2 ≦ p ＜ q ＜ r $ を満たす整数 $p, \ q, \ r $ の組で、$ \displaystyle{ {1 \over p} + {1 \over q} + {1 \over r} ≧ 1 } $ となるものをすべて求めよ。[群馬大]
$p, \ q, \ r $ の3文字を同時に扱うのは大変なので、まずは $p$ に注目して範囲を絞り込みます。
【解答】
$ \begin{cases}
2 ≦ p ＜ q ＜ r \enspace ・・・① \\
\\
\displaystyle{ {1 \over p} + {1 \over q} + {1 \over r} ≧ 1 } \enspace ・・・② \\
\end{cases}$
① より、辺々の逆数をとって
$ $ $ \displaystyle{ {1 \over 2} ≧ {1 \over p} ＞ {1 \over q} ＞ {1 \over r} } $
逆数 にすると、大小関係が逆 になります。
例えば、$(p, \ q, \ r) = (3, \ 4, \ 5) $ とすると
$ $ $ 2 ≦ 3 ＜ 4 ＜ 5 $ より
$ $ $ \displaystyle{ {1 \over 2} ≧ {1 \over 3} ＞ {1 \over 4} ＞ {1 \over 5} } $
ですよね？
そして、次がポイントです。
∴ $ \displaystyle{ {1 \over p} + {1 \over q} + {1 \over r} ＜ {1 \over p} + {1 \over p} + {1 \over p} } $ ・・・（注）
② より
$ $ $ \displaystyle{ \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{1} ≦ {1 \over p} + {1 \over q} + {1 \over r} \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{＜} {1 \over p} + {1 \over p} + {1 \over p} = \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{3 \over p} } $
∴ $ \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{ \displaystyle{ 1 ＜ {3 \over p} } \ } $
両辺に $p(＞0)$ をかけて
$ $ $ p ＜ 3 $
（注）$ \displaystyle{ {1 \over p} + {1 \over q} + {1 \over r} } $ において
$ $ $ q, \ r $ → $\color{green}{p}$ に置き換えると
$ $ $ \begin{cases}
\displaystyle{ {1 \over q} ＜ {1 \over \color{green}{p}} } \\
\\
\displaystyle{ {1 \over r} ＜ {1 \over \color{green}{p}} } \\
\end{cases}$
∴ $ \displaystyle{ {1 \over p} + {1 \over q} + {1 \over r} ＜ {1 \over p} + {1 \over \color{green}{p}} + {1 \over \color{green}{p}} } $
となります。
① と合わせて
$ $ $ 2 ≦ p ＜ 3 $
∴ $ p = 2 $
$p$ の値が決定しました。
次に $q$ の値を絞り込みます。
これを ①、② に代入して
$ \begin{cases}
2 ＜ q ＜ r \enspace ・・・③ \\
\\
\displaystyle{ {1 \over q} + {1 \over r} ≧ {1 \over 2} } \enspace ・・・④ \\
\end{cases}$
③ より、辺々の逆数をとって
$ $ $ \displaystyle{ {1 \over 2} ＞ {1 \over q} ＞ {1 \over r} } $
④ より
$ $ $ \displaystyle{ \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{1 \over 2} ≦ {1 \over q} + {1 \over r} \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{＜} {1 \over q} + {1 \over q} = \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{2 \over q} } $
∴ $ \displaystyle{ \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{ {1 \over 2} ＜ {2 \over q} \ } } $
両辺に $2q(＞0)$ をかけて
$ $ $ q ＜ 4 $
③ と合わせて
$ $ $ 2 ＜ q ＜ 4 $
∴ $ q = 3 $
$q$ の値が決まりました。
最後は $r$ です。
これを ③、④ に代入して
$ \begin{cases}
3 ＜ r \enspace ・・・⑤ \\
\\
\displaystyle{ {1 \over r} ≧ {1 \over 6} } \enspace ・・・⑥ \\
\end{cases}$
⑥ より
$ $ $ 6 ≧ r $
⑤ と合わせて
$ $ $ 3 ＜ r ≦ 6 $
∴ $ r = 4, \ 5, \ 6 $
以上より
$ $ $ (p, \ q, \ r) = (2, \ 3, \ 4), \ (2, \ 3, \ 5), \ (2, \ 3, \ 6) $
この解法パターンは、大学入試で頻出なのでしっかりマスターしておきましょう！
【問題2】$ 5 ≦ l ≦ m ≦ n $ を満たす整数 $ l, \ m, \ n $ の組で、$ \displaystyle{ {1 \over l} + {1 \over m} + {1 \over n} = {1 \over 2} } $ となるものをすべて求めよ。[頻出問題]
別のパターンでも練習しておきましょう。
【解答】
$ \begin{cases}
5 ≦l≦m≦n \enspace ・・・① \\
\\
\displaystyle{ {1 \over l} + {1 \over m} + {1 \over n} = {1 \over 2} } \enspace ・・・② \\
\end{cases}$
① より、辺々の逆数をとって
$ $ $ \displaystyle{ {1 \over 5} ≧ {1 \over l} ≧ {1 \over m} ≧ {1 \over n} } $
$ \displaystyle{ {1 \over l} , \ {1 \over m} , \ {1 \over n} } $ のうち 最大数 である $ \displaystyle{1 \over l} $ に置き換えると
② より
$ $ $ \displaystyle{ \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{1 \over 2} = {1 \over l} + {1 \over m} + {1 \over n} \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{≦} {1 \over l} + {1 \over l} + {1 \over l} = \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{3 \over l} } $
∴ $ \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{ \displaystyle{ {1 \over 2} ≦ {3 \over l} } \ } $
∴ $ l ≦ 6 $ ・・・③
今度は逆に、$ \displaystyle{ {1 \over l} , \ {1 \over m} , \ {1 \over n} } $ のうち 最小数 である $ \displaystyle{1 \over n} $ に置き換えると
$ $ $ \displaystyle{ \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{3 \over n} = {1 \over n} + {1 \over n} + {1 \over n} \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{≦} {1 \over l} + {1 \over m} + {1 \over n} = \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{1 \over 2} } $
∴ $ \bbox[#F4E2E2, 2pt, border:]{ \displaystyle{ {3 \over n} ≦ {1 \over 2} } \ } $
∴ $ 6 ≦ n $ ・・・④
ここまでをまとめると
①、③、④ より
$ $ $ 5 ≦ l ≦ 6 ≦ n $
∴ $ l = 5, \ 6 $
$ l $ の値が $2$ つ出てきたので、それぞれ場合分けしましょう。
$ $[1] $ l = 5$ のとき
①、② に代入して
$ \begin{cases}
5≦m≦n \enspace ・・・⑤ \\
\\
\displaystyle{ {1 \over 5} + {1 \over m} + {1 \over n} = {1 \over 2} } \enspace ・・・⑥ \\
\end{cases}$
⑥ より
$ $ $\displaystyle{ {1 \over m} + {1 \over n} = {3 \over 10} }$
∴ $ 10n + 10m = 3mn $
∴ $ 3mn −10m − 10n = 0 $
ここから $ ( \enspace A \enspace )( \enspace B \enspace ) = (整数) $ の形に持ち込みたいですが、このままだとできません。
そこで、両辺 $3$ 倍してみると・・・
∴ $ 9mn −30m − 30n = 0 $
∴ $ (3m −10)(3n − 10) = 100 $
と、うまく変形できました。
もし「こんな変形、思いつかないよ！」という場合は、両辺を $ 3 $ で割ってから
∴ $ \displaystyle{ mn −{10 \over 3}m − {10 \over 3}n = 0 } $
∴ $ \displaystyle{ \left(m −{10 \over 3} \right) \left(n− {10 \over 3} \right) = {100 \over 9} } $
さらに両辺を $9$ 倍して
とやってもOKです。
⑤ より、 $ 5 ≦ 3m −10 ≦ 3n−10 $
④ より、 $ 8 ≦ 3n−10 $
∴ $\begin{pmatrix}
3m −10 \\
3n −10 \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
5 \\
20 \\
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
10 \\
10 \\
\end{pmatrix}$ ・・・（注）
$m, \ n$ は整数なので
$ $ $\begin{pmatrix}
m \\
n \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
5 \\
10 \\
\end{pmatrix}$
（注）ここは、もちろん
$ $ $(3m −10, \ 3n −10) = (5, \ 20), (10, \ 10) $
$ $ と書いてもいいですが、横に長いので縦に並べて計算しやすくしました。
続いて、場合分けの [2] です。
$ $ [2] $ l = 6 $ のとき
①、② に代入して
$ \begin{cases}
6≦m≦n \enspace ・・・⑦ \\
\\
\displaystyle{ {1 \over 6} + {1 \over m} + {1 \over n} = {1 \over 2} } \enspace ・・・⑧ \\
\end{cases}$
⑧ より
$ $ $\displaystyle{ {1 \over m} + {1 \over n} = {1 \over 3} }$
∴ $ 3n + 3m = mn $
∴ $ mn −3m − 3n = 0 $
∴ $ (m −3)(n − 3) = 9 $
⑦ より、$ 3≦m−3≦n−3 $
∴ $\begin{pmatrix}
m −3 \\
n −3 \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3 \\
3 \\
\end{pmatrix}$
∴ $\begin{pmatrix}
m \\
n \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
6 \\
6 \\
\end{pmatrix}$
答えをまとめます。
$ $ [1]、[2] より
$ $ $ (l, \ m, \ n) = (5, \ 5, \ 10), \ (6, \ 6, \ 6) $
以上です。
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