【高校数学】合同式(mod)の定義・性質・計算をわかりやすく解説！【よく出る例題＆問題つき】

合同式(mod)の定義や性質から、計算のやり方までわかりやすく教えてほしい！

合同式(mod)の計算を、例題を通して学びたい！

整数や不定方程式の応用・入試問題を合同式(mod)で解けるようになりたい！

こういった要望に応えます。

合同式（mod）の計算 ができるようになると、整数 や 不定方程式 などの頻出問題をラクに解けるようになります。

数学のテストは時間との勝負なので、合同式（mod）が使えれば圧倒的に有利です。

このページを読めば

• 合同式（mod）の定義
• 合同式（mod）の計算でよく使う性質 5つ
• 合同式（mod）の足し算・引き算・かけ算・割り算・累乗
• 合同式（mod）の応用・入試問題の解き方

をひと通り学べます。

合同式の計算に慣れていない人でも理解しやすいように、できるだけ丁寧＆シンプルに解説しています。

ぜひ最後まで読んで、合同式（mod）の計算をマスター しましょう！

合同式（mod）の定義

合同式（mod）とは「割り算の余りが等しいことを表す式」のことです。

例えば、合同式

を考えると「$11$ を $ \color{red}{3} $ で割った余り」と「$5$ を $ \color{red}{3} $ で割った余り」はどちらも $2$ で等しいですね。

（商を無視して余りだけ考えればOK）

さらに、「$2$ を $ \color{red}{3} $ で割った余り」も $2$ で等しいので、以下のように書けます。

あるいは

どちらの書き方でもOKですが、合同式の終わりには毎回 $\pmod 3$ を忘れずに！

合同式（mod）の計算【よく使う性質5つ】

合同式（mod）の計算でよく使う性質（公式） として、以下の5つを覚えておきましょう。

これら5つの性質を使って、合同式を計算していきます。

合同式（mod）の足し算・引き算・かけ算・累乗

合同式（mod）の足し算・引き算・かけ算・累乗 を解説します。

【例題1】$a$ は $7$ で割ると $4$ 余る数、$b$ は $7$ で割ると $2$ 余る数である。このとき、次の数を $7$ で割ったときの余りを求めよ。

この例題を、合同式を使って解いてみましょう。

(0) 準備：合同式で表す

まずは、$a$ と $b$ を合同式で表します。

(1) $a+b$【合同式の足し算】

を利用します。

(2) $a−b$【合同式の引き算】

を利用します。

(3) $ab$【合同式のかけ算】

を利用します。

（注）「$ 8 \equiv 1 \pmod 7 $」の部分だけ見ると

「$8$ を $7$ で割ったら $1$ 余る」という意味なので正しいですね。

こんな感じで、modの数（$7$）だけどんどん小さくしていくことができます。

例：$ 100 \equiv 93 \equiv 86 \equiv 79 \equiv 72 \equiv \ldots \equiv 2 \pmod 7 $

(4) $a^3$【合同式の累乗】

を利用します。

以上です。

ここまでの解答をまとめて書くと次の通り。

【解答】を見る

【解答】

$a$ は $7$ で割ると $4$ 余る数なので

$ $　$a \equiv 4 \pmod 7$ ・・・①

$b$ は $7$ で割ると $2$ 余る数なので

$ $　$b \equiv 2 \pmod 7$ ・・・②

(1) ① $+$ ② より

$ $　$a+b \equiv 4+2 \equiv 6 \pmod 7$

よって、余りは $6$

(2) ① $−$ ② より

$ $　$a−b \equiv 4−2 \equiv 2 \pmod 7$

よって、余りは $2$

(3) ① $×$ ② より

$ $　$ab \equiv 4×2 \equiv 8 \equiv 1 \pmod 7$

よって、余りは $1$

(4) ① の両辺を $3$乗して

$ $　$ a^3 \equiv 4^3 \equiv 64 \equiv 1 \pmod 7 $

よって、余りは $1$

スッキリした解答になりましたね。

参考：合同式（mod）を使わない解法

合同式を使わない（ふつうの）書き方と比べてみましょう。

【別解】を見る

【別解】

$a$ は $7$ で割ると $4$ 余る数なので

$ $　$ a = 7m+4 $（$m$：整数） ・・・①

$b$ は $7$ で割ると $2$ 余る数なので

$ $　$ b = 7n+2 $（$n$：整数） ・・・②

(1) ① $+$ ② より

$ $　$ a+b = (7m+4)+(7n+2) $

$ $　　　 $ = 7(m+n)+6 $

よって、余りは $6$

(2) ① $−$ ② より

$ $　$ a−b = (7m+4)−(7n+2) $

$ $　　　 $ = 7(m−n)+2 $

よって、余りは $2$

(3) ① $×$ ② より

$ $　$ ab = (7m+4)(7n+2) $

$ $　　$ = 7(7mn+2m+4n+1)+1 $

よって、余りは $1$

(4) ①の両辺を $3$乗して

$ $　$ a^3 = (7m+4)^3 $

$ = (7m)^3 + 3 \cdot (7m)^2 \cdot 4 + 3 \cdot 7m \cdot 4^2 + 4^3 $

$ $　$ = 7 \cdot 49m^3 + 7 \cdot 84m^2 + 7 \cdot 48m +64 $

$ $　$ = 7 ( 49m^3 + 84m^2 + 48m +9) + 1 $

よって、余りは $1$

(1)〜(3) は大した違いはありませんが、(4) になると合同式（mod）がいかに便利か？が分かると思います。

今回は $3$乗だったのでまだマシでしたが、これが例えば $a^{2022} $ とかのときには 合同式（mod）の本領発揮です。

と一瞬で計算できます。

合同式（mod）をどんどん活用してラクをしていきましょう！

合同式（mod）の割り算

次に、合同式（mod）の割り算 を解説します。

「互いに素（そ）」とは「1以外に公約数をもたない」ということ。

例えば「$3$ と $5$」は互いに素なので

は正しいですが、

「$3$ と $15$」は互いに素ではない（公約数 $3$ をもつ）ので

は間違いです。（左辺と右辺を $15$ で割った余りが異なる）

【例題2】整数 $3n$ を $64$ で割った余りが $15$ であるとき、 $n$ を $64$ で割った余りを求めよ。

この例題を、合同式（mod）を使って解いてみましょう。

こんな感じで、スッキリ書けました。

合同式（mod）にマイナスがある場合

合同式（mod）にマイナスの数がある場合 を考えてみましょう。

例えば「$11$ を $5$ で割る」と

ですが、無理やりもう一回 $5$ で割ると

これら2つの合同式より

が成り立ちます。

こんな感じで

この性質を利用することで、合同式の中のマイナスの数をプラスにしたり、

逆にプラスの数をマイナスにしたりすることもあります。

【例題3】次の合同式が成り立つとき、整数 $x$ を $5$ で割った余りを求めよ。

(1) $ x \equiv −8 \pmod 5 $

右辺がプラスの値になるまで、modの数（$\color{red}{5}$）だけ 増やしていくと（右辺に $\color{red}{5}$ を足していくと）・・・

【解答】を見る

【解答】

$ x \equiv −8 + \color{red}{5} \equiv −3 $

$ $ $ \enspace \equiv −3+\color{red}{5} \equiv 2 \pmod {\color{red}{5}} $

よって、余りは $2$

(2) $ 7x+3 \equiv −1 \pmod 5 $

ふつうの方程式で

と移項するノリで（両辺から $3$ を引いて）

と変形ができます。

【理由】

左辺の $+3$ がジャマなので、

$ $　$ −3 \equiv −3 \pmod 5 $

という合同式と辺々足すと

$ $　$ (7x+3)−3 \equiv −1−3 \pmod 5 $ [合同式の足し算]

$ $　∴ $ 7x \equiv −4 \pmod 5 $

となります。

【解答】を見る

【解答】

$ $　$ 7x+3 \equiv −1 \pmod 5 $

両辺から $3$ を引いて

$ $　$ 7x \equiv −4  \pmod {5} $

∴ $ ( \color{red}{5}×1+2)x \equiv −4  \pmod {\color{red}{5}} $

∴ $ \color{red}{5}x + 2x \equiv −4  \pmod {\color{red}{5}} $

左辺の $\color{red}{5}x$ は $5$の倍数（$5$で割り切れる）なので

$ $　$ \require{cancel} \bcancel{ \color{red}{5}x } + 2x \equiv −4  \pmod {\color{red}{5}} $

∴ $ \color{green}{2}x \equiv −4  \pmod {\color{red}{5}} $

右辺が $\color{green}{2}$ の倍数になるまで $\color{red}{5}$ を足していくと

$ $　$ \color{green}{2}x \equiv −4 + \color{red}{5} \equiv 1 $

$ $　　$ \equiv 1 + \color{red}{5} \equiv 6 \pmod {\color{red}{5}} $

∴ $ 2x \equiv 6 \pmod {5} $

$2$ と $5$ は互いに素なので、両辺を $2$ で割ると

$ $　$ x \equiv 3 \pmod {5} $

よって、余りは $3$

(3) $ −2x−7 \equiv 8 \pmod 5 $

左辺の $ −2x$ にマイナスが付いているのがイヤですね。

そんなときは左辺に $\color{red}{5}x$（$5$の倍数）を足せばOK。

$ \pmod {5} $ のもとでは、$5$の倍数を自由に足したり引いたりできますね。

【解答】を見る

【解答】

$ $　$ −2x−7 \equiv 8 \pmod {5} $

両辺に $7$ を足して

$ $　$ −2x \equiv 15 \pmod {\color{red}{5}} $

左辺に $\color{red}{5}x$ を足すと

$ $　$ 3x \equiv 15 \pmod {5} $

$3$ と $5$ は互いに素なので、両辺を $3$ で割ると

$ $　$ x \equiv 5 \pmod {5} $

∴ $ x \equiv 0 \pmod {5} $

よって、余りは $0$

以上、合同式の計算を学んできました。

自由自在に変形できるように、しっかり復習しておきましょう！

合同式（mod）の計算【応用・入試問題もカンタン！】

合同式（mod）を使って、応用問題・入試問題 を解いてみましょう。

【問題1】$13^{2022}$ を $5$ で割った余りを求めよ。[類 13 名古屋市大]

$13$ を $5$ で割った余りからスタートします。

【解答】を見る

【解答】

$13$ を $5$ で割った余りは

$ $　$ 13 \equiv 3 \pmod {5} $ ・・・①

① の両辺 $2$ 乗して

$ $　$ 13^2 \equiv 3^2 \equiv 4 \pmod {5} $ ・・・②

① $×$ ② より

$ $　$ 13^3 \equiv 3×4 \equiv 2 \pmod {5} $ ・・・③

① $×$ ③ より

$ $　$ 13^4 \equiv 3×2 \equiv 1 \pmod {5} $ ・・・④

 

よって、$13^{2023}$ を $5$ で割った余りは

$ $　$ 13^{2023} \equiv \left( 13^4 \right)^{505} \cdot 13^3$

$ $　　　　$ \equiv 1^{674} \cdot 2 \pmod {5} $

$ $　　　　　（③、④を代入）

ゆえに、余りは $2$

（注）$ 13^□$（$13$の□乗）$ \equiv 1 \pmod {5} $ をみたす数□が見つかるまで、計算していきます。

【問題2】$4^{200}$ の 一の位の数字を求めよ。[類 12 甲南大]

例えば、$12345$ の 一の位の数字「$5$」は「$10$ で割った余り」と考えると・・・

【解答】を見る

【解答】

$4^{200}$ の 一の位の数字は、

$4^{200}$ を $10$ で割った余りである。

ここで、$4$ を $10$ で割った余りは

$ $　$ 4 \equiv 4 \pmod {10} $

∴ $ 4^{ \bbox[#F4E2E2, border:]{2} } \equiv 16 \equiv 6 \pmod {10} $

∴ $ 4^{ \bbox[#E2F0D9, border:]{3} } \equiv 6×4 \equiv 4 \pmod {10} $

∴ $ 4^{ \bbox[#F4E2E2, border:]{4} } \equiv 4×4 \equiv 6 \pmod {10} $

$ $　　$ \vdots $

∴ $ 4^{ \bbox[#F4E2E2, border:]{200} } \equiv 6 \pmod {10} $ ・・・（注）

よって、$4^{200}$ の 一の位の数字は $6$

（注）$ 4^□$（$4$の□乗）を調べていくと、以下のような規則性が見つかりますね。

$ $　$ \begin{cases}
4^{ \bbox[#E2F0D9, border:]{奇数} } \equiv 4 \pmod {10} \\
\\
4^{ \bbox[#F4E2E2, border:]{偶数} } \equiv 6 \pmod {10} \\
\end{cases}$

このことから、

$ $　$ 4^{ \bbox[#F4E2E2, border:]{200} } \equiv 6 \pmod {10} $

とわかります。

【問題3】不定方程式 $ 5^4 x − 2^4 y = 1 $ の整数解のうち、$x$ が正の整数で最小になるものを求めよ。[22 共通テスト]

不定方程式 の整数解を求める問題でも 合同式（mod）は大活躍します。

【解答】を見る

【解答】

$ 5^4 x − 2^4 y = 1 $ より

$ $　$ 625 x − 16 y = 1 $

$16$ を法として合同式をとると

$ $　$ 625 x − \require{cancel} \bcancel{\color{red}{16} y} \equiv 1 \pmod { \color{red}{16} } $

∴ $ 625 x \equiv 1 \pmod {16} $

∴ $ ( \color{red}{16}×39 +1) x \equiv 1 \pmod {\color{red}{16} } $

∴ $ \require{cancel} \bcancel{ \color{red}{16} x × 39 } + x \equiv 1 \pmod {\color{red}{16} } $

∴ $ x \equiv 1 \pmod {16} $

この合同式は「$x$ を $16$ で割った余りが $1$」という意味なので

$ $　$ x=16k+1$（$k$は整数）

とおける。

これを $ 625 x − 16 y = 1 $ に代入して

$ $　$ 625 (16k+1) − 16 y = 1 $

∴ $ 625 \cdot 16k + 625 − 16 y = 1 $

∴ $ 16 y = 625 \cdot 16k + 624 $

∴ $ y = 625 k + 39 $

よって

$ $　$ \begin{cases}
x=16k+1 \\
\\
y = 625 k + 39 \\
\end{cases}$ （$k$は整数）

この整数解のうち、$x$ が正の整数で最小になるものは

$k=0$ のとき

$ $　$ x=1, \, y=39 $

合同式を利用して不定方程式の整数解（一般解）を求める方法については、こちらの記事を読んでください。

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以上です。お疲れ様でした！

最後に

合同式（mod）を使いこなせると、ライバルを大きく差をつけることができます。

テストや入試でガンガン使えるようにしっかりマスターしておきましょう！

質問・要望があれば気軽にコメントください👍