【重複組み合わせ】応用問題の解き方をわかりやすく解説！（整数解の個数など）

重複組み合わせの応用問題を解いておきたい！

重複組み合わせで整数解の個数を求める問題はどんなのがあるの？

解き方をわかりやすく教えてほしい！

こういった要望に応えます。

重複組み合わせの応用問題【整数解の個数】

まずは、整数解 における「重複組み合わせの公式」のおさらいです。

【例題1】A、B、C、D の $4$ 種類の商品を、それぞれ $a$ 個、$b$ 個、$c$ 個、$d$ 個、合わせて $10$ 個買うものとする。ただし、$a≧1, $  $ b≧1, $  $c≧1,$  $d≧1$ とする。

(1) 買い方は全部で何通りあるか。

問題文を読んで「重複組み合わせの公式」の形を作りましょう。

【解答】を見る

【解答】

$ $　$ \begin{cases}
a+b+c+d=10  \\
\\
a≧1 \\
\\
b≧1 \\
\\
c≧1 \\
\\
d≧1 \\
\end{cases}$　より

$ $　$ \begin{cases}
(a−1)+(b−1)+(c−1)+(d−1)=6 \\
\\
a−1≧0 \\
\\
b−1≧0 \\
\\
c−1≧0 \\
\\
d−1≧0 \\
\end{cases}$ ・・・①

 

また

$ $　$ \begin{cases}
A = a−1 \\
\\
B = b−1 \\
\\
C = c−1 \\
\\
D = d−1 \\
\end{cases}$

とすると、① は

$ $　$ \begin{cases}
A+B+C+D=6 \\
\\
A≧0 \\
\\
B≧0 \\
\\
C≧0 \\
\\
D≧0 \\
\end{cases}$ ・・・②

 

よって、$ A, \ B, \ C, \ D $ の異なる $4$ 種類から 重複を許して $6$ 個選ぶ 組み合わせなので

$ $　$_4 H_{6} = \, _{4+6-1} C_{6} $

$ $　　　 $ = \, _{9} C_{6} $

$ $　　　 $ = \, _{9} C_{3} $ ・・・（注）

$ $　　　 $ \displaystyle{ = \require{cancel} { \displaystyle{ \mathop{ \bcancel{9} }^3 } \cdot \displaystyle{ \mathop{ \cancel{8} }^4 } \cdot 7 \over \bcancel{3} \cdot \cancel{2} } } $

$ $　　　 $ = 84 $（通り）

（注）二項係数の性質

$ $　$ _n C_r = \, _n C_{n-r} $

(2) $a=3$ となる買い方は全部で何通りあるか。

【解答】を見る

【解答】

$a=3$ のとき　$A = 2$

② は

$ $　$ \begin{cases}
B+C+D=4 \\
\\
B≧0 \\
\\
C≧0 \\
\\
D≧0 \\
\end{cases}$

 

よって、$ B, \ C, \ D $ の異なる $3$ 種類から 重複を許して $4$ 個選ぶ 組み合わせなので

$ $　$_3 H_{4} = \, _{3+4-1} C_{4} $

$ $　　　 $ = \, _{6} C_{4} $

$ $　　　 $ = \, _{6} C_{2} $

$ $　　　 $ \displaystyle{ = \require{cancel} { \displaystyle{ \mathop{ \bcancel{6} }^3 } \cdot 5 \over \bcancel{2} } } $

$ $　　　 $ = 15 $（通り）

(3) $2≦a≦4$ となる買い方は全部で何通りあるか。

(2) がヒントになっています。

【解答】を見る

【解答】

$a=2$ のとき　$A = 1$

② は

$ $　$ \begin{cases}
B+C+D=5 \\
\\
B≧0 \\
\\
C≧0 \\
\\
D≧0 \\
\end{cases}$

∴ $_3 H_{5} = \, _{3+5-1} C_{5} $

$ $　　　 $ = \, _{7} C_{5} $

$ $　　　 $ = \, _{7} C_{2} $

$ $　　　 $ \displaystyle{ = \require{cancel} { 7 \cdot \displaystyle{ \mathop{ \bcancel{6} }^3 } \over \bcancel{2} } } $

$ $　　　 $ = 21 $（通り）

 

$a=24$ のとき　$A = 3$

② は

$ $　$ \begin{cases}
B+C+D=3 \\
\\
B≧0 \\
\\
C≧0 \\
\\
D≧0 \\
\end{cases}$

∴ $_3 H_{3} = \, _{3+3-1} C_{3} $

$ $　　　 $ = \, _{5} C_{3} $

$ $　　　 $ = \, _{5} C_{2} $

$ $　　　 $ \displaystyle{ = \require{cancel} { 5 \cdot \displaystyle{ \mathop{ \bcancel{4} }^2 } \over \bcancel{2} } } $

$ $　　　 $ = 10 $（通り）

 

したがって、$2≦a≦4$ となる買い方は

$ $　$ 21 + 15 + 10 = 46$（通り）

「重複組み合わせの公式」のパターンにうまく持ち込むことでシンプルな解法になります。

重複組み合わせの応用問題【サイコロの目】

サイコロと「重複組み合わせ」が絡んだ 応用問題 です。

【例題2】$1$ つのさいころを $3$ 回投げて、出た目を順に $a_1, \ a_2, \ a_3$ とする。このとき、$a_1≦a_2≦a_3$ となる目の出方は何通りあるか。

この問題は、先に $a_1≦a_2≦a_3$ となるような $(a_1, \ a_2, \ a_3)$ の組を考えてしまうと、ちょっと大変です。

逆の発想をして、うまく重複組み合わせに持ち込みます。

【解答】を見る

【解答】

$1〜6$ の目から重複を許して $3$ 個 選んでから

$a_1≦a_2≦a_3$ となるように $a_1, \ a_2, \ a_3$ の数を決めればよいので

$ $　$ _6 H_3 = \, _{6+3-1} C_3 $

$ $　　　 $ = \, _{8} C_3 $

$ $　　　 $ \displaystyle{ = \require{cancel} { 8 \cdot 7 \cdot \bcancel{6} \over \bcancel{3 \cdot 2} } } $

$ $　　　 $ = 56$（通り）

（注）例えば、$1〜6$ の目から「$3, \, 5, \, 1$」と選んだとして

$ $　$a_1≦a_2≦a_3$ となるように

$ $　　$(a_1, \ a_2, \ a_3) = (1, \ 3, \ 5) $

$ $　と決める感じです。

重複組み合わせの応用問題【同じものを含む】

次は「同じものを含む 重複組み合わせ」の 応用問題 です。

【例題3】白玉 $5$ 個、赤玉 $3$ 個、黒玉 $2$ 個がある。次のような方法は何通りあるか。

(1) $10$ 個の玉を $6$ 人に分ける方法（$1$ 個ももらわない人があってもよい）

一見、重複組み合わせには見えませんが、整理して考えてみると・・・

【解答】を見る

【解答】

白玉 $5$ 個の分け方は、異なる $6$ 人から 重複を許して $5$ 人選ぶ 組み合わせなので

$ $　$_6 H_{5} $（通り）・・・（注）

同様にして

$ $　赤玉 $3$ 個の分け方は $_6 H_{3} $（通り）

$ $　黒玉 $2$ 個の分け方は $_6 H_{2} $（通り）

 

よって、求める方法は

$ $　$_6 H_{5} × \, _6 H_{3} × \, _6 H_{2} $

$ = \, _{6+5-1} C_{5} × \, _{6+3-1} C_{3} ×  \, _{6+2-1} C_{2} $

$ = \, _{10} C_{5} × \, _{8} C_{3} × \, _{7} C_{2} $

$ = \displaystyle{ \require{cancel} { \cancel{10}^2 \cdot 9 \cdot \bcancel{8}^2 \cdot  7 \cdot \cancel{6} \over \cancel{5} \cdot \bcancel{4} \cdot \cancel{3 \cdot 2} } × {8 \cdot  7 \cdot \cancel{6} \over \cancel{3 \cdot 2} } × {7 \cdot \cancel{6}^3 \over \cancel{2}} } $

$ = 296352 $（通り）

（注）仮に、$6$ 人のもらう白玉の数をそれぞれ $x_1〜 \, x_6$ とすると

$ $　$ \begin{cases}
x_1+x_2+ \cdots +x_6=5 \\
\\
x_1, \ x_2, \cdots , \ x_6≧0 \\
\end{cases}$

整数解 $(x_1, \ x_2, \cdots , \ x_6)$ の個数は

異なる $6$ 種類から 重複を許して $5$ コ選ぶ 組み合わせなので

$ $　$_6 H_{5} $（通り）

(2) $10$ 個の玉を $2$ 組に分ける方法

まずは $A, \ B $ の $2$ 組に分けるとして考えましょう。

【解答】を見る

【解答】

計 $10$ 個の玉を $A, \ B $ の $2$ 組に分けるとする。

白玉 $5$ 個の分け方は、異なる $2$ 組から 重複を許して $5$ 回選ぶ 組み合わせなので

$ $　$_2 H_{5} $（通り）・・・（注1）

同様にして

$ $　赤玉 $3$ 個の分け方は $_2 H_{3} $（通り）

$ $　黒玉 $2$ 個の分け方は $_2 H_{2} $（通り）

 

よって、計 $10$ 個の玉を $A, \ B $ の $2$ 組に分ける方法は

$ $　$_2 H_{5} × \, _2 H_{3} × \, _2 H_{2} $

$ = \, _{2+5-1} C_{5} × \, _{2+3-1} C_{3} ×  \, _{2+2-1} C_{2} $

$ = \, _{6} C_{5} × \, _{4} C_{3} × \, _{3} C_{2} $

$ = \, _{6} C_{1} × \, _{4} C_{1} × \, _{3} C_{1} $

$ = 6 × 4 × 3 $

$ = 72 $（通り）

 

このうち、$A$ 組だけ、$B$ 組だけに分ける $2$ 通りが含まれるので

$ $　$72−2=70$（通り）

さらに、$A, \ B$ 組の区別を無くして

$ $　$ \displaystyle{ {70 \over 2} = 35 }  $（通り） ・・・（注2）

（注1）仮に、$A, \ B $ の $2$ 組に分ける白玉の数をそれぞれ $a, \ b$ とすると

$ $　$ \begin{cases}
a+b=5 \\
\\
a, \ b≧0 \\
\end{cases}$

整数解 $(a, \ b)$ の個数は

異なる $2$ 種類から 重複を許して $5$ コ選ぶ 組み合わせなので

$ $　$_2 H_{5} $（通り）

 

（注2）分けずに一気に書くと

$ $　$ \displaystyle{ {_2 H_{5} × \, _2 H_{3} × \, _2 H_{2} − 2 \over 2} = 35 } $（通り）

(3) $10$ 個の玉を $1$ 列に並べる方法

この問題は「同じものを含む順列」です。

重複組み合わせの問題ではありませんが、比較のために解いておきましょう。

【解答】 を見る

【解答】

白玉 $5$ 個、赤玉 $3$ 個、黒玉 $2$ 個（計 $10$ 個）を $1$ 列に並べる方法は

$ $　$ \displaystyle{ {10! \over 5! \, 3! \, 2!} } $

$ \displaystyle{ = \require{cancel} {10 \cdot 9 \cdot \bcancel{8}^4 \cdot 7 \cdot \cancel{6} \cdot \bcancel{5!} \over \bcancel{5!} \, \cancel{3!} \, \bcancel{2!} } }$

$ = 2520 $（通り）

以上です。お疲れ様でした！

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